Toàn văn luận án tính ổn định và bền vững của hệ động lực tuyến tính - Dương Đặng Xuân Thành

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của mình, GS. Đỗ Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn tôi học tập và hoàn thành luận án. Nguyễn Khoa Sơn và GS. Dương Nguyên Vũ đã có những chỉ dẫn quan trọng, và anh Bùi Thế Anh đã có những trao đổi và cộng tác hữu ích.

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng đánh giá luận án đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý giá cho luận án này. Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý Sau Đại Học và Hợp Tác Quốc Tế trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận án. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô và các bạn trong Khoa Công Nghệ Thông Tin và Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng đã luôn quan tâm và động viên tôi trong quá trình học tập. i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một luận án nào khác. Tác giả luận án Dương Đặng Xuân Thành ii Danh sách ký hiệu L (X ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X R L (X ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục trên X L + (X ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục trên X L (X ,Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L R(X ,Y ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vào Y L + (X ,Y ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vào Y σ(.) Tập giải svs(.) Tập các giá trị kỳ dị r(A) Bán kính phổ - sup{|λ| : λ ∈ σ(A)} s(A) Chận trên phổ - sup{ℜλ : λ ∈ σ(A)} R(λ, A) Giải thức (λ I − A)−1 null(.) Ma trận cơ sở của không gian con nhân σmin (.) Giá trị kỳ dị nhỏ nhất σmin (.) Giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất (.)† Nghịch đảo Moore-Penrose N(.) Không gian con nhân R (.) Không gian con ảnh bởi k.kF Chuẩn Frobenius k.k2 Chuẩn 2-Euclide C− Nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức C1 Tập các số phức có độ dài nhỏ hơn 1 K C hoặc R v Mục lục Danh sách ký hiệu v Lời mở đầu 1 Phần 1: Bán kính ổn định 9 Chương 1 Hệ liên tục có chậm 10 1.1 Toán tử Metzler .2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng .3 Bán kính ổn định .4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ. 25 Chương 2 Hệ rời rạc cấp cao 27 2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng .2 Bán kính ổn định. 36 Chương 3 Phương trình sai phân 39 3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương .2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số .3 Bán kính ổn định .1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số .2 Phương trình sai phân.

55 iii Phần 2: Bán kính điều khiển được 57 Chương 4 Vô hạn chiều 58 4.1 Kiến thức cơ bản .2 Bán kính điều khiển được .1 Nhiễu trên cả A và B .2 Nhiễu trên chỉ A .3 Nhiễu trên chỉ B .4 Bán kính điều khiển được thực và phức. 68 Chương 5 Hữu hạn chiều 69 5.1 Kiến thức cơ bản .2 Bán kính điều khiển được có cấu trúc .1 Nhiễu trên cả A và B .2 Nhiễu trên chỉ A .3 Nhiễu trên chỉ B .3 Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc. 80 Chương 6 Thuật toán tính toán 83 6.1 Mở rộng kết quả của Gu .2 Thuật toán chia ba .1 Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng .3 Kết quả thực nghiệm .4 Bán kính ổn định hóa được. 92 Kết luận 97 Danh mục công trình 99 Tài liệu tham khảo 101 iv Phần 1 Bán kính ổn định 9 Chương 1 Hệ liên tục có chậm Trong nhiều thập kỷ qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã được nhiều nhà toán học quan tâm.

Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễu khác nhau. Các kết quả cho không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu khá đầy đủ trong các tài liệu tham khảo [59, 61, 62, 87, 104]. Một số mở rộng cho không gian vô hạn chiều được thực hiện trong [34, 35, 36, 39, 60, 96, 114]; đặc biệt, công thức tường minh cho bán kính ổn định phức đối với hệ ẋ(t) = Ax(t), t ≥ 0, dưới tác động của đơn nhiễu có cấu trúc A ,→ A + D ∆E đã được đưa ra trong [36], nhằm mở rộng một kết quả kinh điển của D. Pritchard [54]; sau đó, [35] nghiên cứu bài toán trong trường hợp A là toán tử Metzler và chỉ ra rằng bán kính ổn định thực và phức của hệ là trùng nhau và có thể được tính toán một cách dễ dàng.

Trong chương này, chúng tôi xem xét hệ liên tục có chậm sau (1. 10 Bố cục của chương này được trình bày như sau. Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc. Tính ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2.

Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3. Cuối cùng là kết quả đối với tính ổn định không phụ thuộc trễ. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T1, T5].1 Toán tử Metzler Cho X là không gian Banach phức và A : X −→ X là toán tử đóng, tập phổ của A được ký hiệu là σ(A), tập giải của A được ký hiệu là ρ (A) := C\σ(A) ,và đặt R(λ, A) := (λ I − A)−1 ∈ L (X ) - tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X - với λ ∈ ρ (A). Kí hiệu nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức bởi C− = {λ ∈ C : ℜλ < 0}, toán tử A : X −→ X được gọi là ổn định Hurwitz nếu σ(A) ⊂ C− , và là ổn định Hurwitz chặt nếu s(A) < 0.

Rõ ràng rằng một toán tử ổn định Hurwitz chặt thì sẽ ổn định Hurwitz. Giả sử rằng X ,Y là các không gian Banach phức có thứ tự, và X + , Y + lần lượt ký hiệu các nón dương của X , Y ; và L R(X ,Y ), L + (X ,Y ) lần lượt là các tập của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục thực và dương đi từ X vào Y. Trong suốt chương này, chúng tôi luôn giả sử rằng các không gian được xét đến là các không gian Banach phức có thứ tự. Toán tử Metzler còn được gọi là toán tử có phổ dương và được giới thiệu trong [6].

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số tính chất quan trọng của toán tử dương và toán tử Metzler. Bây giờ, chúng tôi giả sử rằng toán tử A bị nhiễu với cấu trúc như sau X N (1., N }, là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N , là các toán tử chưa biết. Ta có hàm truyền G i j (·) là giải tích trên ρ (A). Ta trang bị cho không gian Banach tích U1 ×.

× U N chuẩn sau || u|| = max || u i ||, u = (u 1,. i∈ N j =1 Do đó, toán tử [I − ∆ER(λ, A)D] là khả nghịch. Suy ra toán tử [I − D ∆ER(λ, A)] cũng khả nghịch và [I − D ∆ER(λ, A)]−1 = I + D[I − ∆ER(λ, A)D]−1∆ER(λ, A). Cho toán tử A là ổn định Hurwitz.

Các bán kính ổn định (Hurwitz) thực, phức và dương của A đối với nhiễu cấu trúc (1.2) được định nghĩa như sau X N r C = inf{ ||∆ i || : ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) 6⊂ C− }, i=1 XN r R = inf{ ||∆ i || : ∆ i ∈ L R (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) 6⊂ C− }, i=1 XN r + = inf{ ||∆ i || : ∆ i ∈ L + (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) 6⊂ C− }, i=1 trong đó inf ; = +∞. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz, ta có 1 1 ≤ rC ≤. max sup ||G i j (s)|| max sup ||G ii (s)|| i, j ∈ N ℜs≥0 i∈ N ℜs≥0 Hơn nữa, nếu D i = D j (hoặc E i = E j ) với mọi i, j ∈ N , thì 1 rC =. max sup ||G ii (s)|| i∈ N ℜs≥0 Chứng minh.

Giả sử rằng 1 rC < max sup ||G i j (s)|| i, j ∈ N ℜs≥0 Theo định nghĩa của bán kính ổn định phức, suy ra tồn tại (∆1,. Sử dụng Mệnh đề 1.4, từ bất đẳng thức trên ta suy ra λ ∈ ρ (A ∆ ). Điều này là mâu thuẫn, nên suy ra 1 rC ≥ max sup ||G i j (s)|| i, j ∈ N ℜs≥0 Điều còn lại cần phải chứng minh là 1 rC ≤. max sup ||G ii (s)|| i∈ N ℜs≥0 Thật vậy, xét λ ∈ C thỏaℜλ ≥ 0, i ∈ N và ε > 0 bất kỳ, thì sẽ tồn tại u ∈ U i thỏa mãn || u|| = 1 ||G (λ)|| ≥ ||G (λ)u|| ≥ ||G (λ)|| − ε ii ii ii Sử dụng định lý Hahn-Banach, suy ra tồn tại y∗ ∈ Yi∗ sao cho 14  || y∗ || = 1  y∗ (G (λ)u) = ||G (λ)u|| ii ii Xét toán tử ∆ : Yi → U i được định nghĩa bởi 1 ∆y = y∗ (y)u, ∀ y ∈ Yi.

||G ii (λ)u|| Ta có ∆ ∈ L (Yi ,U i ) và 1 1 ||∆|| ≤ ≤ ||G ii (λ)u|| ||G ii (λ)|| − ε Xét các toán tử nhiễu (∆1 , ., ∆ N ) được  định nghĩa bởi ∆, j = i ∆j = j ∈ N. 0, j 6= i P PN Ta có Nj =1 ||∆ j || = ||∆||, và (A + j =1 D j ∆ j E j )x = λ x, với x = R(λ, A)D u ∈ D (A). Từ đó suy ra λ ∈ σ(A ∆). Do đó, theo định nghĩa của bán kính ổn định phức r C thì X N 1 rC ≤ ||∆ i || = ||∆|| ≤ .