Luận án tiến sĩ: Phương trình và bất phương trình dạng logistic

Mô hình tăng trưởng logistic mô tả mật độ quần thể u(x,t) trong không gian sống Ω. Tham số λ đo độ tăng trưởng của loài. Hàm b(x) chỉ giới hạn tập trung của quần thể. Trạng thái dừng ổn định qua thời gian là nghiệm của phương trình elliptic. Phương trình logistic cổ điển chứa toán tử Laplace và các hệ số a(x), b(x) trơn. Điều kiện biên u=0 trên ∂Ω thể hiện quần thể không tồn tại ngoài miền sống.

Để mô tả chính xác hơn mô hình thực tế, toán tử Laplace được thay bằng toán tử p-Laplace. Tính chính quy của các hàm a(x), b(x) được giảm nhẹ. Các tương quan giữa α, β, γ khác với α < 1, α < β được nghiên cứu. Khi giảm nhẹ tính chính quy, nghiệm cổ điển có thể không tồn tại. Nghiệm yếu của phương trình trở thành đối tượng nghiên cứu chính. Phương trình phi tuyến tổng quát mở rộng khả năng ứng dụng.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm là vấn đề cơ bản. Sự tồn tại nhiều nghiệm tùy thuộc giá trị tham số λ. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi λ tiến tới 0 hoặc vô cùng. Sự phân nhánh nghiệm từ nghiệm không hoặc tại vô cùng. Tính ổn định nghiệm qua thời gian. Điểm cân bằng của hệ phương trình logistic.

Phương trình logistic dạng tổng quát mở rộng mô hình cổ điển. Phương trình chứa đạo hàm của ẩn hàm trong vế phải. Bài toán được đặt trong miền Ω mở, bị chặn có biên trơn. Điều kiện biên Dirichlet u=0 trên ∂Ω. Toán tử vi phân tổng quát thay thế toán tử Laplace. Phương pháp điểm bất động được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.

Trường hợp dưới tuyến tính có tính chất đặc biệt về nghiệm. Phương trình có nghiệm dương duy nhất khi tham số đủ lớn. Phương pháp so sánh nghiệm được sử dụng hiệu quả. Nghiệm dưới và nghiệm trên được xây dựng. Nguyên lý cực đại đóng vai trò quan trọng. Tính duy nhất nghiệm được chứng minh bằng phản chứng.

Trường hợp siêu tuyến tính phức tạp hơn về cấu trúc nghiệm. Có thể tồn tại nhiều nghiệm dương. Sự phân nhánh nghiệm xảy ra tại giá trị tham số đặc biệt. Phương pháp biến phân được kết hợp với lý thuyết điểm bất động. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số thay đổi. Bậc tôpô của toán tử liên quan được tính toán.

Bất phương trình biến phân được phát biểu trong không gian Sobolev W^{1,p}(Ω). Toán tử p-Laplace xuất hiện trong công thức biến phân. Hàm logistic phi tuyến nằm trong vế phải bất phương trình. Tập chấp nhận được K là nón lồi đóng. Bài toán tìm u thuộc K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân. Phương pháp đối ngẫu được sử dụng để phân tích.

Bài toán được đưa về dạng điểm bất động T(u)=u. Toán tử T ánh xạ nón K vào chính nó. Tính compact của toán tử T được chứng minh. Định lý điểm bất động Schauder được áp dụng. Bậc tôpô của toán tử trên miền bị chặn được tính. Sự tồn tại nghiệm dương được suy ra từ tính chất bậc tôpô.

Bất phương trình có ít nhất một nghiệm dương. Nghiệm thuộc không gian Sobolev và thỏa mãn điều kiện biên. Tính ổn định nghiệm được nghiên cứu qua phương pháp nhiễu. Ước lượng tiên nghiệm cho nghiệm được thiết lập. Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Kết quả áp dụng cho hệ bất phương trình biến phân.

Phương trình có dạng -M(x,||∇u||²)Δu = f(x,u,∇u) trong Ω. Số hạng M(x,t) là hàm Kirchhoff phụ thuộc vị trí và cường độ gradient. Điều kiện biên Dirichlet u=0 trên ∂Ω. Vế phải chứa hàm logistic phi tuyến f(x,u,∇u). Bài toán được phát biểu trong không gian Sobolev. Nghiệm yếu được định nghĩa qua công thức tích phân.

Hàm M(x,t) = a(x) + b(x)t^γ với b(x) > 0. Giả thiết b không suy biến đảm bảo tính elliptic. Phương pháp biến phân trực tiếp được áp dụng. Phiếm hàm năng lượng được xây dựng và có tính coercive. Sự tồn tại nghiệm thu được từ định lý tối thiểu hóa. Tính duy nhất nghiệm được chứng minh trong trường hợp đặc biệt.

Hàm b(x) có thể bằng 0 trên tập con của Ω. Tính elliptic của phương trình bị mất ở vùng suy biến. Phương pháp xấp xỉ với chuỗi phương trình không suy biến. Ước lượng đều cho nghiệm xấp xỉ được thiết lập. Nghiệm của bài toán gốc thu được qua giới hạn. Kết quả yêu cầu giả thiết mạnh hơn về hàm logistic.

Hệ gồm n phương trình elliptic phi tuyến liên kết. Mỗi phương trình chứa toán tử vi phân và hàm logistic. Số hạng tương tác mô tả cạnh tranh giữa các loài. Điều kiện biên Dirichlet cho tất cả các hàm u_i. Nghiệm của hệ là bộ (u_1,...,u_n) thuộc không gian tích. Bài toán được đưa về điểm bất động của toán tử vectơ.

Không gian Banach tích E = E_1 × ... × E_n được trang bị nón tích. Thứ tự từng phần trong không gian tích được định nghĩa. Toán tử T ánh xạ nón K vào chính nó. Tính compact và tính đơn điệu của T được chứng minh. Định lý điểm bất động Krasnoselskii được áp dụng. Bậc tôpô của toán tử vectơ được tính toán.

Hệ có ít nhất một nghiệm dương khi tham số thích hợp. Trong trường hợp dưới tuyến tính, nghiệm duy nhất. Trường hợp siêu tuyến tính có thể có nhiều nghiệm. Sự phân nhánh nghiệm từ nghiệm tầm thường. Tính ổn định nghiệm được nghiên cứu qua phương pháp tuyến tính hóa. Kết quả áp dụng cho mô hình sinh thái cụ thể.

Không gian Banach E được trang bị nón dương K. Nón K là tập lồi, đóng và K ∩ (-K) = {0}. Thứ tự từng phần x ≤ y khi y-x thuộc K. Nón chuẩn tắc và nón chính quy có tính chất đặc biệt. Toán tử đơn điệu tăng bảo toàn thứ tự. Định lý điểm bất động trong nón được áp dụng.

Bậc tôpô i(F,D,K) đo số nghiệm của phương trình F(u)=u. Tính chất cộng tính và bất biến đồng luân của bậc. Bậc khác 0 suy ra sự tồn tại nghiệm. Công thức tính bậc cho toán tử compact. Bậc của toán tử tuyến tính liên quan đến giá trị riêng. Ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm dương.

Các giả thiết về tính chính quy của miền Ω. Điều kiện về hàm logistic và các hệ số. Giả thiết về tính đơn điệu và tính lồi. Kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu dương. Tính duy nhất hoặc đa nghiệm tùy trường hợp. Dáng điệu tiệm cận và sự phân nhánh nghiệm.