Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐOÀN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐOÀN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1.TS LÊ VĂN HIỆN 2. TRỊNH TUẤN ANH HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trịnh Tuấn Anh. Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong công trình, luận văn, luận án nào khác.

Tác giả 1 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại bộ môn Giải tích, khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS Trịnh Tuấn Anh. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, đã có những định hướng đúng đắn và chỉ dẫn sát sao cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả là nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong nghiên cứu. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình.

Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Phương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tích đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luận án. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Sau cùng, tôi xin dành những tình cảm và lòng biết ơn chân thành tới gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án này. Tác giả 2 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan.

SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn.

Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 23 1.

Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến. Một số kết quả bổ trợ. Đạo hàm Dini. Một số bổ đề bổ trợ.

TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ. Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.

Ví dụ minh họa. Kết luận Chương 2. TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ. Thiết lập sơ bộ.

Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến. Ví dụ minh họa.

Kết luận Chương 3. TÍNH HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA MỘT MÔ HÌNH NICHOLSON CÓ TRỄ. Kết quả sơ bộ. Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững.

Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục. Tính bền vững đều. Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương. Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục.

Ví dụ và mô phỏng. Kết luận Chương 4. 80 Kết luận chung. 82 Danh mục công trình công bố.

84 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 84 5 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2,. , n} a,b b là biểu thức định nghĩa của a R+ Tập các số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều kxk∞ maxi∈[n] |xi |, chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn Rm×n Tập hợp các ma trận cấp m × n A⊤ Ma trận chuyển vị của ma trận A A>0 Ma trận A xác định dương, tức là x⊤ Ax > 0, ∀x 6= 0 Sn+ Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n In Ma trận đơn vị trong Rn×n diag{a1 ,. , an } Ma trận chéo với các phần tử a1 , a2 ,.

, an trên đường chéo [A]ij Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A A0 Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j A≻0 Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j xy xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn Rn+ Orthant dương {x ∈ Rn : x  0} ξ + (t. mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0 λ(A) Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} C([a, b], Rn ) Tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b] D + v(t) lim suph→0+ v(t+h)−v(t) h , đạo hàm Dini trên bên phải. Lí do chọn đề tài Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh thái học quần thể, kinh tế và môi trường [1, 21]. Trong thực tiễn, rất nhiều mô hình ứng dụng được mô tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38].

Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tính chất phổ dụng của các hệ trong các mô hình ứng dụng, nói riêng. Vì vậy, bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình thực tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây [13]. Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính dừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs).

Khi đó, các công cụ giải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận được của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ. Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là các hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không dừng [30]. Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, 7 cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương pháp nghiên cứu đặc thù. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học, cần tiếp tục được nghiên cứu và phát triển.

Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhân tạo [28, 34]. Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron đã được thiết kế là hết sức quan trọng [40].

Mặt khác, trong các mô hình mạng nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lí và truyền tín hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng. Trong các công trình đã công bố, tính ổn định và tính đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Các kết quả đó hầu như không áp dụng được cho các mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sử dụng rất phổ biến trong mô tả động lực các hệ có cấu trúc mạng [41].