Luận án tiến sĩ: Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng - Nguyễn Anh Đài

MỤC LỤC MỤC LỤC. 1 LỜI CAM ĐOAN. 5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VlẾT TÁT. BIẾN ĐỔI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC 20 1.1 Tín hiệu thời gian rời rạc và hệ thống.1 Tín hiệu thời gian rời rạc .2 Các hệ thống tuyến tính bất biến.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc.2 Tính chất của biến đổi.3 Định lý Wiener - Levy.

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THỜI GIAN RỜI RẠC 29 2.1 Biến đổi Fourier cosine và Fourier sine thời gian rời rạc 30 2.1 Chuẩn của dãy thời gian rời rạc.2 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc .1 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc.2 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc với hàm trọng .3 Tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc .1 Tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc .2 Tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc với hàm trọng.4 Tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc. PHÉP BIẾN Đổi KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG THỜI GIAN RỜI RẠC VÀ PHUƠNG TRÌNH TOEPLIZT-HANKEL RỜI RẠC 70 3.1 Phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier cosine thời gian rời rạc .1 Phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc.2 Phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc .3 Phép biến đổi kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc .2 Phuơng trình Toeplitz-Hankel rời rạc.1 Phuơng trình Toeplitz-Hankel rời rạc với nhân đặc biệt.2 Phuơng trình Toeplitz-Hankel với vế phải đặc biệt.3 Hệ phuơng trình Toeplitz-Hankel rời rạc. 90 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 100 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG Bố CỦA LUẬN ÁN.

102 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 103 3 LỜI CAM ĐOAN Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưởi sự hưởng dẫn của thầy PGS. Nguyễn Xuân Thảo. Các kết quả trong luận án này là mói và chưa từng công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của tác giả khác.

Giáo viên hướng dẫn Tác giả Hà nội, tháng 8 năm 2020 PGS. Nguyễn Xuân Thảo Nguyễn Anh Đài 4 LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưởi sự hưởng dẫn khoa học tận tình của PGS. Nguyễn Xuân Thảo. Thầy đã dành nhiều công sức, dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tôi vượt lên những khó khăn trong học tập và cuộc sống.

Từ tận đáy lòng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tói Thầy và sẽ cố gắng phấn đấu hơn nữa để xứng đáng vói công lao của Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học cũng như Phòng Đào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. Vũ Kim Tuấn, Trường Đại học West Georgia, USA và TS.

Nguyễn Thanh Hồng, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Người thầy và người anh đã luôn động viên tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu, và có những ý kiến đóng góp sâu sắc về nội dung khi tác giả hoàn thành luận án. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm Seminar Giải tích - Trường ĐH Bách khoa Hà Nội, Seminar Giải tích - Trường ĐH KHTN - ĐH QG Hà Nội về những trao đổi hữu ích giúp cho Luận án được hoàn thiện hơn. Những ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tôi trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học.

Đặc biệt, những động viên, nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS. Nguyễn Văn Mậu, PGS. Nguyễn Thủy Thanh, PGS. Hà Tiến Ngoạn, PGS.

Nguyễn Minh Tuấn, TS. Nguyễn Văn Ngọc, PGS. Trịnh Tuân, PGS. Nguyễn Minh Khoa, TS.

Phạm Văn Hoằng, TS. Nguyễn Hải Sơn, TS. Nguyễn Quang Chung, TS. Trần Hồng Thái,.

là những kinh nghiêm quý báu để luận án hoàn thiện một cách thuận lợi. Một lần nữa, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến những người thầy mà em luôn tôn kính, đến những người anh, người chị và những đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Bộ môn Toán, Khoa khoa học cơ bản, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình 5 hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình bạn bè và đồng nghiệp, nơi luôn dành cho tác giả tình yêu thuơng vô hạn.

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tất cả các Thầy, bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên và ủng hộ tác giả. Đó là nguồn động lực to lởn giúp tác giả hoàn thành luận án của mình. Tác giả 6 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIET TÁT • R là tập tất cả các số thực. • C là tập tất cả các số phức.

• Z là tập tất cả các số nguyên. • R+ = fx 2 R; x > 0}, là tập tất cả các số thực dương. • |z| là modun của z. • C0(R+) là không gian các hàm liên tục trên R+ và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup.

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 10). • Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 11). • Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 11). o • L (R+;p); 1 < p < 1, là không gian các 11 àm số f xác định trên R+, p thỏa mãn ( 00 \ 1 / \ p /|f(x)|pp(x)dx 1 < 1; o ở đây p(x) là một hàm trọng dương.

• T là toán tử tích chập thời gian rời rạc (xem trang 21). • (• * •) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. • (• * •) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine. 7 (• * •) (xem trang 13) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine.

(• * •) (xem trang 13) là tích chập với hàm trọng 7 (y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier. FDT (xem trang 15) là biến đổi Fourier thời gian rời rạc. • F DT (xem trang 30) là biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc. c • F DT (xem trang 31) là biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc.

s • (• * •) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc. • (• * •) (xem trang 43) là tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin ! đối với phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc. • (• * •) (xem trang 50) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc. • (• * •) (xem trang 55) là tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin ! đối với phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc.

• (• * •) (xem trang 64) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc. • T (xem trang 71) là toán tử kiểu tích chập suy rộng Fourier sine sDT thời gian rời rạc. 8 • rTsDT (xem trang 71) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc. • TDy (xem trang 73) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc.

• T (xem trang 73) là toán tử kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine cDT thời gian rời rạc. • T (xem trang 75) là toán tử kiểu tích chập Fourier cosine thời gian cDT rời rạc. 1 • TcDT (xem trang 76) là toán tử nghịch đảo kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài A.

Phép biến đổi tích phân đối với lớp hàm khả tích Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng không thể thiếu trong các ngành y sinh học, địa lý, hải dương học,. Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quan trọng trong lí thuyết cũng như trong ứng dụng, phải kể đến trước hết là phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev,. Bản thân phép biến đổi Fourier ra đời xuất phát từ bài toán thực tế khi J. Fourier nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt.

Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [1, 2, 3]) 1 (Ff )(x) = F[/](!) = -—= ỉ e~' f (ý)dy, f 2 L1 (R); xy (0.4) N!1 ự 2u J -N Trong trường hợp f 2 L^R) là hàm chẵn hoặc hàm lẻ.6) 0 Với f 2 Lp(R+); 1 < p < 2, ta có (Ff )(y) = Fc[f](y) lim f (x) cos(xy)dX; (0.8) N 0 trong đó, q là số mũ Hên hợp của p, tức là - + - = 1 và các giới hạn được hiểu theo chuẩn trong không gian L (R+). Các định nghĩa trên trùng nhau q nếu f 2 L1(R+) \ Lp(R+). Tích chập suy rộng và tích chập Một trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập suy rộng, tích chập và ứng dụng liên quan. Chẳng hạn như: tính tích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Vật lý-Toán, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện,.

Do đó, hướng nghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và nghiên cứu. Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuất hiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập suy rộng (tích chập suy rộng không có hàm trọng và tích chập suy rộng có hàm trọng), tích chập (tích chập không có hàm trọng và tích chập có hàm trọng) và đa chập. Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn một phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Trong luận án này, tích chập suy rộng được gọi theo tên của phép biến đổi tác động vào tích chập suy rộng trong đẳng thức nhân tử hóa.

11 Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng như sau (xem [5, 9]) 1 (f * g)(x) = \ f( y)g(x - y)dy; x 2 R.