Phép lặp ẩn và điểm bất động của ánh xạ hai biến luận án ts toán học 1 01 01

Lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mạnh mẽ. Đặc biệt, trong bốn thập kỷ gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy nhiều ứng dụng quan trọng. Một hướng nghiên cứu chính là các ánh xạ co suy rộng. Những ánh xạ này là sự mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach cổ điển. Các dạng co mới được giới thiệu, bao gồm cả dạng co Boyd-Wong. Dạng này được mở rộng để phù hợp với các điều kiện phức tạp hơn. Ví dụ, khoảng cách giữa hai điểm sau ánh xạ được giới hạn bởi một hàm. Hàm này phụ thuộc vào khoảng cách ban đầu và khoảng cách giữa điểm và ảnh của nó. Hàm alpha thường là hàm nửa liên tục trên từ phải. Điều này mở rộng phạm vi ứng dụng của Lý thuyết điểm bất động. Nghiên cứu cũng mở rộng sang các điểm bất động chung cho cặp ánh xạ hoặc họ ánh xạ, bao gồm cả ánh xạ co và ánh xạ không giãn. Các kết quả này đặc biệt quan trọng trong việc phân tích các Hệ thống động và Tính hội tụ của chúng.

Phương pháp lặp truyền thống thường sử dụng phép lặp Picard. Phép lặp này có dạng xn = T(xn-1, xn-1). Tuy nhiên, đối với ánh xạ hai biến, cách tiếp cận này có thể không hội tụ. Luận án này giới thiệu và sử dụng phép lặp ẩn. Phép lặp ẩn có dạng xn = T(xn, xn-1). Đây là một phương pháp mạnh mẽ để chỉ ra sự tồn tại Điểm bất động. Khi ánh xạ hai biến thỏa mãn các điều kiện co suy rộng, phép lặp ẩn được chứng minh là xác định. Đồng thời, nó cũng được chứng minh là hội tụ. Giới hạn của dãy phép lặp ẩn này chính là Điểm bất động của ánh xạ. Cụ thể, nếu x* là giới hạn, thì x* = T(x*, x*). Điều này khắc phục hạn chế của phép lặp Picard trong một số trường hợp. Phương pháp lặp ẩn đặc biệt hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến Hàm hai biến và Hàm ẩn.

Luận án cung cấp nhiều ví dụ minh họa về hiệu quả của phép lặp ẩn. Các ví dụ này được thực hiện trong các không gian quan trọng. Bao gồm không gian Lp với 1 <= p <= vô cùng. Ngoài ra còn có không gian C(-a, a) của các hàm liên tục. Trong những không gian này, phép lặp ẩn T(xn, xn-1) chứng tỏ Tính hội tụ vượt trội. Nó hội tụ về Điểm bất động của ánh xạ. Ngược lại, phép lặp Picard truyền thống xn = T(xn-1, xn-1) có thể không hội tụ. Điều này nhấn mạnh sự cần thiết của phép lặp ẩn cho một số lớp ánh xạ. Đặc biệt là những ánh xạ có bản chất hai biến. Các ví dụ này cung cấp bằng chứng thực nghiệm về sự khác biệt giữa hai phương pháp. Chúng cũng củng cố tầm quan trọng của phép lặp ẩn trong Lý thuyết điểm bất động cho Hàm hai biến.

Chương này đi sâu vào việc mở rộng các định lý điểm bất động cổ điển. Các định lý của Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong, và Meir-Keeler là trọng tâm. Ban đầu, những định lý này áp dụng cho các ánh xạ co nhất định. Tuy nhiên, luận án mở rộng chúng cho các ánh xạ co suy rộng. Điều này có nghĩa là các điều kiện về độ co được nới lỏng hoặc thay đổi. Việc mở rộng này cho phép các định lý được áp dụng cho nhiều loại Ánh xạ hai biến hơn. Nó cũng giúp phân tích các trường hợp mà phép lặp truyền thống không hoạt động. Các kết quả này là trụ cột cho sự phát triển của Lý thuyết điểm bất động hiện đại. Chúng cung cấp các công cụ toán học mạnh mẽ để chứng minh sự tồn tại Điểm bất động. Các công cụ này hữu ích trong nhiều bối cảnh toán học và ứng dụng.

Định lý Frum-Ketkov là một kết quả quan trọng trong Lý thuyết điểm bất động. Định lý gốc áp dụng cho ánh xạ liên tục trên tập lồi đóng trong không gian Banach. Nó đảm bảo sự tồn tại Điểm bất động nếu có một tập compac K. Khoảng cách từ Tx đến K phải nhỏ hơn k lần khoảng cách từ x đến K. Luận án này trình bày một bổ đề mở rộng định lý Frum-Ketkov. Việc mở rộng này áp dụng cho các ánh xạ tựa không giãn. Các ánh xạ tựa không giãn là một lớp ánh xạ quan trọng. Chúng có điều kiện co dạng Frum-Ketkov. Sự mở rộng này cho phép áp dụng định lý cho các trường hợp phức tạp hơn. Đồng thời, nó liên quan đến Tính hội tụ của phép lặp và phép lặp ẩn. Các kết quả này chứng minh rằng phép lặp ẩn vẫn hội tụ trong các tình huống này. Điều này mở rộng phạm vi ứng dụng của phép lặp ẩn.

Lý thuyết ánh xạ không giãn là một nhánh quan trọng của Lý thuyết điểm bất động. Các nghiên cứu ban đầu của E. Kirk vào năm 1965 đã mở ra hướng này. Ngoài sự tồn tại Điểm bất động, nhiều tính chất khác cũng được xem xét. Bao gồm tính chính qui tiệm cận và nguyên lý bán đóng. Đặc biệt, Tính hội tụ mạnh và yếu của các dãy lặp là một trọng tâm. Các tính chất hình học của không gian Banach đóng vai trò thiết yếu. Luận án mở rộng điều kiện không giãn cho Ánh xạ hai biến. Các ánh xạ này được gọi là ánh xạ không giãn suy rộng. Phương pháp lặp ẩn là công cụ chính. Nó giúp đạt được các kết quả mới về Điểm bất động trong bối cảnh này. Điều này khẳng định sự linh hoạt và hiệu quả của Phép lặp ẩn.

Luận án áp dụng các định lý nổi tiếng vào ánh xạ không giãn suy rộng. Các định lý kiểu Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong, và B. Wong được mở rộng. Các kết quả này ban đầu áp dụng cho ánh xạ co hoặc không giãn một biến. Tuy nhiên, việc mở rộng cho Ánh xạ hai biến đòi hỏi một cách tiếp cận khác. Đặc biệt, dưới các điều kiện không giãn suy rộng này, phép lặp thông thường không đảm bảo Tính hội tụ. Phép lặp T(x,x) có thể không hội tụ về Điểm bất động. Điều này đặt ra thách thức lớn trong việc tìm kiếm Điểm bất động. Tuy nhiên, phép lặp ẩn T(xn, xn-1) được chứng minh là hội tụ. Điều này cung cấp một giải pháp hiệu quả cho bài toán. Nó cũng làm nổi bật sự khác biệt cơ bản giữa ánh xạ một biến và Ánh xạ hai biến trong Lý thuyết điểm bất động.

Trong chương này, các nghiên cứu cụ thể về ánh xạ không giãn suy rộng được thực hiện. Một khía cạnh là ánh xạ không giãn suy rộng trên tập compac. Tính compac của tập hợp đóng vai trò quan trọng. Nó thường giúp đảm bảo sự tồn tại Điểm bất động. Ngoài ra, các ánh xạ thỏa mãn điều kiện dạng nén và nén yếu cũng được xem xét. Điều kiện nén liên quan đến cách ánh xạ làm giảm khoảng cách. Điều kiện nén yếu thì ít nghiêm ngặt hơn. Các định lý và kết quả được phát triển cho các loại ánh xạ này. Chúng bao gồm cả ánh xạ không giãn và nén, cũng như không giãn và nén yếu. Việc phân loại này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của ánh xạ. Nó cũng cung cấp các công cụ cụ thể để phân tích các Hàm hai biến. Đặc biệt, nó hỗ trợ trong việc chứng minh Tính hội tụ của Phép lặp ẩn.

Chương này đi sâu vào các khía cạnh của Tính hội tụ. Đặc biệt, sự hội tụ mạnh của phép lặp ẩn là một trọng tâm. Phép lặp ẩn, có dạng xn = T(xn, xn-1), được phân tích. Mục tiêu là chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ mạnh về một Điểm bất động. Tức là giới hạn của dãy này là x* và x* = T(x*, x*). Hội tụ mạnh có nghĩa là khoảng cách Euclide hoặc khoảng cách trong không gian chuẩn về 0. Điều này đảm bảo rằng các xấp xỉ liên tiếp ngày càng gần với Điểm bất động thực sự. Các kết quả này rất quan trọng. Chúng cung cấp sự đảm bảo về tính chính xác của Phương pháp lặp ẩn. Đồng thời, chúng cũng xác định các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ mạnh. Điều này rất hữu ích khi làm việc với các Hàm hai biến và các Hệ thống động.

Ngoài hội tụ mạnh, sự hội tụ yếu của phép lặp ẩn cũng được nghiên cứu. Hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong các không gian vô hạn chiều. Đặc biệt là trong các không gian Banach. Một dãy được gọi là hội tụ yếu nếu các tích vô hướng của nó với mọi phần tử trong không gian đối ngẫu hội tụ. Mặc dù yếu hơn hội tụ mạnh, hội tụ yếu vẫn cung cấp thông tin giá trị. Nó có thể đủ trong nhiều ứng dụng lý thuyết và thực tế. Các kết quả về sự hội tụ yếu của phép lặp ẩn mở rộng hiểu biết về hành vi của nó. Điều này đặc biệt hữu ích khi xử lý các Ánh xạ hai biến. Các ánh xạ này có thể không hội tụ mạnh trong một số điều kiện. Nghiên cứu này bổ sung vào Lý thuyết điểm bất động. Nó cung cấp một cái nhìn toàn diện hơn về Tính hội tụ của Phương pháp lặp.

Tính ổn định là một thuộc tính quan trọng của Phương pháp lặp. Một phép lặp được gọi là ổn định nếu nó không quá nhạy cảm với các nhiễu nhỏ. Điều này có thể là nhiễu trong dữ liệu đầu vào hoặc trong quá trình tính toán. Luận án nghiên cứu tính ổn định của phép lặp ẩn. Đồng thời, nó cũng xem xét sự hội tụ toàn cục. Hội tụ toàn cục có nghĩa là phép lặp hội tụ về Điểm bất động. Điều này xảy ra bất kể điểm khởi đầu được chọn như thế nào. Tính chất này rất mong muốn trong thực tế. Nó loại bỏ sự cần thiết phải chọn một điểm khởi đầu cụ thể. Các kết quả này đảm bảo rằng phép lặp ẩn là một công cụ mạnh mẽ. Nó đáng tin cậy cho việc tìm Điểm bất động của các Hàm hai biến. Điều này đặc biệt quan trọng trong các Hệ thống động phức tạp.

Ổn định số là một khía cạnh thực tế của Phương pháp lặp. Nó liên quan đến cách các sai số tính toán ảnh hưởng đến kết quả. Trong quá trình tính toán trên máy tính, sai số làm tròn là không thể tránh khỏi. Các sai số này có thể tích lũy và dẫn đến kết quả sai lệch. Luận án phân tích vấn đề ổn định số của phép lặp ẩn. Mục tiêu là hiểu rõ mức độ ảnh hưởng của các sai số này. Đồng thời, nó cũng tìm kiếm cách để giảm thiểu chúng. Các kết quả này rất quan trọng trong việc thiết kế các thuật toán hiệu quả. Đặc biệt là các thuật toán để tìm Điểm bất động của Ánh xạ hai biến. Một thuật toán ổn định số sẽ cung cấp kết quả đáng tin cậy hơn. Ngay cả khi có sự hiện diện của sai số tính toán. Điều này đảm bảo tính khả thi của Phép lặp ẩn trong các ứng dụng thực tế.