Sự hội tụ của dãy hàm tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức luận án tiến sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI - NĂM 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giả tại Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Nguyễn Quang Diệu; các kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa từng được công bố trong các công trình công trình khác. Nghiên cứu sinh Lê Thành Hưng Lời cảm ơn Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS.

Nguyễn Quang Diệu Người Thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Trong quá trình làm luận án, tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự chỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ của thầy để tôi có được sự tự tin và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của mình. Được làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi vô cùng biết ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar của Bộ môn Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt là GS. Lê Mậu Hải, TS Tăng Văn Long và PGS.

Phùng Văn Mạnh về những chỉ dẫn và góp ý trực tiếp về đề tài của luận án. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn Trường Cao đẳng Vĩnh Phúc, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và các đơn vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 NCS. Lê Thành Hưng Mục lục Kí hiệu.

4 Mở đầu 5 1 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu 10 1.1 Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều .2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn .3 Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn. 17 2 Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều 20 2.1 Một số kết quả bổ trợ .2 Hội tụ nhanh của các hàm chỉnh hình và các hàm hữu tỉ .3 Một ví dụ về hội tụ nhanh của hàm hữu tỷ. 41 3 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn 49 3.1 Một số kiến thức cơ sở .2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức. 52 2 3 4 Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn 63 4.1 Một số kết quả bổ trợ .2 Hội tụ có trọng của các hàm hữu tỉ.

66 Kết luận và kiến nghị 78 Tài liệu tham khảo. 81 Tài liệu tham khảo 81 4 KÍ HIỆU • C ∞ (Ω) - Tập các hàm trơn vô hạn trên Ω • C 0,α (Ω) - Tập các hàm liên tục α-Hölder trên Ω • L∞ (Ω) - Không gian các hàm bị chặn trên Ω • L∞ loc (Ω) - Không gian các hàm bị chặn địa phương trên Ω • P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω • P SH − (Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω • M P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω • SH(Ω) - Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω • HP SH(Cn ) là tập các hàm đa điều hòa dưới thuần nhất trên Cn .-Dung lượng R tương đối của tập Borel E trong D • {hm }m≥1 là một dãy các hàm nhận giá trị thực, C 1 −trơn được định nghĩa trên (0, ∞) • {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục xác định trên [0, ∞) • uj ↑ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj ↓ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u • 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng của tập A Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các dạng hội tụ của hàm hữu tỷ trong Cn là một phần quan trọng của giải tích phức hiện đại, đây là một lĩnh vực hay vì nó có nhiều ứng dụng trong thực tế và làm tiền đề cho việc nghiên cứu các vấn đề khác. Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích toán học đó là bài toán liên quan đến tính hội tụ của các dãy hàm.

Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ của dãy hàm đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Các dãy hàm đã cho có hội tụ hoặc hội tụ đều hay không? và hội tụ hay hội tụ đều đến hàm nào? hàm đó đã biết hay chưa biết? giả thiết như thế nào thì dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm thì hội tụ đều? v. Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ đều của các dãy hàm có liên quan chặt chẽ tới cực của nó. Những năm gần đây bằng cách sử dụng một số công cụ của lý thuyết đa thế vị các nhà toán học ở Việt Nam và trên thế giới đã chứng minh được rất nhiều kết quả quan trọng có tính ứng dụng cao như Gonchar, T. Blocki, Molzon, Alexander.ở Việt Nam có Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng, Phạm Hoàng Hiệp.

Định lý Montel cổ điển khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình bị chặn đều trên các tập compact của tập mở D trong Cn là compact tương đối trong tô pô mở compact. Một kết quả mở rộng thú vị của định lý này là định lý hội tụ Vitali (tìm ra đầu thế kỷ 20) nói rằng nếu chúng ta giả thiết thêm là dãy hàm đã cho hội tụ điểm trên một tập S đủ lớn thì dãy này 6 phải hội tụ đều trên tập compact của miền xác định của nó. Một vấn đề tự nhiên đặt ra là liệu ta có thể thay giả thiết bị chặn đều bởi tốc độ hội tụ của dãy hàm xấp xỉ được không? Để làm rõ hơn câu hỏi này, chúng ta cần nhắc lại một số kết quả của Gonchar (vào những năm 70 của thế kỷ trước). Cho R là tập các hàm chỉnh hình f trong lân cận của U của 0 ∈ Cn mà có thể xấp xỉ nhanh theo độ đo bởi dãy các hàm hữu tỷ {rm }m≥1 , degrm ≤ m.

Bằng cách sử dụng khai triển Taylor ta có thể chứng minh được rằng mọi hàm phân hình trên Cn và chỉnh hình trong lân cận của 0 đều thuộc lớp R. Khái niệm trên được đưa ra bởi Gonchar vào cuối những năm 70 của thế kỷ trước nhằm nghiên cứu cấu trúc của miền tồn tại đối với hàm chỉnh hình f. Gonchar đã chứng minh rằng nếu f được xấp xỉ nhanh bởi rm thì miền tồn tại của f là đơn trị tức là một tập con của Cn. Hơn 20 năm sau, bằng cách sử dụng một số công cụ của lý thuyết đa thế vị, Bloom đã chứng minh định lý của Gonchar vẫn còn đúng nếu thay hội tụ nhanh theo độ đo bởi hội tụ nhanh theo dung lượng tương đối.

Các kết quả về xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình còn có ứng dụng trong việc xây dựng bao đa cực các tập đa cực trong Cn cũng như các bài toán thác triển hàm chỉnh hình. Có thể thấy vấn đề hội tụ và xấp xỉ của dãy hàm chỉnh hình và đa điều hòa dưới là một trong những vấn đề truyền thống của giải tích và có ứng dụng vào nhiều bài toán khác nhau của giải tích thực và phức. Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, trong luận án này này chúng tôi nghiên cứu Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các hàm chỉnh hình, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức và sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trong Cn. Các kết quả liên quan đến đề tài này có thể tìm thấy trong công trình được 7 sử dụng trong luận án.

Mục đích nghiên cứu của Luận án Từ những kết quả quan trọng đã có về sự hội tụ của các dãy hàm hữu tỷ trong Cn được nghiên cứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều. - Đưa ra một dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh ở đó sự hội tụ chỉ cần xét trên biên. - Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn. - Sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trong Cn.

- Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trường hợp có thể thực hiện được. Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất và kết quả cơ bản về sự hội tụ của các hàm chỉnh hình, các hàm hữu tỷ, các hàm đa điều hòa dưới. - Các tính chất của chuỗi lũy thừa hình thức và điều kiện cho sự hội tụ của nó. - Các hàm hữu tỉ và điều kiện đủ cho sự hội tụ của nó.

Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tích phức. - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu Luận án đủ ở file: Luận án full