Phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn tr

i BO GIAO DUC VA DAO TAO DAI HOC THAI NGUYEN NGUYEN DUC LANG PHUGNG PHAP XAP Xi DIEM BAT DONG CUA ANH XA KHONG GIAN VA NUA NHOM KHONG GIAN TRONG KHONG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. Nguyễn Bường THAI NGUYEN - NAM 2015 ii LOI CAM DOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới su hướng dân của Thầy GS. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các kết quả được cöng bố chung đã được đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng iii LỜI CAM ON Nghiên cứu sinh Nguyễn Dức Lạng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học G§. Nguyễn Dường, Viện Công nghệ Thông tín - Viện Hàn lãm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã dịnh hướng nghiên cứu cho nghiên cứu sinh, sự chỉ bảo ân cần của thầy GS. Nguyễn Bường đã giúp cho nghiên cứu sinh có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao trong suốt quá trình làm luận án. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các nhà khoa học thay: GS.

Pham Ky Anh, GS. Lé Dũng Mưu, GS. Nguyễn Xuân Tan, GS. Tran Vi Thiéu, PGS.

Neuyén Nang Tam, PGS. Cung Thé Anh, PGS. Ha Tién Ngoan, PGS. Pham Hiến Bằng, PGS.

Phạm Việt Đức, PGS. Phạm Ngọc Anh, PGS. Nông Quốc Chinh, PGS. Lé Luong Tai, PGS.

Hà Trần Phương, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, TS. Trương Minh Tuyên, TS. Vũ Mạnh Xuân, TS.

Dào Thị Liên, TS. Nguyễn Công Điều, v. đã cho những ý kiến đóng góp quí báu trong suốt thời gian nghiên cứu sinh học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc, Ban Đào tạo (Bộ phận Sau đại học) Đại học Thái Nguyên; Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo (Bộ phận Sau đại học), Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Bộ môn Giải tích trường Dại học Sư phạm; Ban giám hiệu trường Dại học Khoa học; các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án này.

Tác giả xin cảm ơn kính tặng |bố|, mẹ, vợ, con và những người thân yêu trong gia đình của mình niềm vinh hạnh to lớn này. Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng iv Muc luc Trang bia phu i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Muc luc iv Danh muc cac ky hiéu va chit viét tat vi Mé dau 1 Chương 1 Mot số kiến thức chuẩn bi 7 1. Một số khái niệm, phương pháp cơ bản tìm điểm bất động Của ánh xạ không BIãH ¿4 « ¿ se ị c mew 7 1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian HiberL.

Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Nửa nhóm không giãn và một số phương pháp tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn. Một số bổ đề bổ trợ. 18 Chương 2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 20 2.

Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên. Phương pháp lặp Mamn - Halpern cải biên. Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp cho ánh xa khống BIỂN 2. ssa ep eH Re eRe RE HAE OG đồ 2.

Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn trên hai tập 37 2. Ví dụ tính toán minhhọa. 43 Chương 3 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn 54 3. Điểm bất động của một nửa nhóm không giãn.

Diém bat dong của hai nửa nhóm khong giãn. Ví dụ tính toán mmnh họa. 69 kết luận chung và đề xuất 74 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 75 Tài liệu tham khảo 76 vì DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT D(A) inf A sup A max A Po(x) %:— lim sup #„ n—>oco lim inf #„ Ti>OO In —># tích vô hướng chuẩn của phần tử z trong H tập rỗng moi x ton tai x ánh xa đồng nhất phép giao phép hợp của 2 ánh xạ miền xác định của toán tử A cận dưới đúng của tập hợp A cận trên đúng của tập hợp A số lớn nhất trong tập hợp 4 tập hợp các số tự nhiên tập hợp các số tự nhiên khác 0 tập hợp các số thực tập các số thực không âm không gian Banach không gian Hilbert hình chiếu của z lên tập hợp Œ z được định nghĩa bằng y giới hạn trên của dãy số {#n} giới hạn dưới của dãy số {#„} dãy {z„} hội tụ mạnh tới z vii Ln > x dãy {a,} hoi tu yéu téi 2 F(T) tập điểm bất động của ánh xạ 7 {17@):†£>0}_ nửa nhóm không giãn F tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bât động trong các không gian mêtric đã thực sự lôi cuốn sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước trong hàng chục năm qua. Điều đó không chỉ vì lý thuyết điểm bất động đóng vai trò quan trọng trong toán học mà còn vì những ứng dụng của nó trong lý thuyết bát đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán học và lý thuyết kinh tế.

Nhiều nhà toán học tên tuổi như Brower E., Nguyễn Bường, Phạm Kỳ Anh, Lê Dũng Mưu, v. đã mở rộng các kết quả về bài toán điểm bất động của ánh xạ co trong không øian hữu hạn chiều cho bài toán điểm bất động của ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ giả co, ánh xạ không giãn, v. trong không gian Hilbert, không gian Banach. Những kết quả mở rộng này không chỉ đề cập đến sự tồn tại điểm bất động mà còn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ.

Gần đây những nghiên cứu về bài toán tìm điểm bất động của lớp các ánh xạ không giãn đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu hết sức sôi động của giải tích phi tuyến. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động kinh điển phải kể đến là phương pháp lặp Krasnosel'skii [20], phương pháp lap Mann [22|. phương pháp lặp Halpern [16], phương pháp lặp Ishikawa [17], v. Một số nhà nghiên cứu trong nước cũng có những công trình thú vị về tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach (xem [3] - [5], [36] - |43], V.

Cho Œ là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực HH, 1 :C > C là một ánh xạ không giãn. [27] da đề xuất một cải biên của phương pháp lap Mann dựa trên phương pháp lai ghép trong qui hoạch toán học (được đề xuất 2 lần đầu tiên vào năm 2000 bởi Solodov M. Họ dã chứng minh dược rằng nếu dãy {œa} C [0,a] vdi a € [0,1) thì dãy {z„} xác định bởi (0.1) hội tụ mạnh về uạ = p(r(#o) khi n 4 00, trong đó ạ = Pp(zj(#o) là hình chiếu của zo trên tập điểm bat động {T) của ánh xạ không giãn 7` Nam 2000 Moudafi A. [26] đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết zp € Ở là một phần tử bất kì, 1 An (0.2) Tan n): 2 0, 1 EE \n (x ) + 1 si y, fbn) n 0, rn = va xo € C 1a một phần tử bất kì, 1 An.3) n+1 = T n n)> = 0, TH = Ty, (2m) + Ty Flan) n tim diém bat dong ctia 4nh xa khong gian T, trong dé f : C > Œ là một ánh xạ co với hệ số co ã € [0,1) và {A„} là một dãy số dương.

Ông đã chứng minh rằng: 1) Nếu À; — 0 khi w — œ thì dãy lặp (0.2) hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân x € F(T) sao cho (T— ƒ)(@*),ø” —=z) <0, Vze€F(7). (04) z 89 1 1 2) Nêu lim À„ =0, An = +00 va lim ——— ) neo > " no Àn+l Àn (0.3) hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (0. = 0, thì dãy lặp 3 Năm 2007, Alber Y.5) và chứng minh rằng nếu day {u,}, Uy, > 0, dude chon sao cho py, —> 0 khi n + œ va day {z„} bị chặn, thì mọi điểm tụ yếu của dãy {z„} đều thuộc tập diểm bất dong cua T. Mở rộng cho bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn {7() : £ > 0}, năm 2003, Nakajo K.

[27] đã đề xuất phương pháp xo € C 1a một phần tử bất kì, Yn = AnLn + (1 - dụ); de T{s)+„ds, Ca = {z € C : ||tn — z|| < ||£» — zÌ|}› (0. V6i mot sé diéu kién thích hợp cho dãy {œ„} và {f„}.6) hội tụ mạnh tới uạ = Pz(#o), ö đây Z = f¡xoF(7Œ)) được giả thiết là khác rỗng. và các cộng sự [35| đề xuất một dạng đơn giản của (0.6) như sau rw € H, CL =C, «1 = Po,(20), Yn = AnTn + (1 — 0n)Tn(đn), Catt = {2 € Ca: ||Un — Z|| < ||#ø — Z|[]› Tr41 = Pon: (£0); n= 0.7) Ho da chi ra trong [35] rang néu 0 < a, < a < 1,0 < Ay < œ với mọi > Ì và À¿ —> ©œ, thì dãy {#„} xác định bởi (0.7) hội tụ mạnh tới Up = Dz(øn). Cũng trong thời điểm đó, Saejung 8.8) trong do 0 < a, < a < 1, liminft, = 0, limsupt, > 0 và tá: 25G n—-+00 Tim (tn+41 — Éa) =0.

Khi đó dãy {z„} xác dịnh bởi (0.8) hội tụ mạnh tới điểm bất động chung ọ = z(zg) của nửa nhóm ánh xạ không giãn. Néu C = ïH thì Œ, và Q„ hoặc „„ị trong (0.8) là các nửa không gian. Do vậy, hình chiếu của zọ trên Œ„f1€)„ hoặc „¿+ trong các phương pháp đó được xác định bằng công thức hiện trong [32]. Trong trường hợp Œ là một tập con thực sự của H thì Œ; và Q„ hoặc „+ trong các phương pháp này không là các nửa không gian, nên việc tính toán hình chiếu trên đó gặp nhiều khó khăn.

Nguyễn Bường đã dưa ra ý tưởng thực hiện chiếu lên các nửa không gian thay vì chiếu lên các tập lồi, đóng trong những phương pháp lai ghép trước đây là một nét mới và sáng tạo (xem [10] - [12]). Dựa trên ý tưởng này chúng tôi đề xuất kỹ thuật thay thế các tập lồi, đóng Œ7„ và Q„ bằng các nửa không gian. Một số nghiên cứu cải biên của các phương pháp lặp nêu trên mặc dù thu được sự hội tụ mạnh, nhưng các điều kiện đặt lên tham số còn chặt chẽ.