Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYÊN VĂN THÌN TINH CHUAN TAC CUA HQ HAM PHAN HINH MOT BIEN VA BAI TOAN DUY NHAT DOI VOI DA THUC VI PHAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYÊN VĂN THÌN TINH CHUAN TAC CUA HQ HAM PHAN HINH MOT BIEN VA BAI TOAN DUY NHAT DOI VOI DA THUC VI PHAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUAN AN TIEN Si TOAN HOC Người hướng dẫn khoa học: 1. TSKH Trần Van Tan 2. Hà Trần Phương THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH Trần Văn Tấn và PGS.

TS Hà Trần Phương. Các kết quả trong luận án viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thìn ii Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.

TSKH Tran Van Tan va PGS. TS Ha Tran Phuong. Tac gia luan án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất dén PGS. TSKH Tran Van Tan va PGS.

TS Ha Tran Phương đã tận tình hướng dẫn về mặt khoa học và tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Dại học Thái Nguyên, các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi về tỉnh thần cũng như vật chất để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán va cac thay, cô giáo của khoa Toán Trường Dại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đặc biệt xin được cảm ơn các thầy cô của bộ môn Giải tích - khoa Toán đã luôn động viên, tạo điều kiện về thời gian để tác giả hoàn thành luận án. Tac gia xin chân thành cảm ơn các thầy cô G5.

TSKH Hà Huy Khoái, GS. TSKH Đỗ Dức Thái, GS. TSKH Lê Mậu Hải, PGS. TSKH Tạ Thị Hoài An, PGS.

TS Phạm Việt Đức, TS. Vũ Hoài An và TS. Trịnh Thị Diệp Linh trong hội đồng cơ sở đã cho những nhận xét quý báu để luận án được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, luận án này được dâng tặng bố mẹ, các anh chị em trong đại gia đình thân yêu, tặng vợ và con yêu dấu, những người đã chịu nhiều khó khăn và dành hết những tình cảm yêu thương, động viên để tác giả hoàn thành những nghiên cứu của mình.

iii Muc luc _ Mở đầu 1 II Họ chuẩn tắc các hàm phân hinh| 11 [I1 Một số kiến thức cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinnal .2 Ho chuan tac của các hàm phân hình|. 13 |2 Mot so dinh lý kiểu Lappan cho ham ¿ - chuẩn tắc và họ | 37 |3.1 Hàm phân hình ¿ - chuẩn tắ| .2_ Định lý kiểu Lappan cho họ chuẩn tắc|_. 46 |3 Sự duy nhất của các hàm phân hình với đa thức đạo hàm _| | và z - sai phân chung nhau một hàm nhỏ] 57 [3.1 Sự duy nhất của các hàm phân hình với đa thức đạo hàm | | chung nhau một hàm nhỏ} .2_ Sự duy nhất của các hàm phân hình với đa thức q - sai | | phân chung nhau một hàm nhỏ|.- 68 Kết luận và đề nghị 79 | Danh mục công trình liên quan đến luận án| 80 'Tài liệu tham khảo|. Lý do chọn đề tài Dược hình thành từ những năm đầu của thế kỷ XX, với nguồn gốc từ những công trình của J.

Borel và đặc biệt công trình năm 1925 của R. Cốt lõi của Lý thuyết Nevanlinna chủ yếu nằm ở hai dạng định lý, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai. Sự kết hợp của hai định lý này cho ta thông tin về sự phân bố giá trị của các hàm (Anh xa) phân hình. Mỗi thành tựu đạt được về các định lý này thường kéo theo các ứng dụng trong việc nghiên cứu hàm (ánh xạ) phân hình.

Ngược lại để giải quyết nhiều bài toán về hàm (ánh xạ) phân hình, ta cũng cần xây dựng những dạng định lý cơ bản tương thích. Trong thực tế đó, chúng tôi chọn đề tài “Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân” để nghiên cứu hai ứng dụng tiêu biểu và đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna. Để giải quyết được các vẫn đề trong luận án, như đã bình luận ở trên, không chỉ khai thác sử dụng các kết quả đã biết của Lý thuyết Nevanlinna, chúng tôi phải thiết lập những dạng định lý cơ bản thứ hai phù hợp với tình huống của bài toán đang đặt ra. Sau đây chúng tôi đề cập chỉ tiết hơn về bối cảnh nảy sinh từng vấn đề.

Vấn đề nghiên cứu về họ chuẩn tắc được khởi nguồn từ những năm đầu của thế kỷ XX bằng các công trình của P. Montel [7T| đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc: Một họ Z các hàm phân hình trên miền 2 C € được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy {ƒ„} C # luôn chứa một dãy con {ƒ„„} hội tụ đều trên mỗi tập con compact của D theo khoảng cách cầu tới hàm phân hình ƒ hoặc œ. Marty [70| đưa ra tiêu chuẩn quan trọng nhận biết họ chuẩn tắc: Một họ Z các hàm phân hình ƒ trên một miền 2 C € là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu trên mỗi tap con compact K ciia D, dao ham Jƒ()| cầu ƒ#(z) = 1+JG)P của ƒ bị chặn bởi một hằng số Œ(K) phụ thuộc nhưng không phụ thuộc vào ƒ. Nguyên lý Bloch nói rằng: Mỗi định lý kiểu Picard (tiêu chuẩn cho một hàm là hằng) đều tương ứng với một tiêu chuẩn họ chuẩn tắc.

Nhằm triển khai nguyên lý Bloch, năm 1975, L. Zaleman [60| đưa ra kết quả chuyển sự kiểm tra một họ chuẩn tắc về việc chỉ ra sự không tồn tại các dãy con nhiễu hội tụ đều trên các tập con compact tới một hàm khác hằng. Năm 1998, ông [61] xem xét lại vấn đề trên và đạt được kết quả quan trọng sau: Cho họ .Ÿ các hàm phân hình xác định trên đĩa đơn vị U sao cho mọi không điểm của các hàm trong họ Z có bội # nhất p và mọi cực điểm có bội ít nhất ạ. Cho œ là số thực thỏa man —p < a < 4.

Khi đó họ Z không chuẩn tắc tại z¿ € U nếu và chỉ nếu tồn tại số thực 0<r <1, day điểm z„ : |z¿| < r và z„ > 2, day ham ƒ„ € F va dãy số thực dương ø„ => 0* sao cho ø„(€) = øØ?ƒa(z„ + p„§) hội tụ đều theo khoảng cách cầu trên mỗi tập con compaet của C đến ø(€), trong đó ø là hàm phân hình khác hằng trên C, mọi không điểm và cực điểm của ø có bội tương ứng ít nhất p và q. Kết quả trên thường được gọi là Bổ đề Zaleman. Dể ý rằng, khi phủ định kết luận trong Bổ đề Zalcman, ta thu được hàm hội tụ ø là hằng. Trong khi đó một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevan- linna là nó cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra một hàm là hằng, chẳng hạn từ Dịnh lý cơ bản thứ nhất và Dịnh lý cơ bản thứ hai, ta dễ dàng nhận lại Dịnh lý Picard bé: Một hàm phân hình trên mặt phẳng phức là hàm hằng nếu nó không nhận ba giá trị phân biệt.

Như vậy, Bổ đề Zaleman là cầu nối quan trọng thuận tiện cho việc sử dụng Lý thuyết Nevanlinna vào nghiên cứu Lý thuyết họ chuẩn tắc. Theo quan điểm nêu trên của Bloch, Định lý Picard bé ứng với tiêu chuẩn chuẩn tắc sau của Montel: Một họ Z các hàm phân hình trên miền 7D là chuẩn tắc nếu mỗi hàm trong họ bỏ qua ba giá trị phân biệt cho trước nào đó. Nhằm làm giảm số giá trị mà hàm bỏ qua trong Dinh ly Picard bé, nam 1959, W. Hayman đã chứng minh một định lý kiểu Picard cho hàm và đạo hàm: Một hàm phân hình ƒ là hàm hằng nếu ƒ không đâu triệt tiêu và ƒ không nhận giá trị 1, trong đó k là số nguyên dương cho trước.

Dựa theo nguyên lý Bloch, W.11) đã đưa ra giả thuyết về tính chuẩn tắc của họ các hàm phân hình tương ứng với định lý trên. Kết hợp tiêu chuẩn Marty và Lý thuyết Nevanlinna, D. Drasin [13] da trả lời giả thuyết này trong trường hợp họ các hàm chỉnh hình. Gu [19| đã trả lời giả thuyết của Hayman như sau: Cho k là số nguyên dương, một họ Z các hàm phân hình ƒ trên miền D trong mặt phẳng phức, không đâu triệt tiêu sẽ chuẩn tắc nếu ƒ#) # 1 (đạo hàm cấp k của ƒ không nhận giá trị 1) với mọi ƒ € Z.

Chú ý rằng trong kết quả cia Gu, hàm cần tránh tới hai giá trị (mỗi ƒ và ƒ#) tránh một giá trị). Trong một sự cố gắng nhằm giảm số điểm xuống một, năm 1989, W. Schwick [49| đạt được kết quả tương tự mà ở đó điều kiện trên về đạo hàm được thay thế bởi (ƒ")#) # 1, với n,k là số tự nhiên cho trước thỏa mãn + > k-+-3. Trong trường hợp họ các hàm chỉnh hình, Schwiek chứng minh điều kiện n > k + 3 có thể giảm thành nm > k+1.

Chang [Ø| cũng đã tổng quát kết quả của Gu và nhận được kết quả: Họ Z các hàm phân hình không có không điểm trên miền 2 sẽ chuẩn tắc nếu ƒ( — 1 có nhiều nhất k không điểm phan biệt với mỗi ƒ € 7, trong đó È là số nguyên dương. Nhiều công trình khác như X. Langley [ð| cũng đã nghiên cứu tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình dưới điều kiện không điểm của các đa thức đạo hàm cụ thể. Trong bối cảnh như vậy, chúng tôi đặt ra vấn đề thứ nhất trong luận án là: Nghiên cứu tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc ứng uới điều kiện trên đa thúc dạo hàm tổng quát.

Vấn đề này được giải quyết trong Chương] của luận án. Liên quan chặt chẽ tới khái niệm họ chuẩn tắc là khái niệm hàm chuẩn tắc, nó được bắt đầu nghiên cứu từ các công trình của K. Mot ham phan hinh f trén dia don vi U được gọi là chuẩn tắc nếu họ {ƒ o7 : 7 € 7} chuẩn tắc trên Ù, trong đó 7 là tập tất cả các ánh xạ bảo giác của U vào chính nó.