Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT DANG THUC BIEN PHAN TREN TAP DIEM BAT DONG CUA NUA NHOM KHONG GIAN TRONG KHONG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Nguyễn Thị Thu Thủy 2. Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2016 ii LOI CAM DOAN Các kết quả trình bay trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và GS.

Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tac gia Pham Thanh Hiéu 1H LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Nguyễn Bường và TS.

Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của G5. Phạm Ky Anh, GS.

Lé Ding Muu, GS. Dinh Nho Hao, GS. Nguyén Vin Hiền, GS. Jean Jacques Strodiot, PGS.

Nguyén Nang Tam, PGS. Pham Ngoc Anh, PGS. Ha Tran Phuong, PGS. Pham Hién Bang, TS.

Nguyén Cong Diéu, TS. Vi Manh Xuan va TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy và Cô.

Tác giả xin chân thành cắm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo - Bộ phận đào tạo Sau đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình. Tác gia xin chan thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm và các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học co bản, Trường Dại học Nông Lâm cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh to lớn này. Tác giả Phạm Thanh Hiéu iv Muc luc Trang bia phu i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Muc luc iv Danh sách các ký hiệu và chữ viết tắt vì Danh sách các hình vẽ viii Mở đầu 1 Chương 1.

Một số kiến thức chuẩn bị 7 1. Một số đặc trưng hình học của không gian Banach. Không gian Banach phẳnxạ. Không gian Banach lỗi và trơn.

Giới hạn Banach. Ánh xạ liên tục Lipschitz va anh xa j-đơn điệu. Nửa nhóm ánh xạ không giãn và bài toán Cauchy với ánh 1. Xa, m-7-đơn digu; es.

HARE EMRE RHE EMME ER RG À 18 1. Nửa nhóm ánh xạ không giãn. Bài toán Cauchy với ánh xạ ?m-7-đơn điệu. 20 Bất đẳng thức biến phân cổ điển và một số bài toán liên quan 21 Vv 1.

Bất đẳng thức biến phân cổ điển. Một số bài toán liên quan. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu.

Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu. Phương pháp lai ghép đường dốc. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn.- 29 Két luan chuong 1 2. Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn 32 2.

Phương pháp lặp ấn lai ghép đường dốc. Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc .000 00 eee 60 Két luan chutong2. SỐ QẺc 67 Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 69 3.

Phương pháp hiệu chỉnh Browder-IIkhonov. Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính. Phương pháp hiệu chỉnh lặp. 0000000000 86 Két luan chuong 3.

TQ vo 91 Kết luận chung và đề nghị 92 Danh mục các công trình đã công bồ liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 vi Danh sách các ký hiệu và chữ viết t 2 < a t sen nN inf MW sup M max M min MW khong gian Hilbert không gian Banach không gian đối ngẫu của mặt cầu đơn vị của EL tập các số thực tập các số thực không âm hàm dấu phép giao cận dưới đúng của tập hợp số cận trên đúng của tập hợp số số lớn nhất trong tập hợp số A⁄ số nhỏ nhất trong tập hợp số Ä# tập rỗng VỚI moi x miền xác định của toán tử A miền ảnh cúa toán tứ A toán tử ngược của toán tử A toán tử đồng nhất không gian các dãy số hội tụ co Cla, b} IP, l<p<o Iso L? [a,b], 1< p< co Lx d(x,C) H(C1, C2) lim sup #»„ n—œ lim inf x, noo Qn ¿00 #„ —} #0 Ln — Lo Ja J J du(€) 0z) Fix(T) of W7"(9) n int(C) CVI(F,C) VI(F,C) VI'(F,C) vii không gian các dãy số hội tụ về 0 không gian các hàm liên tục trên đoạn |ø, Ù| không gian các dãy số khả tổng bậc p không gian các dãy số bị chặn không gian các hàm khả tích bậc ø trên đoạn a, Ù] không gian các hàm bị chặn khoảng cách từ phần tit x đến tập hợp Ở khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C1 và C2 giới hạn trên của dãy số {#„} giới hạn dưới của dãy số {z„} dãy số thực {a„} hội tụ giảm về ag dãy {z„} hội tụ mạnh về #o đãy {z„} hội tụ yếu về #o ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị mô đun lồi của không gian Banach EL mô đun trơn của không gian Banach F tập điểm bất động của ánh xạ 7 dưới vi phân của hàm lồi ƒ không gian Sobolev số bước lặp phần trong của tập hợp Œ bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập Œ bất đẳng thức biến phân trên tập C voi F: E > E* bất đẳng thức biến phãn trên tập Ở với F: E> E vi Danh sách hình vẽ 2.1 So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (2.2 So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (2. So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (2. So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (2.1 So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (3.2 So sánh sai số tuyệt đối của phương pháp (3.21) ©» Mở đầu Cho H 1a khong gian Hilbert, Œ là một tập con lồi đóng của #ƒ và F : H ~ # 1a mot ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality), ky hiéu 1A CVI(F,C), được phát biểu như sau: Tim điểm z„ € Œ thỏa mãn: (Fz.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, Stam- pacchia (Lions va Stampacchia, 1967 [51]; Stampacchia, 1964 [68]), nghién cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối những năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước.

Từ đó đến nay, bất đẳng thức biến phân luôn là một chủ đề nghiên cứu mang tính thời sự, thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán trong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế. Bất đẳng thức biến phân được chỉ ra là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các bài toán cân bằng chẳng hạn như bài toán cân bằng mạng giao thông [34], [56], bài toán cân bằng thị trường độc quyền nhóm, bài toán cân bằng tài chính [54] và bài toán cân bằng di cư [11], [47]. Các nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân có thể chia theo hai hướng chính bao gồm những nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm (Chen, 1992 [28]; Giannessi, 2000 [36]) và các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân. Cho đến nay người ta đã thiết lập được nhiều kĩ thuật giải bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn phương pháp chiều của Lions (1977) [50], nguyên lý bài toán phụ của Cohen (1980) [32], phương pháp điểm gần kề của Martinet (1970) [53], phương pháp điểm gần kề quán tính do Alvarez và Attouch (2001) [6] đề xuất và phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov 5 (Browder, 1966 [16]; Tikhonov, 1963 [76]).

Ö Việt Nam, trong một số năm trở lại đây bất đăng thức biến phân đã trở thành một chủ đề nghiên cứu rất sôi động của các nhà nghiên cứu toán giải tích và toán ứng dụng. Một số bác giả trong nước có nhiều công trình nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân có thể kể đến như N. Ngo&ai ra, bat dang thitc bién phan va một số bài toán liên quan như điểm bất động và bài toán cân bằng cũng đã và đang là đề tài nghiên cứu của nhiều tác giả là tiến sĩ và nghiên cứu sinh trong nước như L. Khi tập ràng buộc Ở của bài toán (0.1) được cho dưới dạng ấn là tập điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không giãn thì bài toán (0.1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu [33], [41], khôi phục ảnh [39], [63], kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng CDMA [42], phân phối băng thông [43], {62} và bài toán điều khiển tối ưu [44].

Đối với lớp bài toán này, phương pháp lai ghép đường đốc của Yamada đề xuất năm 2001 [84j để giải (0.1) tỏ ra là phương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ #`: j — HH là thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì nó đã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtrie z lên tập con lồi đóng bất kỳ Œ khi dùng dãy lặp Picard dạng #„¿¡ = feœ(#„ — A„E'z„) để giải (0. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng và cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho các bài toán phức tạp hơn chẳng hạn bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc Œ là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ([20], [21]), họ vô hạn đếm 3 được các ánh xạ không giãn và nửa nhóm các ánh xạ không giãn. Chẳng hạn, khi Œ := 1#¡Fix(7;), với {7¡}?2; là họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên , Yao và các cộng sự (2010) [S6] và Wang (2011) [79| đã sử dụng phương pháp lai ghép đường dốc kết hợp với W-ánh xạ [72] để thiết lập dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm của bất đẳng thức biến phân (0.