Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (Phạm Ngọc Hoa)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAM NGOC HOA MOT SO DANG CUA DINH LY RITT VA UNG DUNG VAO VAN DE DUY NHAT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HOC THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAM NGOC HOA MOT SO DANG CUA DINH LY RITT VA UNG DUNG VAO VAN DE DUY NHAT Nganh: Toan Giai tich Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái và T§ Vũ Hoài An. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Tác giả Phạm Ngọc Hoa ii Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.

Hà Huy Khoái và TS. Các thầy đã truyền cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập và sự say mê nghiên cứu khoa học. Với tấm lòng tri ân sâu sắc, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với hai thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Dại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên trong khoa, đặc biệt là tổ Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Cao đẳng Hải Dương, Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, các giảng viên trong Khoa Tự Nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn Toán Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Trường Dại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp đỡ, động viên tac giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là chồng cùng hai con trai, những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án. Tác giả Phạm Ngọc Hoa iii Muc luc LGi CaM GOan.

cee cece ccc cee cece cece eee cece seen e eens i Lời cảm Ơn. cee cece eee SH Hy ky nên ii Mục lỤụcC. Ăn QQ SH SH SH. Hi Mở đầu.

ccc Q Q n HH HH HH và 1 Chương 1. Hai định lý của Ritt và vẫn đề duy nhất đối với đa thức vi phân của hàm phân hình. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Hai định lý của Ritt đối với các đa thức kiểu Fermat-Waring của các hàm phân hình.

Dịnh lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân của hàm phân hình. Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân trên một trường không-Acsimet. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Dịnh lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân trên một trường không-Äcsimet.

Dịnh lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân nhiều biến trên một trường không-Äcsimet. Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân, đa thức vi phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ. Dịnh lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet.

Dịnh lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân và đa thức sai phân trên một trường không-Acsimet. 85 Kết luận và kiến nghị .- 93 Danh mục công trình .- 94 Tài liệu tham khảo. Lý do chọn đề tài Định lý cơ bản của lý thuyết số phát biểu rằng mọi số nguyên n > 2 đều biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố có dạng n = p".p*, với k > 1, ở đó các thừa số nguyên tố ?ị,., ø„ đôi một phân biệt và các số mũ tương ting m, > 1,.,mpz > 1 được xác định một cách duy nhất theo n. Ritt là người đầu tiên tương tự định lý này đối với các đa thức.

Để mô tả kết quả của Ritt, ta kí hiệu .4(C)) là tập các hàm phân hình (tương ứng, nguyên) trên C và kí hiệu £(C) là tập các đa thức bậc 1. Đặt £, Z là các tập con khác rỗng của .{(C), khi đó một hàm phân hình Ƒ'{z) được gọi là không phân tích được trên €x F néu bat kỳ cách viết thành nhan tt F(z) = f og(z) vdi f(z) € € va g(z) © F d&u kéo theo hoặc ƒ là tuyến tính hoặc ø là tuyến tính. Năm 1922, Ritt [46] đã chứng minh định lý sau. Cho F là tập con khác rỗng của C|[z] \ £(C).

Nếu một đa thúc F(z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thúc không phân tích được trên Fx 7: F =ự0i©/a0:--ýy = ¡©20--*¿, thì r = s, uà bậc của các đa thúc Ù là bằng uới bậc của các đa thúc @ nếu không tính đến thứ tự xuất hiện của chúng. Cũng trong [46], Ritt đã chứng minh định lý sau. Gid sv rang a,b, c,d € C[z]\ C théa mén acb = cod va ged(deg(a); deg(c)) = gced(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj € C[z] sao cho (yo aol, ly! obo lạ,lịocol, ly! odols) có một trơng các dạng (Fre Fins Fins Fn) hoặc (x",a°h(+"),a°h(+)", 4"), ở đó m,n > 0 là nguyên tổ cùng nhau, s > 0 nguyên tố cùng nhau uới nì, Đồ h e Clz]\zClz].

ra la ham nguoc ctia lj, Fn, Fm la céc da thitc Chebychev. O day, phép phan tich F(z) = ƒ o ø(z) chính là phép hợp thành F(z) = f(g(z)). Do đó, ta thấy rằng Định lý thứ hai của Ritt mô ta các nghiệm của phương trình a(b) = c(đ), ỏ đó œ,b,c,d là các đa thức và bậc của các đa thức là nguyên tố cùng nhau. Rõ ràng phương trình đa thức được Ritt nghiên cứu là trường hợp riêng của phương trình hàm P(f) = Q(g), 6 d6 P,Q là các đa thức và ƒ, g là các hàm phân hình.

Phương trình hàm ?(ƒ) = Q(g) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Tạ Thị Hoài An-Nguyễn Thị Ngọc Diép [3], H.Fujimoto [19], Hà Huy Khoái-C. Dé ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định duy nhất đối với hàm phân hình-một ứng dụng của lý thuyết phân bố giá trị. Vấn đề xác định duy nhất đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi R.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân hình ƒ và ø trên mặt phẳng phức C, nến chúng có chung nhau ảnh ngược (không tính bội) của 5 điểm phân biệt thì ƒ = ø (Định lý 5 điểm) và nếu chúng có chung nhau ảnh ngược (có tính bội) của 4 af +b C ad — be # 0)(Định lý 4 điểm). Khởi nguồn từ Định lý 5 điểm và Định lý 4 điểm, vấn đề duy nhất đã được nghiên cứu liên tục với hai hướng nghiên cứu chủ yếu và đã có rất nhiều kết quả sâu sắc của G.Dethlof, Dỗ Dức Thai, M.

Yang, Ha Huy Khoái, Hà Huy Khoái-Vũ Hoài An, Hà Huy Khoái-Vũ Hoài An-Lê Quang Ninh, Tạ Thị Hoài An, Tạ Thị Hoài An-Hà Trần Phương, L.Lahiri, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A. điểm phân biệt thì g = (a,b,c, d là các số phức nào đó sao cho Tiép theo, sự nghiên cứu được mở rộng sang một nhánh của lý thuyết xác định duy nhất đó là xem xét tập xác định duy nhất của các đa thức vi phân. Và người đầu tiên khởi xướng cho hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm 1967, Hayman đã chứng minh một kết quả nổi tiếng rằng một hàm phân hình ƒ trên trường số phức C không nhận giá trị 0 và đạo hàm bậc & của ƒ, với k là số nguyên dương, không nhận giá trị 1 thì ƒ là hàm hằng.

Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau. Giả thuyết Hayman. [21] Nếu một hàm nguyên ƒ thỏa mãn điều kiện f"(z)f'(z) #1 vdi n là số nguyên dương va vdi moi z € C thi f la ham hằng. Giả thuyết này đã được chính Hayman kiểm tra với n > 1 và được Clunie kiểm tra với n > 1.

Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành một hướng nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman. Công trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về Yang-Hua |ðI], hai ông đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và đơn thức vi phân của nó có dạng ƒ*“ƒ'“. Hai ông đã chứng minh được rằng, với ƒ và ø là hai hàm phân hình khác hằng, nø là số nguyên, > 11 nếu ƒ"ƒ” và g"gˆ cùng nhận giá trị phức ø tính cả bội thì hoặc ƒ, g sai khác nhau một căn bậc ø + 1 của đơn vị, hoặc ƒ,g được tính theo các công thức của hàm mũ với các hệ số thỏa mãn một điều kiện nào đó. Từ đó, các kết quả tiếp theo đã nhận được dựa trên xem xét các đa thức vi phân dang (f”), [f"(f — 1)] (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) va c6 dang [f"(af™ + b)], [f"(f — 1)"] (xem Zhang va Lin, [54]), va có dang (f) P’(f),( xem K.

Năm 1997, thay vì nghiên cứu các đạo hàm bậc ø, I. Lahiri [36] đã nghiên cứu các trường hợp tổng quát hơn của các đa thức vi phân không tuyến tính của các hàm phân hình nhận giá trị I tính cả bội. Theo hướng nghiên cứu này, nim 2002 C. Fang [17] đã chứng minh rằng, nếu > 13, và đối với hai hàm phân hình khác hằng f va g, ma f()(f — 1)?f’ va g”(g — 1)2ø' nhận giá trị 1 tính cả bội, thì ƒ = ø.

Vào cuối những năm của thập kỷ này, vấn đề nhận giá trị cũng được xem xét đối với đa thức sai phân của các hàm nguyên và các hàm phân hình. Laine va Yang [37] đã nghiên cứu vấn đề phân bố giá trị của tích sai phân đối với các hàm nguyên.