Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải HÀ NỘI - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Mục lục Lời nói đầu. Chương 1: Mở đầu. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:.1 Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.

Bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản:. Các bài toán minh họa. Một số bài tập tương tự.

Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức Cauchy. Các bài toán minh họa. Một số bài toán tương tự.

Phương pháp thêm bớt hằng số. Phương pháp. Các bài toán minh họa:. Một số bài toán tương tự.

Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến. Phương pháp. Các bài toán minh họa:. Một số bài toán tương tự.38 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng 2.

Phương pháp nhóm các số hạng. Phương pháp thứ 1. Nội dung phương pháp. Các ví dụ minh họa:.

Phương pháp thứ 2. Nội dung phương pháp. Các ví dụ minh họa. Một số bài toán tương tự.

Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Phương pháp. Các bài toán minh họa:. Các bài tập tương tự.52 Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số.

Nội dung phương pháp. Các bài toán minh họa. Các bài tập tương tự. 55 Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa.

Nội dung phương pháp. Các ví dụ minh họa. Bài tập tương tự.62 Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số. Nội dung phương pháp.

63 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng 5. Các bài toán minh họa:. Các bài tập tương tự.69 Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Nội dung phương pháp.

Các bài toán minh họa. Các bài tập tương tự.75 Tài liệu tham khảo. 76 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Lời nói đầu Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen thuộc và thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh.

Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết các bài toán bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán. Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày như sau: - Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.

- Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như:  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.  Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.  Phương pháp thêm bớt hằng số.

 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.  Phương pháp nhóm các số hạng.  Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu. - Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số.

Chương này trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng - Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức. - Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số.

Chương này trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu. - Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức ban đầu. Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn Thầy.

Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học toán khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013 Phạm Thị Lan Anh Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Chƣơng 1: Mở đầu 1. Định nghĩa: Cho A, B là các biểu thức.

Khi đó, bất đẳng thức là: A > B ⟺ A − B > 0. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1. Tính chất bắc cầu: Nếu a > 𝑏 𝑣à 𝑏 > 𝑐 𝑡𝑕ì 𝑎 > 𝑐. Các bất đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: Nếu a > 1 𝑡ì x1 > x2 ⟺ ax1 > ax2.

Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡ì x1 > x2 ⟺ ax1 < ax2. Nếu a > 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ loga c > loga d. Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ loga c < loga d. Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối: Cho α > 0.

1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản. Bất đẳng thức Cauchy. Cho n số không âm: x1; x2 ; … ; xn.

Khi đó: x1 + x2 + ⋯ + xn ≥ nn x1x2 … x n. Dấu "= " xảy ra khi x1 = x2 = ⋯ = xn. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản. Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 1 + a + b + 1 ≥ 4; ∀a > 0; b > 0.

b c Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là: 1 1 4 + ≥ a b a +. + + ≥ a b c a+b+c Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát 1 1 1 + ⋯ + ≥ n2. a1 an + +⋯+ a2 an a2 a1 Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an. Các bài toán minh họa.

1 1 1 Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện = 4. + + x y z 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Chứng minh 1 1 1 + + ≤ 1. rằng: 2x + y + 𝑥+𝑦+ x + 2y + z 2𝑧 z Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được: 3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 = ≤ + +. 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑥 + +𝑦 + 𝑧 42 𝑥+ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 𝑥 𝑦 𝑧 4 Dấu “ = “ xảy ra khi x = x = y = z ⟺ x = y = z.

Tương tự ta được: 1 1 1 1 2 1 = ≤ + +. x + 2y + z x + x + +y + z 16 x y z Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z. x + y + 2z x + x + +y + 16 x y z z Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z. Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 4 4 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + 4 +.

x+y+ + z z 2z 16 x y Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = z. Mà + + 2x + y + z x + 2y + x+y+ x y nên 3 z z 2z Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z =. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ b+ c+a.

a + b 2 Lời giải: c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có: 1 1 1 1 c+a + b+c +a+b + + ≥. c+ a b+c a b 4 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng a+b 9 c ⟺21+ +1 +1 ≥. b+c c+a a+b 2 Dấu “ = “ xảy ra khi b + c = c + a = a + b ⟺ a = b = c. 5 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng Bài toán 3: Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Chứng minh rằng: x y z 3 + + ≤ x+ y+1. z+1 4 1 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được: 1 1 1 9 9 9 + + ≥ = =. x+1 y+1 z+1 4 1 Dấu “ = “ xảy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 ⟺ x = y = z =. 1−x 1− x + 2 rằng: y y Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1 1 + 1 + x + y ≥5.

−x − 1 −y−1 1− 1 − x+ 2 + + y x 9 y 1 1 1 ⟺ + 1−x 1− y 6 + Một số phương phápxchứng minh +y bất đẳng 2 ≥. 1−x 1− x+y bất đẳng thức luôn đúng .