Luận án tiến sĩ ứng dụng quan hệ thứ tự bậc tôpô - Nguyễn Đăng Quang
Luận án tiến sĩ nghiên cứu ứng dụng bậc tôpô và quan hệ thứ tự trong giải quyết bao hàm thức và phương trình vi phân.
Toán Giải tích
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
107
Thời gian đọc
17 phút
Lượt xem
4
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Bậc Tôpô Trong Không Gian Banach Khái Niệm Cơ Bản
Bậc tôpô là công cụ quan trọng trong giải tích phi tuyến. Khái niệm này được J. Schauder xây dựng và M. Nagumo phát triển. Bậc tôpô giúp chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường. Nó khắc phục hạn chế của định lý Schauder về điểm bất động. Trong không gian Banach, bậc tôpô áp dụng cho ánh xạ đa trị tác động. Phương pháp này cho phép đánh giá số nghiệm. Cấu trúc tập nghiệm được nghiên cứu thông qua tính liên thông và compact. Bậc tôpô theo nón mở rộng khái niệm cổ điển. Ánh xạ đa trị có giá trị lồi là đối tượng nghiên cứu chính. Các tính chất đặc trưng của bậc tôpô được xác định rõ ràng. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động mang lại kết quả quan trọng. Bậc tôpô cũng áp dụng cho bài toán giá trị riêng và vectơ riêng.
1.1. Định Nghĩa Bậc Tôpô Theo Nón
Bậc tôpô theo nón là khái niệm mở rộng trong không gian có thứ tự. Định nghĩa dựa trên cấu trúc nón trong không gian Banach. Nón xác định quan hệ thứ tự một phần trên không gian. Bậc tôpô đo lường tính chất tôpô của ánh xạ. Các tính chất đặc trưng bao gồm tính chuẩn hóa và tính cộng. Tính bất biến đồng luân là tính chất quan trọng nhất. Bậc tôpô được định nghĩa trên miền bị chặn. Biên của miền không chứa điểm bất động. Giá trị bậc tôpô là số nguyên. Bậc khác không đảm bảo tồn tại điểm bất động.
1.2. Tính Chất Đặc Trưng Của Bậc Tôpô
Tính chuẩn hóa là tính chất cơ bản đầu tiên. Bậc của ánh xạ đồng nhất trên quả cầu bằng một. Tính cộng cho phép phân tích miền thành các phần. Nếu miền là hợp rời rạc thì bậc là tổng các bậc. Tính bất biến đồng luân kết nối các ánh xạ liên tục. Hai ánh xạ đồng luân có cùng bậc tôpô. Tính chất này rất hữu ích trong chứng minh. Bậc tôpô không phụ thuộc vào biến dạng liên tục. Các tính chất này tạo nền tảng cho ứng dụng. Chúng cho phép tính toán bậc trong nhiều trường hợp cụ thể.
1.3. Bậc Tôpô Của Ánh Xạ Đa Trị
Ánh xạ đa trị gán cho mỗi điểm một tập hợp. Bậc tôpô mở rộng cho ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Ánh xạ có giá trị lồi compact là trường hợp quan trọng. Định nghĩa sử dụng xấp xỉ đơn trị. Dãy ánh xạ đơn trị hội tụ về ánh xạ đa trị. Bậc được định nghĩa như giới hạn của dãy bậc. Tính ổn định đảm bảo giới hạn tồn tại. Các tính chất cơ bản vẫn được bảo toàn. Bậc tôpô của ánh xạ đa trị có nhiều ứng dụng. Nó áp dụng cho bao hàm thức vi phân và phương trình điều khiển.
II. Quan Hệ Thứ Tự Trong Không Gian Tôpô
Quan hệ thứ tự được sử dụng trong toán học từ đầu thế kỷ 20. Bổ đề Zorn và định lý Hausdorff là ứng dụng sớm nhất. Quan hệ thứ tự kết hợp với cấu trúc tôpô tạo không gian có thứ tự. Nón dương xác định thứ tự một phần trong không gian tuyến tính. Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự phát triển từ thập niên 1940. M. Krasnoselskii và các học trò đóng góp quan trọng. Phương pháp này cho phép chứng minh tồn tại nghiệm có tính chất đặc biệt. Nghiệm dương, nghiệm đơn điệu là các ví dụ điển hình. Không gian có thứ tự cho phép nghiên cứu ánh xạ không liên tục. Các bất phương trình và bao hàm thức được giải quyết hiệu quả. Phương pháp lặp đơn điệu xây dựng dãy hội tụ về nghiệm.
2.1. Nón Và Thứ Tự Một Phần
Nón là tập con đóng, lồi trong không gian tuyến tính. Nón thỏa mãn tính chất đóng với phép nhân vô hướng dương. Giao của nón với nón đối chỉ chứa phần tử không. Nón xác định quan hệ thứ tự một phần. Phần tử x nhỏ hơn y nếu y trừ x thuộc nón. Quan hệ này có tính phản xạ và bắc cầu. Nón sinh ra không gian nếu mọi phần tử biểu diễn được. Nón chuẩn tắc có tính chất bị chặn quan trọng. Nội nón chứa các phần tử dương mạnh. Thứ tự một phần tương thích với cấu trúc tôpô.
2.2. Ánh Xạ Đơn Điệu Và Tính Chất
Ánh xạ đơn điệu bảo toàn quan hệ thứ tự. Nếu x nhỏ hơn y thì ảnh của x nhỏ hơn ảnh của y. Ánh xạ đơn điệu mạnh bảo toàn thứ tự nghiêm ngặt. Tính đơn điệu kết hợp với tính compact cho kết quả mạnh. Định lý điểm bất động trong không gian có thứ tự áp dụng. Phương pháp lặp đơn điệu xây dựng dãy tăng hoặc giảm. Dãy bị chặn và đơn điệu hội tụ về điểm bất động. Nghiệm cực đại và cực tiểu được xác định. Khoảng thứ tự giữa nghiệm dưới và nghiệm trên chứa nghiệm. Phương pháp này hiệu quả cho bao hàm thức vi phân.
2.3. Không Gian Banach Có Thứ Tự
Không gian Banach có thứ tự kết hợp chuẩn và nón. Nón chuẩn tắc đảm bảo tính liên tục của thứ tự. Dãy tăng bị chặn trên hội tụ trong không gian này. Không gian hàm liên tục là ví dụ điển hình. Nón các hàm không âm xác định thứ tự tự nhiên. Không gian Lebesgue cũng có cấu trúc thứ tự. Các toán tử tích phân thường là đơn điệu. Tính compact của toán tử kết hợp với tính đơn điệu. Điều này dẫn đến sự tồn tại nghiệm dương. Ứng dụng vào phương trình vi phân rất phong phú.
III. Bao Hàm Thức Vi Phân Cấp Hai Lý Thuyết
Bao hàm thức vi phân là tổng quát hóa phương trình vi phân. Vế phải là ánh xạ đa trị thay vì đơn trị. Bao hàm thức cấp hai xuất hiện trong nhiều mô hình cơ học. Điều kiện biên nhiều điểm phức tạp hơn điều kiện hai điểm. Bao hàm thức chứa số hạng phi tuyến đòi hỏi kỹ thuật mới. Phương pháp bậc tôpô áp dụng hiệu quả cho lớp bài toán này. Quan hệ thứ tự giúp xác định nghiệm dương. Nghiệm dưới và nghiệm trên là công cụ quan trọng. Chúng tạo khoảng chứa nghiệm thực sự. Điều kiện tăng trưởng của số hạng phi tuyến cần được kiểm soát. Tính compact của toán tử nghiệm là yếu tố then chốt. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh qua điểm bất động.
3.1. Điều Kiện Biên Nhiều Điểm
Điều kiện biên nhiều điểm liên hệ giá trị tại nhiều điểm. Điều kiện tổng quát hơn điều kiện Dirichlet và Neumann. Bài toán xuất hiện trong nghiên cứu dầm nhiều gối đỡ. Mô hình cầu nhiều nhịp dẫn đến điều kiện này. Điều kiện biên phi tuyến làm tăng độ phức tạp. Hàm Green tương ứng có cấu trúc đặc biệt. Dấu của hàm Green quyết định tính chất nghiệm. Hàm Green không âm đảm bảo nghiệm dương. Toán tử tích phân với nhân là hàm Green cần compact. Tính compact được chứng minh qua định lý Arzela-Ascoli.
3.2. Số Hạng Phi Tuyến Trong Bao Hàm Thức
Số hạng phi tuyến phụ thuộc vào hàm và đạo hàm. Tính đa trị xuất hiện từ mô hình có ma sát hoặc trễ. Điều kiện Caratheodory đảm bảo tính đo được. Điều kiện tăng trưởng kiểm soát hành vi tại vô cùng. Tăng trưởng tuyến tính hoặc dưới tuyến tính là phổ biến. Điều kiện dấu giúp áp dụng phương pháp thứ tự. Tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị cần thiết. Giá trị lồi compact đảm bảo tồn tại chọn đo được. Định lý chọn cho phép xây dựng nghiệm xấp xỉ. Giới hạn của dãy nghiệm xấp xỉ là nghiệm thực sự.
3.3. Phương Pháp Nghiệm Dưới Và Nghiệm Trên
Nghiệm dưới thỏa mãn bất đẳng thức với chiều ngược lại. Nghiệm trên thỏa mãn bất đẳng thức cùng chiều. Nghiệm dưới nhỏ hơn nghiệm trên tạo khoảng thứ tự. Khoảng này chứa ít nhất một nghiệm thực sự. Phương pháp lặp đơn điệu xây dựng từ nghiệm dưới. Dãy tăng và bị chặn trên bởi nghiệm trên. Giới hạn của dãy là nghiệm cực tiểu. Tương tự có nghiệm cực đại từ nghiệm trên. Hai nghiệm cực trị bao tất cả nghiệm trong khoảng. Phương pháp này hiệu quả và mang tính xây dựng.
IV. Ứng Dụng Bậc Tôpô Vào Bài Toán Điểm Bất Động
Bài toán điểm bất động là trung tâm của giải tích phi tuyến. Định lý Banach-Caccioppoli áp dụng cho ánh xạ co. Định lý Schauder mở rộng cho ánh xạ compact. Bậc tôpô cho phép tìm nghiệm không tầm thường. Điểm bất động khác không là mục tiêu quan trọng. Bậc tôpô trên miền không chứa không đảm bảo điều này. Ánh xạ đa trị mở rộng phạm vi ứng dụng. Bao hàm thức chuyển về bài toán điểm bất động. Toán tử nghiệm được xây dựng từ bao hàm thức. Điểm bất động của toán tử là nghiệm của bao hàm thức. Bậc tôpô khác không chứng minh tồn tại điểm bất động. Phương pháp này áp dụng cho nhiều lớp bao hàm thức.
4.1. Toán Tử Nghiệm Từ Bao Hàm Thức
Bao hàm thức vi phân chuyển về phương trình tích phân. Toán tử tích phân sử dụng hàm Green làm nhân. Toán tử nghiệm ánh xạ không gian hàm vào chính nó. Tính compact của toán tử là điều kiện cần. Định lý Arzela-Ascoli chứng minh tính compact. Ánh xạ đa trị trong bao hàm thức tạo toán tử đa trị. Toán tử có giá trị lồi compact nếu số hạng phi tuyến thỏa điều kiện. Tính nửa liên tục trên được kế thừa. Bậc tôpô định nghĩa được cho toán tử này. Điểm bất động tương ứng nghiệm của bao hàm thức.
4.2. Tính Bậc Tôpô Trên Miền Đặc Biệt
Miền đặc biệt là quả cầu hoặc hình xuyến. Quả cầu tâm không bán kính R là miền đơn giản. Hình xuyến giữa hai quả cầu đồng tâm phức tạp hơn. Bậc trên hình xuyến tính bằng hiệu hai bậc. Điều kiện biên đảm bảo không có điểm bất động trên biên. Ước lượng tiên nghiệm cung cấp điều kiện này. Bậc khác không trên miền cho tồn tại nghiệm. Nghiệm nằm trong miền đã chọn. Phương pháp này ước lượng khoảng tồn tại nghiệm. Ứng dụng vào bao hàm thức với số hạng phi tuyến.
4.3. Bài Toán Giá Trị Riêng Phi Tuyến
Bài toán giá trị riêng phi tuyến tìm cặp lambda và x. Toán tử phi tuyến thay thế toán tử tuyến tính. Ánh xạ đa trị làm tổng quát hóa thêm. Bậc tôpô áp dụng cho toán tử tham số. Sự thay đổi bậc theo tham số chỉ ra giá trị riêng. Vectơ riêng là điểm bất động tại giá trị riêng. Phương pháp cho phép ước lượng số giá trị riêng. Cấu trúc nhánh nghiệm được nghiên cứu. Lý thuyết phân nhánh kết hợp với bậc tôpô. Ứng dụng vào bài toán vật lý và cơ học.
V. Bao Hàm Thức Với Điều Khiển Phản Hồi
Điều khiển phản hồi xuất hiện trong lý thuyết điều khiển tối ưu. Luật điều khiển phụ thuộc vào trạng thái hệ thống. Bao hàm thức chứa điều khiển phản hồi phức tạp hơn. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp thêm điều kiện. Điều kiện liên hợp kết nối nghiệm và đạo hàm tại các điểm. Phương trình Logistic với điều khiển là ví dụ điển hình. Mô hình mô tả động lực học quần thể có khai thác. Tham số điều khiển ảnh hưởng đến sự tồn tại nghiệm. Phương pháp bậc tôpô và thứ tự kết hợp hiệu quả. Nghiệm dương có ý nghĩa sinh học rõ ràng. Khoảng tham số cho nghiệm dương được xác định. Ứng dụng vào quản lý tài nguyên thiên nhiên.
5.1. Điều Kiện Biên Liên Hợp Phi Tuyến
Điều kiện liên hợp kết nối giá trị tại các điểm khác nhau. Dạng phi tuyến làm tăng độ khó của bài toán. Điều kiện này xuất hiện trong mô hình nhiều giai đoạn. Hàm Green tương ứng có cấu trúc phức tạp. Tính không âm của hàm Green cần được kiểm tra. Phương pháp ma trận áp dụng cho điều kiện tuyến tính. Trường hợp phi tuyến cần kỹ thuật điểm bất động. Toán tử nghiệm được xây dựng qua các bước. Tính compact và liên tục cần chứng minh cẩn thận. Bậc tôpô áp dụng cho toán tử tổng hợp.
5.2. Phương Trình Logistic Có Điều Khiển
Phương trình Logistic mô tả tăng trưởng quần thể. Số hạng điều khiển biểu diễn khai thác hoặc bảo vệ. Tham số điều khiển là hàm của mật độ quần thể. Mô hình phản ánh chính sách quản lý thích nghi. Sự tồn tại nghiệm dương phụ thuộc tham số. Giá trị ngưỡng của tham số được xác định. Dưới ngưỡng có nghiệm dương ổn định. Trên ngưỡng quần thể có thể tuyệt chủng. Phương pháp nghiệm dưới nghiệm trên áp dụng hiệu quả. Ước lượng nghiệm giúp dự báo động lực học.
5.3. Chuyển Về Bài Toán Điểm Bất Động
Bao hàm thức với điều khiển chuyển về dạng tích phân. Toán tử tích phân chứa tham số điều khiển. Điều khiển phản hồi tạo toán tử phi tuyến. Toán tử tổng hợp kết hợp động lực và điều khiển. Tính compact được chứng minh qua ước lượng đều. Tính liên tục sử dụng hội tụ đều trên compact. Bậc tôpô tính trên miền phù hợp. Sự thay đổi bậc theo tham số chỉ ra phân nhánh. Điểm bất động cho nghiệm của bài toán gốc. Phương pháp này thống nhất nhiều kết quả riêng lẻ.
VI. Kết Quả Nghiên Cứu Và Triển Vọng Ứng Dụng
Luận án nghiên cứu ứng dụng bậc tôpô và quan hệ thứ tự. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện phức tạp được giải quyết. Phương pháp kết hợp cho kết quả mạnh hơn từng phương pháp riêng. Sự tồn tại nghiệm không tầm thường được chứng minh. Nghiệm dương và tính chất đặc biệt được xác định. Ước lượng khoảng tồn tại nghiệm có ý nghĩa thực tiễn. Bài toán với điều khiển phản hồi mở hướng mới. Ứng dụng vào mô hình sinh thái và kinh tế rõ ràng. Kết quả có thể mở rộng cho hệ phương trình. Không gian vô hạn chiều là hướng nghiên cứu tiếp theo. Bao hàm thức trong không gian Banach tổng quát cần khảo sát. Điều kiện yếu hơn về tính compact đáng quan tâm.
6.1. Đóng Góp Chính Của Luận Án
Luận án xây dựng lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị mới. Ánh xạ có giá trị không lồi được nghiên cứu. Điều này mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng. Bao hàm thức cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm được giải. Số hạng phi tuyến phức tạp được xử lý hiệu quả. Phương pháp nghiệm dưới nghiệm trên được cải tiến. Kết hợp với bậc tôpô tạo công cụ mạnh. Bài toán điều khiển phản hồi có kết quả mới. Điều kiện tồn tại nghiệm dương được làm rõ. Ứng dụng vào mô hình cụ thể được trình bày chi tiết.
6.2. Ứng Dụng Vào Mô Hình Thực Tế
Mô hình động lực học quần thể được nghiên cứu kỹ. Phương trình Logistic với khai thác là ví dụ điển hình. Chính sách quản lý tài nguyên được đánh giá. Ngưỡng khai thác bền vững được xác định. Mô hình cơ học kết cấu với nhiều gối đỡ áp dụng. Bài toán dầm và cầu nhiều nhịp được giải. Điều kiện biên phức tạp phản ánh thực tế. Nghiệm dương đảm bảo ý nghĩa vật lý. Ước lượng nghiệm giúp thiết kế an toàn. Phương pháp có thể áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác.
6.3. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo
Mở rộng cho hệ bao hàm thức là hướng tự nhiên. Tương tác giữa nhiều phương trình cần nghiên cứu. Không gian Banach tổng quát hơn đáng khảo sát. Điều kiện compact có thể thay bằng điều kiện yếu hơn. Ánh xạ ngưng tụ là thay thế tiềm năng. Bao hàm thức phân thứ là hướng mới. Đạo hàm phân thứ mô tả hiện tượng có trí nhớ. Điều khiển tối ưu kết hợp bao hàm thức cần nghiên cứu. Phương pháp số để tính nghiệm cụ thể quan trọng. Kết hợp lý thuyết và tính toán mang lại giá trị ứng dụng cao.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (107 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH NGUYEN ĐĂNG QUANG UNG DUNG QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ BAC TOPO TRONG NGHIEN CUU MOT SO LOP BAO HAM THUC Thanh phố Hồ Chí Minh — Nam 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH NGUYÊN ĐĂNG QUANG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SÓ: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN BICH HUY Thanh phó Hô Chí Minh — Nam 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi đưới sự hưởng dan của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bồ trong bat kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Đăng Quang MỤC LỤC LỚI CAM DOAN .cccsssssssconssssssccssnsssscssnsssecsssnssssessonsssscseansvsesennssssscansnassocssosseseersnsss | MUICILUUEhiioiiioaoiiaiosuiatiiiiiitiiittootiiiiniittiaiiii1i181110611821118183813655518363851885138535838885488535E 2 BMG BOB TT TT TP T0 900077170710771701771070007100771 0707700771 071707170771 707/10 70. BAC TOPO CUA ANH XA ĐA TRI TÁC DONG TRONG KHÔNG GIANIBANACH CO THU WU scssisssisicassscccssssscersasssszincessasiressssartesoseanasercsessiarrasssat 12 1.1 Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi.1 Định nghĩa và các tính chat đặc trưng của bậc tôpô theo nón.2 Tinh bạc tôpô của một SỐ GRD XẠ.
St SH TH n1 xe ccec 15 1.3 Tính bậc trên các miễn đặc biệt. cv ng S21 21121611 se eccu 21 1.4 Bậc tôpô của GHAR xạ Khổ VE.5 Ứng dụng vào bài toán điểm bat động của ánh xạ đa trị.6 Ung dung vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ da trị.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi. UNG DỤNG VÀO MỘT SO LÓP BAO HAM THUC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI DIEU KHIEN PHAN HỎI.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng PHÍSIDHƯGTEiciiciiicciieiiii:200014201041104421221121112421461594016413853882853683594818433844832536s8g8g3.sai 45 Zi (IOIMỆ Haonastiaaoipitindtitistii3511401184319311481823558335561054858415531384358238314856158558532 45 2. Các kết quả chính.
2c: tt St St 211 2110210021001101110011012 xe 47 2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khién phản hồi.à SH HH HT ng ng nha 58 DD, (I0IVNGHIGIHÏR:.-set:tv66:4062110560231E3ia1053118E119815190213223222113383328122318361 50 62 2.3 Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi.:55255cc55cccs2 74 PC TA laia.2 Chuyển về bài toán điểm bắt động .-552255c25ccScccSercrrcsee 78 DSS) (GBIRENgnil'GNINftoansasroanntainnaiiag1t03311241053333111031816311883383189318/331835481383191838) 83 KET LUẬN. DANH MỤC CÔNG TRÌNH CUA TÁC GIÁ. S2 S9 2201211221121 11 2 xe TÀI LIỆU THAM KHẢO MO DAU Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bat động của ánh xa co được tim ra kha sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm.
Định lý điểm bat động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả câu tâm Ø (phan tử zero của không gian định chuẩn) thi không khang định được điểm bat động tìm được la khác Ø, trong khi các phương trình mô ta các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm Ø va ta cần tìm nghiệm khác Ø. Hạn chế này được khác phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Schauder xây dựng và được phat triển trong các công trình của M.
Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tôn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cau trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact). Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm. Vi du, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào dau thé kỷ 20 dé chứng minh các dang tương đương của tiên đề chọn như bé dé Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,. Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff vẻ tích các không gian compact, Định lý Hahn — Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm.
Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thong vào thập niên 1940 trong công trình của M. Ly thuyét nay duge phat trién mạnh mẽ trong những năm 1950 — 1970 trong các công trình của M. Krasnoselskii và các học trò, của N. 6, 8, 10, 15, 25, 43, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay. Các kết qua trừu tượng cúa Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình. bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y — Sinh học, Kinh tế học,. vì những ưu điểm sau: - Chúng cho phép chứng minh sự tôn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính đương, tính đơn điệu, tính lỏi,.
là những tính chất cần có của nghiệm của các bải toán xuất phát từ các mô hình thực tế. - Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các đữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tuc,. la những tình huống thưởng gặp trong thực tế. - Chúng cho phép đánh giá khoảng ton tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.
Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính,. mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, ví dụ như nghiền cứu các phương trình với ánh xa đa trị (hay cũng gọi là các bao hảm thức). Các ánh xa đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tôi ưu, Lý thuyết điều khién, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự ton tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Dinh lý Banach-Caccioppoli, Dinh lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster — Kuratowski — Mazurkiewicz, bat đăng thức Ky Fan,.
Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ da trị có giá trị lôi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Eitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bat động của M. Krasnoselskii, Leggett - Williams đã được chứng minh cho các ánh xa đa trị và được ứng dụng cho các bao ham thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tai liệu tham khảo trong đó).
Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp ve thứ tự giữa hai tập hợp. Gan đây, với việc sử dung các dang thứ tự thích hợp giữa các tập hợp ma quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô dé thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7. Dé nghiên cứu các bao ham thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến tính (ví dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không lồi cũng được xây đựng. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tépé tương đối theo một tập lồi.
cho lớp ánh xạ dạng P=7' với 7 là ánh xạ đa trị lỗi. P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thông hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bai toán liên kết dé tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thê, Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngoài phan Mở dau, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng.
Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự 1. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi Ở mục nay, dựa trên các tính chat đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp anh xa đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết qua dé áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miễn đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phan này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xa compact vả bậc tôpô của anh xạ ban đầu có thé được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó. Sau đó chúng tôi áp đụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô dé chứng minh các kết quả sau: e Sự tôn tại một hoặc nhiều điểm bat động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lỗi, là mở rộng các Định lý vẻ ánh xạ nén hoặc giãn nón của M.
Krasnoselskii, Dinh lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn tri. ¢ Sự tôn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham SỐ tiễn về ø. Các kết quả trong mục nảy của luận án đã được công bố trong [TGI]. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi Trong bài báo [2].
Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng PeT , trong đó 7 là ánh xạ đa trị có giá trị lôi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuân và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thê không tuyến tinh), liên tục đối với tôpô yéu và tôpô-chuân. Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô (*) -yêu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô nảy mới được sử dụng đề chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder vẻ tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm Ø.
Kết quả này không đủ đề thu được điềm bat động không tam thường của các bao hàm thức. Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết qua vé tính bậc tôpô của R. Các kết quả này được được công bồ trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 đề chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tam thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiến 2.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu ứng dụng bậc tôpô và quan hệ thứ tự trong giải quyết bao hàm thức và phương trình vi phân.
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Năm bảo vệ: 2024.
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" thuộc chuyên ngành Toán Giải tích. Danh mục: Giải Tích.
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" có bao nhiêu trang?
Luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" có 107 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô bao hàm thức" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.