Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng luận án tiến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. NGUYỄN ĐỨC HIẾU 2. LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Bùi Văn Định 2 LỜI CẢM ƠN Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Đức Hiếu và đặc biệt là GS. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh.

Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và xêmina tại Bộ môn Toán và tại Phòng Tối ưu và Điều khiển Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của GS. Phạm Thế Long, PGS. Đào Thanh Tĩnh, PGS. Nguyễn Xuân Viên, PGS.

Tô Văn Ban, TS. Nguyễn Hữu Mộng, TS. Nguyễn Trọng Toàn, GS. Nguyễn Đông Yên.

Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán và các thầy trong Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.

Tác giả 3 Mục lục Lời cam đoan. 3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài. Mục đích nghiên cứu.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu. Kết quả của luận án. Cấu trúc của luận án.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Các khái niệm và các kết quả cơ bản. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng. Bài toán cân bằng tương đương.

Bài toán cân bằng hai cấp. MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP. Đặt bài toán. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng.

Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng. KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP.

Đặt bài toán. Phương pháp hàm phạt. Hàm đánh giá và hướng giảm. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.

Kết quả đạt được. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo. 96 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

98 4 5 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt N tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực X không gian véc tơ tô pô thực MT chuyển vị của ma trận M hx, yi = xT y tích vô hướng của hai véc tơ x và y chuẩn của véc tơ x p kxk = hx, xi I ánh xạ đồng nhất dom f miền hữu hiệu của hàm số f im F miền ảnh của ánh xạ F epi f trên đồ thị của hàm số f graph F đồ thị của ánh xạ F ϕ′ (x) = ∇ϕ(x) đạo hàm của ϕ tại x ϕ′ (x; d) đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x ∂ϕ(x) dưới vi phân của ϕ tại x ∇x f (x, y) đạo hàm của hàm f (., y) tại x ∇y f (x, y) đạo hàm của hàm f (x, .) tại y 6 ∂f (x, x) dưới vi phân của hàm f (x, .) tại x C bao đóng của tập C int C phần trong của tập C ri C phần trong tương đối của tập C lim = lim sup giới hạn trên lim = lim inf giới hạn dưới xk → x dãy xk hội tụ tới x PC (x) hình chiếu của x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x EP(C, f ) bài toán cân bằng VIP(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) Sf tập nghiệm của bài toán EP(C, f ) SF tập nghiệm của bài toán VIP(C, F ) BEP(C, f, g) bài toán cân bằng hai cấp MNEP(C, f ) bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập Sf VIEP(C, f, F ) bài toán VIP(Sf , F ) BVIP(C, F, G) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp u. nửa liên tục trên l. nửa liên tục dưới 7 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữa những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau.

Thuật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v. Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài. Trong Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi và thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau. Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồng thời cũng là động lực và là mục đích của mỗi nền kinh tế.

Một ví dụ đơn giản về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồng nhất một loại hàng hóa. Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả của mặt hàng đó trên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu mặt hàng được bán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sản xuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu là E(p) = D(p) − S(p). Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p∗ nếu E(p∗ ) = 0, tức là lượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong 8 cơ học khi hợp lực tác động lên hệ bằng không. Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng có thể được nhìn nhận trong một thể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash trong các trò chơi không hợp tác, v.

Ngược lại, nếu có nhiều mô hình cùng nằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép thiết lập một công thức chung cho cấu trúc thống nhất đó và do vậy chúng ta có thể phát triển các nghiên cứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho thể thống nhất chung đó mang lại khả năng ứng dụng rộng lớn hơn các mô hình riêng lẻ. Mô hình chung cho bài toán cân bằng EP(C, f ) đó là Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C, trong đó C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng, tức là f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi H. Isoda năm 1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [29] và thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, tuy nhiên nó có tên gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem) theo cách gọi của các tác giả L.

Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán tối ưu véc tơ, v. Nó là một mô hình toán học thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ. Vì vậy, các kết quả thu được về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp cho các bài toán đặc biệt của nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng lẻ nói trên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phù hợp nhờ đó nó có thể mang lại nhiều ứng dụng hơn. Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân bằng là: 9 nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định [13, 27, 36, 49, 65] và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47, 54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48].