Luận án Nguyễn Thị Lan Hương: Nhóm tự đẳng cấu miền Cn, dáng điệu hàm squeezing

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Lan Hương NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MIỀN TRONG Cn VÀ DÁNG ĐIỆU BIÊN CỦA HÀM SQUEEZING LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 12/2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Lan Hương NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MIỀN TRONG Cn VÀ DÁNG ĐIỆU BIÊN CỦA HÀM SQUEEZING Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 94 60 101.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS NINH VĂN THU CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG GS. TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 12/2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước. Các kết quả viết chung với PGS.

Ninh Văn Thu, PGS. Hyeseon Kim, TS. Mai Anh Đức, PGS. TSKH Nguyễn Quang Diệu, ThS.

Trần Quang Hùng đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Lan Hương 1 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của PGS. Nhân dịp này, tôi xin được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. Nguyễn Thạc Dũng, PGS. Ngô Quốc Anh và PGS. Hyeseon Kim, những người đã giúp đỡ tôi nhiều trong quá trình học nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo và Ban Giám hiệu trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành luận án của mình. Cuối cùng, tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học thuộc trường ĐH KHTN - ĐHQGHN; Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Cơ bản thuộc trường ĐH Mỏ-Địa chất; các thành viên Seminar “Giải tích” thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học; cùng các bạn đồng nghiệp về sự động viên, khích lệ cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quá trình học tập và công tác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Lan Hương 2 Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Danh mục các kí hiệu 5 Mở đầu 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 15 1.1 Hàm đa điều hòa dưới .2 Khái niệm miền giả lồi .3 Khái niệm kiểu theo nghĩa D’Angelo .4 Khái niệm dãy hàm chuẩn tắc và giới hạn của dãy miền.

Nhóm tự đẳng cấu của một số miền trong Cn 25 2.1 Một số khái niệm và bổ đề .2 Nhóm tự đẳng cấu của mô hình DP và QP .3 Tự đẳng cấu của mô hình kiểu hữu hạn .4 Một số ví dụ minh họa cho kết quả chính. Dáng điệu biên của hàm squeezing 48 3.1 Dáng điệu biên của hàm squeezing gần điểm biên có đối hạng của dạng Levi bằng 1 .1 Dãy scaling trong miền nhiều chiều .2 Tính chuẩn tắc của dãy scaling .2 Dáng điệu biên của hàm squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính .1 Một số bổ đề kỹ thuật .2 Hàm squeezing đối với miền lồi tuyến tính. 55 3 Kết luận và kiến nghị 65 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 66 Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại các hội nghị 67 Tài liệu tham khảo 68 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 1. Aut(Ω): nhóm tự đẳng cấu của miền Ω.

C k (Ω): không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω. H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập các ánh xạ chỉnh hình từ w vào Ω. SH(Ω): tập các hàm điều hoà dưới trên Ω ⊂ C. PSH(Ω): tập các hàm đa điều hoà dưới trên Ω ⊂ Cn.

USC(Ω): tập các hàm nửa liên tục trên trong Ω ⊂ Cn. P2m : không gian tất cả các đa thức, giá trị thực, thuần nhất, điều hòa dưới trên C với bậc 2m. MQ = {z ∈ Cn : Re(zn ) + Q(z1 )+|z2 |2 + · · · +|zn−1 |2 < 0} với Q ∈ P2m. Ω1 ≃ Ω2 với nghĩa: Ω1 và Ω2 là song chỉnh hình với nhau.

a ≲ b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, độc lập với các tham số (thường là q và tham số thực ε) sao cho a ≤ Cb. a ≈ b có nghĩa là tồn tại hằng số C1 , C2 > 0, độc lập với các tham số (thường là q và tham số thực ε) sao cho C1 b ≤ a ≤ C2 b. τ (∂Ω, p): kiểu của biên ∂Ω tại điểm biên p ∈ ∂Ω. TpC (M ): không gian tiếp xúc phức của siêu mặt M tại p.

KΩ : giả metric Royden-Kobayashi trên miền Ω. σΩ (z): hàm squeezing của miền Ω ⊂ Cn tại z ∈ Ω. Lý do chọn đề tài Cho Ω là một miền trong Cn. Tập tất cả các tự đẳng cấu (ánh xạ song chỉnh hình từ Ω vào Ω) của Ω, kí hiệu bởi Aut(Ω) lập thành một nhóm với phép toán hợp thành.

Các nghiên cứu trong mấy chục năm qua chỉ ra rằng, hình học của miền được xác định bởi cấu trúc của nhóm tự đẳng cấu, tức là biết được nhóm Aut(Ω) ta có thể suy ra được một số tính chất hình học của miền Ω. Vì vậy, việc tính hoặc mô tả nhóm tự đẳng cấu là cần thiết. Tuy nhiên, với hầu hết các miền, việc tính các nhóm tự đẳng cấu không đơn giản và mới chỉ thực hiện được trong một số trường hợp. Cụ thể, trong mặt phẳng phức, nhóm tự đẳng cấu của đĩa đơn vị được tính toán dễ dàng.

Đối với các miền trong không gian phức với chiều ≥ 2, đa đĩa ∆n và hình cầu đơn vị Bn cũng được mô tả chi tiết. Từ việc hai nhóm này không đẳng cấu với nhau (chiều của hai nhóm tự đẳng cấu khác nhau) ta suy ra ngay ∆n và Bn không song chỉnh hình với nhau, mặc dù chúng đồng phôi với nhau (Định lý Poincaré). Thullen đã mô tả nhóm tự đẳng cấu của miền ellipsoid (miền Thullen) D = {(w, z) ∈ C2 : |w|2 + |z|p < 1}, 1 < p ̸= 2. Sau đó, các nhà Toán học như Cartan.S đã thành công trong việc mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền Thullen tổng quát trong Cn.

Đặc biệt, Thu N.A [40] đã tính được nhóm tự đẳng cấu của mô hình thuần nhất trong C2 sau đây: MH = {(w, z) ∈ C2 : |w|2 + H(z) < 1}, trong đó H(z) là đa thức thực thuần nhất theo trọng điều hoà dưới bậc 2m 6 (m ≥ 1) và không chứa hạng tử điều hoà. Phần đầu của luận án được dành để mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền tổng quát hơn trong Cn. Cụ thể, luận án sẽ mô tả nhóm tự đẳng cấu của mô hình đa kiểu hữu hạn (theo nghĩa của D. Catlin) trong Cn sau đây: MP = {z = (z ′ , zn ) ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0}, trong đó P (z ′ ) là đa thức giá trị thực, đa điều hoà dưới, thuần nhất theo trọng và không chứa hạng tử đa điều hoà.

Trong Giải tích phức nhiều biến, các nhà Toán học tập trung nghiên cứu các tính chất của miền bất biến qua các tự đẳng cấu. Cụ thể, các metric bất biến như metric Carathéodory, metric Kobayashi, metric Bergman,.và các hàm bất biến như hàm squeezing, hàm Fridman. Bây giờ, ta nhắc lại khái niệm hàm squeezing. Cho Ω là miền trong Cn và p ∈ Ω.

Với phép nhúng chỉnh hình f : Ω → Bn , f (p) = 0, ta định nghĩa σΩ,f (p) := sup{r > 0 : B(0, r) ⊂ f (Ω)}, trong đó B (z0 , r) ⊂ Cn ký hiệu cho hình cầu phức bán kính r và tâm tại z0 và Bn ký hiệu cho hình cầu đơn vị B(0, 1). Khi đó, hàm squeezing σΩ : Ω → R được định nghĩa như trong [11] bởi σΩ (p) := sup {σΩ,f (p)}. f Trên tập con compact tuỳ ý của Ω, hàm squeezing bị chặn dưới bởi hằng số dương và do đó các metric bất biến sẽ tương đương nhau trên tập này. Vì vậy, hàm squeezing có ý nghĩa khi điểm p rất gần biên ∂Ω.

Trong trường hợp miền Ω có hàm squeezing bị chặn dưới bởi hằng số dương trên Ω (miền squeezing đều), các metric trên Ω tương đương nhau. Tuy nhiên, đối với miền bất kì ước lượng này có thể không xảy ra và hàm squeezing có thể dần đến 0 khi điểm p dần đến biên của miền. Vì vậy, trong phần tiếp theo, luận án tập trung nghiên cứu dáng điệu biên của hàm squeezing trên các miền giả lồi kiểu hữu hạn. 7 Để đưa ra được ước lượng cho hàm squeezing, luận án sử dụng phương pháp scaling của Pinchuk.

Phương pháp scaling được Bedford.F [5] sử dụng một cách hiệu quả để đặc trưng cho miền giả lồi chặt, giả lồi kiểu hữu hạn trong C2 , miền lồi kiểu hữu hạn với nhóm tự đẳng cấu không compact. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp scaling cho miền có đối hạng của dạng Levi bằng 1 trong bài báo [15] và cho miền lồi tuyến tính trong bài báo [39]. Ngoài ra, tính bất biến của hàm squeezing qua ánh xạ song chỉnh hình được chúng tôi sử dụng để đưa ước lượng dưới cho hàm squeezing cho miền giả lồi kiểu hữu hạn, đặc biệt cho miền ellipsoid tổng quát. Với các lý do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài luận án “Nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền trong Cn và dáng điệu biên của hàm squeezing” để tiếp tục giải quyết hai bài toán sau đây: Bài toán 1.

Mô tả nhóm tự đẳng cấu của miền trong Cn. Nghiên cứu dáng điệu biên của hàm squeezing của miền trong Cn. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền trong Cn (mô hình đa kiểu hữu hạn) và nghiên cứu dáng điệu biên của hàm squeezing trên miền giả lồi kiểu hữu hạn trong Cn. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là các miền trong Cn.

Trong luận án, tư tưởng chính xuyên suốt là khảo sát các tính chất hình học của miền. Cụ thể, luận án khảo sát nhóm tự đẳng cấu của mô hình đa kiểu hữu hạn và khảo sát dáng điệu của hàm squeezing tại các điểm gần biên của miền giả lồi kiểu hữu hạn.