Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phâ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS Nguyễn Như Thắng Hà Nội, 2024 LỜI CAM ĐOAN Luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng d ẫn c ủa PGS. Nguyễn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đ ều đã được các đồng tác giả đồng ý.

Các kết quả trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong công trình của ai khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu có sự không trung thực trong công trình nghiên cứu này. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Quỳnh 1 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Như Thắng.

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đ ỡ và đ ộng viên trong trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học c ơ b ản đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong su ốt th ời gian học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài trợ để tác giả có thể tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành lu ận án m ột cách tốt nhất. Tác giả xin trân trọng cảm ơn những người bạn nghiên cứu sinh c ủa Bộ môn Giải tích đã đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ tác gi ả, đ ặc bi ệt là ch ị Chi, em Hiền Anh, anh Thắng. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, nh ững ng ười đã luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn đ ể hoàn thành lu ận án. 2 Mục lục LỜI CAM ĐOAN.

3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN. Tổng quan vấn đề nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu. Cấu trúc và các kết quả của luận án. Kiến thức chuẩn bị. Một số bất đẳng thức.

Toán tử Laplace phân thứ. Một số tính chất. Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ. Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ 25 2.

Phát biểu bài toán và các kết quả chính. Phát biểu bài toán. Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường. Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường.

Cận dưới đều của nghiệm. Sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ. Phát biểu bài toán và các kết quả chính.

Phát biểu bài toán. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình với số mũ p ≤ 1.

Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient. Phát biểu bài toán và các kết quả chính. Phát biểu bài toán.

Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình 51 4. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình 53 4 4. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tuyến tính.

Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tới hạn hoặc tới hạn. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp dưới tới hạn. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp tới hạn. 64 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN.

67 NGHIÊN CỨU TIẾP THEO.68 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN.69 5 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Không gian vectơ thực N chiều với chuẩn Euclid; N |x | Chuẩn Euclide của x trong không gian R ; BR Hình cầu tâm tại gốc tọa độ và bán kính R trong RN ; BR(x ) Hình cầu tâm x và bán kính R trong RN ; C k (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong Ω; C kc(Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá compact trong Ω; ∇ Toán tử gradient; ∆ Toán tử Laplace; (−∆)s Toán tử Laplace phân thứ; Lp(RN ) Không gian các hàm khả tích bậc p trên RN ; N L loc (R ) p Không gian các hàm khả tích địa phương bậc p trên RN ; ,. (RN ); Σ |u(x )| Bs (RN ) = u ∈ lo dx<∞ ; N N (1+|x |)N+2s R L1 N Æ (R ) Không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên R ; N C α (R ) Không gian các hàm liên tục Ho¨lder cấp α, 0 < α < 1, trên RN ; 6 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Trong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạo hàm riêng loại elliptic và parabolic không đ ịa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tử Laplace phân th ứ, hay p-Laplace phân thứ,. nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính.

Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phân thứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo bi ến th ời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địa phương,. đối với phương trình kiểu parabolic). Hơn nữa, toán tử Laplace phân thứ còn được xem như toán tử sinh của quá trình khuếch tán Lévy [4]. Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ (−∆)s, 0 < s < 1, được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian các hàm giảm nhanh bởi , (−∆)su(x ) = c u ( x ) − u(ξ) N , P.

s |x − ξ|N +2s dξ ,RN = cN,s lim ϵ→0 u ( x ) − u(ξ) dξ RN \B (x ) ϵ |x − ξ|N +2s , ở đây cN,s là hằng số chuẩn hoá và P. là giá trị chính Cauchy. Mặt khác, toán tử Laplace phân thứ còn được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier ª ((−∆) u) s (ξ) = |ξ|s ª u(ξ), với ª u là biến đổi Fourier của hàm u, xem [55]. Hơn nữa, ta có thể mở rộng định nghĩa của toán tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối trên không gian 7RN (|x | + 1)N +2s.

, Σ N Bs (R ) = u ∈ L 1 (RN ); |u(x)| lo dx<∞. Ngoài ra, nếu u ∈ C2σ(RN ) ∩ Bs(RN ) với σ > s, thì (−∆)su(x ) xác định tại mọi x ∈ RN , xem [55]. 8 Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định. Tuy nhiên, các kết quả tương tự cho các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ, p-Laplace phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm vi ệc v ới toán t ử không địa phương.

Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp c ận m ới cho các bài toán không địa phương và các phương trình chứa toán tử Laplace phân th ứ tr ở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyên ngành. Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình Lichnerow- icz phân thứ vt + (−∆)s v = v−p−2 − v p trong RN × R (0.1) và phương trình elliptic tương ứng (−∆)su = u−p−2 − up trong RN , (0. Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (0.2) trở thành vt − ∆v = v−p−2 − v p trong RN × R (0.3) và phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − up trong RN .4) Các phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz, xem [20, 21, 47] và các tài liệu tham khảo trong đó. Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước, xem [12, 52, 53] cho phương trình elliptic và [29, 70, 71] cho phương trình parabolic.

Trong [52, 53], người ta chứng minh rằng nếu p > 1 thì phương trình (0.4) chỉ có nghiệm dương tầm thường u = 1. Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi [12] bằng cách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller- Osserman. Hơn nữa, trong [12] người ta còn chỉ ra rằng 9 nếu 0 < p ≤ 1 thì 10 (0.4) có nghiệm dương không tầm thường. Dựa vào kết quả trong [12] cho (0.4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ.

Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)su = up trong RN .5) và hệ Lane-Emden phân thứ   (−∆)s u = v p trong RN (−∆)s v = uq trong RN , (0. Xét phương trình (0.5) với s = 1, tức là phương trình Lane-Emden −∆u = u ptrong R N.7) Trong trường hợp này, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của (0.7) đã được chứng minh trong bài báo nổi tiếng của Gidas và Spruck [44, 45]. Đối với lớp nghiệm trên dương của phương trình (0.7), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem [5].6) với s = 1, tức là hệ Lane-Emden   −∆u = v p trong RN  −∆v = uq trong RN , (0.8) Giả thuyết Lane-Emden phát biểu rằng hệ (0.8) có nghiệm dương nếu và chỉ nếu 1 1 2 p, q > 0 và + ≤1−. p+1 q+1 N Giả thuyết này đã được chứng minh cho lớp nghiệm radial với số chiều tùy ý [54, 61, 62].