Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học một số vấn đề định tính đối với lớp phương trìn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. Trần Đình Kế Phản biện 1: GS. Nguyễn Minh Trí Viện Toán học Phản biện 2: PGS. Đỗ Đức Thuận Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.

Nguyễn Thị Kim Sơn Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (nonlocal differential equa- tion) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi là đạo hàm “có nhớ”). Lớp phương trình không địa phương tiêu biểu sau đây mô tả các quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) trong đó u = u(t, x) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ là ký hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian.

Lớp phương trình này được nghiên cứu gần đây trong các công trình của Zacher và các cộng sự (2015, 2016). Đặc biệt, khi t−α k(t) = g1−α (t) = , 0 < α < 1, (2) Γ(1 − α) thì phương trình trên là phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mô tả quá trình dưới khuếch tán (subdiffusion), là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) chính là phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo. Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ là mô hình tiêu biểu của phương trình vi phân không địa phương, hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự.

Các kết quả về tính ổn định Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ có thể tìm thấy trong các công trình của R. Tuan (2014), hoăc của tác giả I. Stamova (2016) và các tài liệu tham khảo trong đó. Liên quan đến tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân phân thứ, có thể kể đến các kết quả gần đây trong các công trình của các nhà toán học M.

Với các hệ vi phân phân thứ trong không gian vô hạn chiều, một số kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu đã được thiết lập trong các công trình công bố bởi T. Ke và các cộng sự (2016, 2017). Zacher đã xem xét các trường hợp khác nhau của phương trình (1) khi thay nhân k bởi các hàm khả tích, từ đó dẫn đến các mô hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) và ý nghĩa vật lý của chúng. Những kết quả này gợi ý cho chúng ta những vấn đề nghiên cứu mới, trong đó đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân không địa phương nửa tuyến tính tổng quát trong các không gian Banach hoặc Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), (3) dt với A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f là một hàm phi tuyến cho trước.

Theo khảo sát của chúng tôi, những kết quả nghiên cứu định tính 1 cho phương trình (3) chưa được biết đến nhiều, các kết quả đã biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể khi A là toán tử elliptic mạnh. Những vấn đề cần nghiên cứu đối với lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải được và tính chính quy của nghiệm; • Sự tồn tại các lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút trong thời gian hữu hạn; • Bài toán giá trị cuối. Chú ý rằng ánh xạ nghiệm của (3) nói chung không có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm là không khả thi. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov cũng rất khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm do không gian pha (nói chung) là không gian vô hạn chiều và việc tính đạo hàm có nhớ trên phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện.

Đặc biệt, nếu trong (3) có sự xuất hiện của trễ thời gian sẽ dẫn đến nhiều khó khăn trong nghiên cứu tính ổn định của nghiệm. Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm những cách tiếp cận mới. Bên cạnh đó, bài toán ngược cho phương trình vi phân không địa phương cũng là một nội dung mới mẻ và có nhiều khía cạnh lí thú. Trên thực tế, khi mô hình hoá một bài toán bởi một hệ phương trình tiến hoá, có hai tình huống được xem xét.

Tình huống đầu tiên là ta có thể xác định được các hệ số và dữ kiện ban đầu của hệ phương trình. Khi đó ta có thể giải hệ hoặc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm bằng các công cụ giải tích. Bài toán ứng với tình huống này gọi là bài toán thuận (forward problem). Tình huống thứ hai xảy ra khi ta không xác định được đầy đủ các hệ số trong phương trình hoặc không đo được dữ kiện ban đầu.

Khi đó cùng lúc ta phải xác định các hệ số hoặc dữ kiện và nghiệm tương ứng của hệ dựa vào những ‘đo đạc’ bổ sung. Lúc này ta có bài toán ngược (inverse problem). Cần nhấn mạnh rằng, khác với bài toán thuận, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao và cần có cách tiếp cận phù hợp với từng trường hợp cụ thể. Chính vì vậy, các phương pháp giải bài toán ngược rất phong phú.

Trong một thập kỷ qua, bài toán ngược đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán xác định ngoại lực trong phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đã được đề cập trong nhiều bài báo, tiêu biểu là các kết quả của các tác giả F. AL-Musalhi và các cộng sự (2017), K. Zhang (2013), ở đó phương pháp khai triển Fourier được sử dụng.

So với trường hợp tuyến tính, bài toán xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và các kết quả liên quan còn ít được biết đến. Luchko và các cộng sự đã sử dụng nguyên lý cực trị để giải quyết bài toán xác định ngoại lực cho phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính. Bài toán tương tự được giải quyết trong các công trình của M. Siskova (2016) cũng như của S.

Đối với bài toán không đo được dữ kiện ban đầu, dữ kiện bổ sung được cho tại thời điểm quan sát t = T dưới dạng u(T ) = g. Ta gọi bài toán này là bài toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem). Bài toán giá trị cuối 2 hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự bởi những ứng dụng của nó trong xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý,. Để cụ thể hóa từng vấn đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi xét hệ sau đây: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, (4) dt u(0) = u0 , (5) ở đây ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian Hilbert tách được H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A là toán tử tuyến tính không bị chặn, và f : H → H là hàm cho trước.

Cần lưu ý rằng, lớp phương trình này đã và đang được sử dụng làm mô hình cho nhiều bài toán khác nhau có liên quan đến các quá trình có nhớ (điều này có thể tham khảo trong các công trình của Ph. Trong trường hợp đặc biệt, khi nhân k(t) = g1−α (t) := t−α /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), thì phương trình d (4) là phương trình vi phân phân thứ với [k ∗ (u − u0 )] là đạo hàm phân thứ Caputo dt bậc α, một đối tượng được nghiên cứu rộng rãi. Trong các trường hợp cụ thể, chẳng hạn như khi H = L2 (Ω), Ω ⊂ RN , và A = −∆ là toán tử Laplace với điều kiên biên Dirichlet/Neumann, phương trình (4) được dùng để mô tả các hiện tượng khuếch tán dị thường bao gồm khuếch tán chậm, siêu chậm, điều này đã được V. Zacher viết vào năm 2015.

Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì chưa có nghiên cứu nào về tính chính quy nghiệm của hệ (4)-(5). Ngoài ra, sự ổn định theo nghĩa Lyapunov cho (4) ít được biết đến. Đó là động lực cho chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán này. Trong trường hợp đặc biệt, khi k = g1−α , một số kết quả về tính ổn định được T.

Ke và các cộng sự nghiên cứu (2015, 2017). Trong bài báo được công bố năm 2017, Vergara và Zacher nghiên cứu một mô hình cụ thể của phương trình (4), đó là một phương trình vi phân đạo hàm riêng nửa tuyến tính không địa phương. Sử dụng nguyên lý cực đại cho phương trình tuyến tính hóa, các tác giả đã chứng minh sự ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường cho phương trình này. Điều đáng chú ý là kỹ thuật được Vergara và Zacher không áp dụng được cho phương trình tổng quát (4).

Chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính chính quy và tính ổn định tiệm cận của nghiệm đối với (4) bằng cách sử dụng một biểu diễn mới của nghiệm cùng bất đẳng thức kiểu Gronwall. Tiếp theo, chúng tôi xét một hệ phương trình không địa phương với ngoại lực f không chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ mà còn phụ thuộc vào trạng thái lịch sử, tức là hệ có trễ thời gian. Sự xuất hiện của trễ trong trường hợp này là một đặc tính tự nhiên trong nhiều bài toán thực tế của vật lý, hóa học, sinh học.