Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ

i LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của GS. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Phạm Trí Nguyễn ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy-người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn TS. Dương Xuân Giáp và ThS. Nguyễn Trần Thuận về những thảo luận và góp ý trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài luận án.

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự động viên và quan tâm của PGS. Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thị Thế, PGS.

Lê Văn Thành, PGS. Kiều Phương Chi, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS.

Lê Hồng Sơn, TS. Nguyễn Văn Huấn cùng các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận án.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Điện lực, nơi tác giả đang công tác và giảng dạy, đã hỗ trợ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác. Phạm Trí Nguyễn iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 2 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 10 1.

Không gian tổ hợp lồi. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi 30 2.

Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Một số dạng luật số lớn cho dãy, mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi 52 3. Khái niệm CUI (α, α+ )-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+ )- từng mức đối với họ các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi.

Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Luật mạnh số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. 72 iv Kết luận chung và kiến nghị 81 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương N0 Tập hợp các số nguyên không âm R Tập hợp các số thực (X, d) Không gian metric đầy đủ khả ly [.] Phép toán tổ hợp lồi c(X) Không gian các tập con compact khác rỗng của X dH Metric Hausdorff coA Bao lồi của tập A, với A ⊂ X coA Bao lồi đóng của tập A, với A ⊂ X clA Bao đóng của tập A, với A ⊂ X (Ω, A, P ) Không gian xác suất BX σ -đại số Borel của X Bc(X) σ -đại số Borel của c(X) F(X) Không gian các tập mờ v trên X thỏa mãn: v là nửa liên tục trên, sup v = 1 và supp v là tập compact trong X K(X) Miền khả lồi của X I Tập chỉ số bất kỳ nào đó I{A} Hàm chỉ tiêu của tập A card{A} Số phần tử của tập A CUI Compact khả tích đều m∨n Giá trị lớn nhất của hai số thực m và n m∧n Giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n log+ a lôgarit cơ số 2 của a ∨ 1, với a ∈ R kxku0 Giá trị kxku0 := d(x, u0 ), với x ∈ X, u0 ∈ K(X) kAk{u0 } Giá trị kAk{u0 } := dH (A, {u0 }), với A ∈ c(X), u0 ∈ K(X) a+ Giá trị a+ := max{a, 0}, với a ∈ R a− Giá trị a− := max{−a, 0}, với a ∈ R 2 Kết thúc chứng minh.

Lý do chọn đề tài 1. Trong mấy thập kỷ gần đây, một số kết quả về các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đã được một số tác giả nghiên cứu và thiết lập. Năm 1992, Herer [12] đưa ra khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đầy đủ và khả ly (X, d) có độ cong âm. Từ đó, Herer chứng minh luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.

Năm 1997, sử dụng định nghĩa của Herer trong [12] về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X, bằng phương pháp xấp xỉ bởi dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, Fitte [8] đã chứng minh định lý ergodic và luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên khả tích. Một số định lý giới hạn đối với martingale nhận giá trị trong không gian metric cũng được thiết lập trong các công trình của Herer [12, 13] và Sturm [35]. Năm 2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian tổ hợp lồi, đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán tổ hợp lồi. Từ đó Terán và Molchanov đã xây dựng định nghĩa về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi và thu được luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối.

Như vậy, việc nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. Các định lý giới hạn dạng luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ cũng được nghiên cứu cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên. Có thể tìm thấy các kết quả cơ bản nhất của lĩnh vực này trong cuốn sách chuyên khảo của Klesov [21]. Chú ý rằng, khi mở rộng các định lý giới 3 hạn cho dãy các biến ngẫu nhiên sang trường hợp mảng thì các kết quả và phương pháp sử dụng cho dãy không phải lúc nào cũng áp dụng được cho mảng.

Do đó, các kết quả nghiên cứu đối với các định lý giới hạn cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric là vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa. Khi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn, người ta thường xét đến điều kiện độc lập của các biến ngẫu nhiên. Một hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạn dạng luật số lớn nói riêng là thay thế điều kiện độc lập bởi các điều kiện yếu hơn như độc lập đôi một, m-phụ thuộc theo khối, m-phụ thuộc đôi một theo khối. Đây là một hướng nghiên cứu đáng được quan tâm.

Nghiên cứu các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên mờ rất quan trọng cả về lý thuyết và thực tiễn. Về mặt thực tiễn, lý thuyết về các biến ngẫu nhiên mờ đã được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng cho các lĩnh vực như công nghệ thông tin, xử lý hình ảnh, kỹ thuật điều khiển và một số lĩnh vực khác. Theo quan điểm lý thuyết, nhiều vấn đề trong lý thuyết về biến ngẫu nhiên mờ liên quan đến lý thuyết xác suất cổ điển. Một số định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất cổ điển đã được mở rộng sang các biến ngẫu nhiên mờ.

Đặc biệt, luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên mờ đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Chẳng hạn, Colubi [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trong không gian Rd. Proske và Puri [28] chứng minh luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trong không gian Banach. Inoue [17] thu được luật mạnh số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên mờ độc lập thỏa mãn điều kiện "tight", kết quả của Inoue mở rộng kết quả của Taylor và Inoue [37] cho các tập ngẫu nhiên.

Gần đây, Kim [20] đã thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian Banach thực khả ly. Vì vậy, nghiên cứu các định lý giới hạn 4 dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian metric là hướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa và giá trị. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi”. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi, thiết lập sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ, sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau.

Đối tượng nghiên cứu - Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên, mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ. - Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên, mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ. - Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ.