Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Hà Huy Khoái 2. Vũ Hoài An THÁI NGUYÊN-NĂM 2017 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An.

Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017 Tác giả Lê Quang Ninh ii Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An.

Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giảng viên trong khoa, đặc biệt là Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN, Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn và PGS.

TSKH Tạ Thị Hoài An (hai cán bộ phản biện) và các nhà khoa học trong Hội đồng bảo vệ luận án cấp cơ sở của tác giả đã dành rất nhiều thời gian đọc, sửa, góp ý để luận án được hoàn thiện tốt hơn rất nhiều. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình, những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án. Tác giả Lê Quang Ninh 1 Mục lục Mở đầu. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm.

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với hàm phân hình. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm 26 Chương 2. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm.

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với đường cong chỉnh hình. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình trên trường không Ác-si-mét.

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến đối với các hàm nguyên trên một trường không Ác-si-mét. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình trên trường không Ác-si-mét. Lý do chọn đề tài Trong toán học, Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức một biến khác hằng với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức.

Từ đó suy ra mọi đa thức khác hằng với hệ số phức nhận giá trị phức bất kỳ. Picard là người đầu tiên mở rộng Định lý cơ bản của Đại số cho hàm nguyên phức mà ngày nay được gọi là Định lý Picard. Định lý Picard phát biểu như sau: mọi hàm nguyên một biến khác hằng trên mặt phẳng phức C nhận mọi giá trị phức, trừ ra cùng lắm là một giá trị. Vào những thập niên đầu tiên của thế kỷ XX, Nevanlinna đã xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình trên C mà ngày nay được gọi là lý thuyết Nevanlinna.

Kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là hai định lý chính. Định lý chính thứ nhất là mở rộng của Định lý cơ bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên C. Định lý chính thứ hai là mở rộng của Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p-adic.

Ông và các học trò đã xây dựng tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số p-adic mà ngày nay thường gọi là lý thuyết Nevanlinna p-adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình p-adic.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân hình f và g trên mặt phẳng phức C, nếu chúng có cùng ảnh ngược (không tính tính bội) của 5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và g có af + b dạng (a, b, c, d là các số phức nào đó thỏa mãn ad − bc 6= 0) nếu f cf + d 3 và g có cùng ảnh ngược (kể cả bội) của 4 điểm phân biệt (Định lý 4 điểm). Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp các điểm phân biệt mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của Nevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic). Có hai hướng mở rộng Định lý 5 điểm.

Hướng thứ nhất: Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm cho các hàm và nghịch ảnh của siêu phẳng, siêu mặt cho các ánh xạ chỉnh hình trong các trường hợp phức và p-adic đối với vấn đề xác định duy nhất hàm hoặc ánh xạ chỉnh hình. Hướng thứ nhất là sự mở rộng tự nhiên của Định lý 5 điểm. Vấn đề xác định duy nhất theo hướng thứ nhất được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với các kết quả của nhiều tác giả: M.Yang, Ha Huy Khoai, L.Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương.Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược của các điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong C ∪ {∞}. Ông đưa ra hai câu hỏi sau: i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn tại hay không hai tập Si , i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ta có f = g? Các công trình trả lời câu hỏi của F.Gross đã hình thành và phát triển hướng thứ hai: Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm cho các hàm trong các trường hợp phức và p-adic đối với hàm và ánh xạ chỉnh hình.

Hướng thứ hai đã nhận được nhiều kết quả sâu sắc của F.Ru, Hà Huy Khoái, A. Liên quan đến vấn đề duy nhất của hàm phân hình là khái niệm đa thức duy nhất, đa thức duy nhất mạnh và phương trình hàm.Shiffman năm 2001 đã nghiên 4 cứu vấn đề không tồn tại cặp hàm phân hình (hoặc hàm nguyên) khác hằng phân biệt f, g thỏa mãn P (f ) = P (g).Fujimoto [12] đã xây dựng lớp đa thức duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của nó là tập xác định duy nhất. Năm 2004, Hà Huy Khoái và C. Năm 2011, Tạ Thị Hoài An [2] đã xây dựng hai lớp đa thức duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của chúng là tập xác định duy nhất.

Từ các kết quả trên, chúng tôi nhận thấy: công việc xây dựng tập xác định duy nhất gồm hai bước. Từ điều kiện về ảnh ngược Ef (S) = Eg (S) hoặc E f (S) = E g (S) đưa đến phương trình hàm P (f ) = cP (g), ở đó S là tập nghiệm của đa thức P không có nghiệm bội, c 6= 0. Dùng hai Định lý chính và các kỹ thuật đánh giá để chứng minh c = 1 và chứng minh phương trình P (f ) = P (g) có nghiệm duy nhất f = g hoặc dùng tính hyperbolic Brody của đường cong để chứng minh phương trình P (f ) = cP (g), c 6= 0 có nghiệm duy nhất f = g.Shirosaki đã xây dựng siêu mặt X xác định duy nhất đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Công việc xây dựng siêu mặt X gồm 2 bước: Một là, dùng điều kiện bội giao để đưa ra phương trình hàm nhiều biến đối với các hàm nguyên f1 ,.

Hai là, chứng minh nghiệm của phương trình có dạng (f1 ,. , γgN +1 ), trong đó γ là hàm nguyên không có không điểm. Từ đó, chúng tôi có nhận xét rằng: Phương trình hàm P (f ) = P (g) (P (f1 ,. , gN +1 )) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định duy nhất hàm phân hình (đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính).

Có thể nói rằng: mỗi tập xác định duy nhất (theo hướng thứ hai) đều nảy sinh vấn đề duy nhất nghiệm của phương trình hàm P (f ) = P (g) và ngược lại. Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi. Câu hỏi 1: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm 5 duy nhất, mô tả nghiệm,. của phương trình hàm P (f ) = Q(g) liên quan đến ảnh ngược của các tập đối với hàm phân hình như thế nào? Câu hỏi 2: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm duy nhất, mô tả nghiệm,.

của phương trình hàm nhiều biến đối với các hàm nguyên P (f1 ,. , gN +1 ) liên quan đến ảnh ngược của các siêu mặt đối với đường cong chỉnh hình như thế nào? Hai câu hỏi trên có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của F. Trong [26] có nhắc lại câu hỏi sau đây của C. Yang: "Cho f1 , f2 là hai đa thức phức, S = {−1, 1} và f1−1 (S) = f2−1 (S).

Khi đó f1 = f2 hoặc f1 = −f2 ?" Câu hỏi của C.Yang đã được giải quyết trong [36].