Luận án: Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— TRẦN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Ngành: Toán Giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Nguyễn Thị Thu Thủy 2. Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2018 i Lời cam đoan Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy và GS.

Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tác giả Trần Thị Hương ii Lời cảm ơn Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Nguyễn Bường và PGS.

Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS. Phạm Kỳ Anh, GS.

Lê Dũng Mưu, GS. Đinh Nho Hào, PGS. Nguyễn Năng Tâm, PGS. Phạm Ngọc Anh, PGS.

Hà Trần Phương, PGS. Phạm Hiến Bằng, TS. Nguyễn Công Điều, TS. Vũ Mạnh Xuân, TS.

Bùi Thế Hùng, TS. Trương Minh Tuyên, TS. Nguyễn Đình Dũng và TS. Lâm Thùy Dương.

Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy và Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm và các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh to lớn này.

iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt v Danh sách các bảng vii Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 1. Toán tử trong không gian Banach. Không gian Banach phản xạ, lồi đều.

Toán tử trong không gian Banach. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Bài toán đặt không chỉnh. Phương pháp hiệu chỉnh.

Hệ phương trình toán tử đơn điệu. Hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và một số bài toán liên quan. Một số kết quả về phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach 31 2.

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử thế năng. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 36 2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ.

Tham số hiệu chỉnh. Tốc độ hội tụ. Ứng dụng và thử nghiệm số. Bài toán tối ưu.

Hệ phương trình tích phân. Xấp xỉ hữu hạn chiều và phương pháp hiệu chỉnh lặp 55 3. Xấp xỉ hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ. Xấp xỉ hữu hạn chiều.

Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều. Phương pháp hiệu chỉnh lặp. Mô tả phương pháp. Sự hội tụ.

Thử nghiệm số. 68 Kết luận và đề nghị 72 Danh mục các công trình liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 v Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt R tập hợp số thực H không gian Hilbert E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E SE mặt cầu đơn vị của E hx∗ , xi giá trị của x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E Gr(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất c không gian các dãy số hội tụ c0 không gian các dãy số hội tụ về 0 C[a, b] không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p l∞ không gian các dãy số bị chặn Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] L∞ không gian các hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C ∅ tập rỗng vi ∀x với mọi x ∃x tồn tại x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy{xn }hội tụ yếu về x0 αm & 0 dãy {αm } hội tụ giảm về 0 Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T m số bước lặp vii Danh sách bảng 2.1 Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.2 Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.3 Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.4 Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.1 Kết quả tính toán cho phương pháp (3.2 Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.3 Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2. 70 1 Mở đầu Nhiều vấn đề của các lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội dẫn đến bài toán tìm một đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ bộ dữ kiện ban đầu (f0 , f1 ,. , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, ở đây E là không gian Banach, F = E ∗ -không gian đối ngẫu của E, hoặc E là không gian Hilbert và F = E (xem [33]).

Trên thực tế, bộ dữ kiện (f0 , f1 ,. , fN ) nhận được bằng việc đo đạc trực tiếp trên các tham số và thường không được biết chính xác mà chỉ được cho xấp xỉ bởi fiδ ∈ F thỏa mãn kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, .1) với δi > 0 là các sai số cho trước. Bài toán này được mô hình hóa toán học bởi hệ phương trình Ai (x) = fi , i = 0, 1, .2)
ở đây Ai : D(Ai ) ⊂ E → F là các toán tử từ không gian Banach E vào không gian Banach F và D(Ai ) là ký hiệu miền xác định của các toán tử Ai. Nhiều bài toán thực tế khác, như bài toán khôi phục ảnh (xem [48]), bài toán khôi phục tín hiệu (xem [35]), bài toán điều khiển tối ưu (xem [49]), một số mô hình của bài toán kinh tế dẫn đến dạng bài toán bù (xem [41]), bài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (xem [66]), bài toán chấp nhận lồi (xem [16]), bài toán cực trị không ràng buộc (xem [22]) cũng có mô hình toán học dạng hệ phương trình toán tử (0.2) với Ai là các toán tử đơn điệu.

Như vậy, hệ phương trình toán tử đơn điệu thường gặp trong nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, lớp bài toán này lại có một đặc điểm là nếu không có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì chúng thường là những bài toán đặt không chỉnh (xem [1, 8, 18] và các tài liệu được trích dẫn trong đó). 2 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được nhà toán học Hadamard người Pháp đưa ra vào năm 1932 khi nghiên cứu ảnh hưởng của bài toán giá trị biên với phương trình vi phân. Ông là người đầu tiên chỉ ra những bài toán không ổn định là "bài toán đặt không chỉnh" (xem [42] và wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard).

Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều giải được theo nghĩa bài toán luôn có nghiệm, nghiệm được xác định duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định.

Người ta nói đó là bài toán đặt không chỉnh. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh phải kể đến các nhà toán học Tikhonov (xem [74, 75, 76]), Lavrentiev (xem [63]), Ivanov (xem [50, 51]). Do tầm quan trọng của lý thuyết và ứng dụng của lớp bài toán này mà nhiều nhà toán học trên thế giới đã đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Alber (xem [8, 10]), Bakushinskii (xem [13, 14]), Baumeister (xem [18]), Engl (xem [38, 39, 40]) v. Các nhà toán học Việt Nam đã có rất nhiều đóng góp cho việc xây dựng phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh như nhóm nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh (xem [4, 5, 6]), Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy (xem [22, 24, 78]), Đinh Nho Hào (xem [45, 46]), Nguyễn Đông Yên và Phạm Duy Khánh (xem [57, 72]) v.

Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp nhiều khó khăn, đặc biệt, khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong quá trình giải số trên máy tính có thể dẫn đến sai lệch rất lớn về kết quả. Vì vậy, một trong những hướng nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh rất quan trọng đó là việc xây dựng các phương pháp giải ổn định lớp bài toán này sao cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu. Năm 1943, Tikhonov đưa ra phương pháp chọn (xem [74]), sau đó Ivanov đưa ra phương pháp tựa nghiệm (xem [50]) để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử đặt không chỉnh A(x) = f, (0.