Luận án Thạc sĩ Khoa học về các Hướng Mở rộng của Định lý Wedderburn - Huỳnh Huy Việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN HUỲNH HUY VIỆT VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.03 THÁNG 12 NĂM 1997 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN HUỲNH HUY VIỆT VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.03 THÁNG 12 NĂM 1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN HUỲNH HUY VIỆT VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO SƢ HƢỚNG DẪN : PGS. PTS BÙI TƢỜNG TRÍ CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.02 THÁNG 12 NĂM 1997 LỜI NÓI ĐẦU Vào năm 1905, Wedderburn J. đã chứng minh một định lý nổi tiếng: “Mọi thể hữu hạn là một trường” (A theorem on finite algebbras, Trans, Amer. Sau kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học lớn trên thế giới đã phát triển và mở rộng định lý ấy theo nhiều hƣớng.

Một trong những ngƣời có công lớn có thể kể đến là Z.Taith, Rowen…, trong đó đặc biệt phải kể đến khái niệm: SIÊU TÂM (HYPERCENTER) của Z.N Herstein đƣợc trình bày vào năm 1975. Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các hƣớng mở rộng đó và chứng minh lại một số vấn đề mà tác giả bỏ qua không chứng minh, đồng thời đƣa ra một số thí dụ và phản thí dụ để làm sáng tỏ hƣớng mở rộng đó. Luận văn một mặt sẽ trình bày lại toàn bộ kết quả của Herstein với phép chứng minh đầy đủ, tiến hành chứng minh chi tiết một số vấn đề mà Herstein đã bỏ qua (đƣợc in nghiêng trong luận văn), đồng thời nêu ra một số thí dụ và phản thí dụ, để thấy rõ ý nghĩa của sự mở rộng siêu tâm so với khái niệm tâm của một vành. Luận văn đƣợc chia làm ba phần: Phần I: Trình bày cơ sở lý luận của các vành không giao hoán.

Các khái niệm cơ bản và lý thuyết cơ bản để chuẩn bị cho phần II và phần III nhƣ: Radiacal Jacobson của một vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, vành nguyên tố,… các mối liên hệ giữa chúng. Phần II: Trình bày định lý Wedderburn và một số hƣớng mở rộng cổ điển từ định l ý ấy, các điều kiện đƣợc xét nhƣ là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa. Trong phần này ta đặc biệt chú ý đến các kỹ thuật chứng minh – cách đặt vấn đề - cách phân tích vấn đề và từng bƣớc giải quyết vấn đề: đi từ hẹp đến mở rộng dần. Trình bày khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản về siêu tâm.

Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Ở đây Herstein đã định nghĩa siêu tâm và đã chứng minh đƣợc một số kết quả: ―Trong điều kiện nào thì siêu tâm sẽ trùng với tâm của một vành?‖ Ông đã đi đết kết quả cuối cùng : ―Trong một vành không có nil-ideal ta sẽ có siêu tâm trung với tâm‖ Trong vấn dề này, tôi có xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng : ―Trong một vành nil thì khái niệm siêu tâm thực sự khác với khái niệm tâm‖ Thí dụ cũng đã làm sáng tỏ vấn đề: ―Khái niệm siêu tâm là mở rộng thực sự khái niệm tâm‖ mà tôi chƣa tìm thấy đƣợc chứng minh của Herstein. Luận văn đƣợc hoàn thành phần lớn là nhờ sự hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy hƣớng dẫn của quý thầy Bùi Xuân Hải, Mỵ Vinh Quang và sự tạo điều kiện hết lòng của quý thầy cô Phòng nghiên cứu khoa học, cũng nhƣ Ban chủ nhiệm khoa Toán Trƣờng Đại học sƣ phạm Tp. Hồ Chí Minh.

Nhân đây tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Bùi Tƣờng Trí và quý thầy cô đã giúp đỡ và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án này, xin cảm ơn quý bạn bè gần xa đã có những giây phút động viên quý báu và thiết thực. Do trình độ còn hạn chế, do lần đầu viết một luận án khá lớn, chắc chắn bài viết sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong đƣợc sự hƣớng dẫn giúp đỡ của quý thầy cô và của các bạn. PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trước hết cần nhắc lại một số cơ sở l ý luận của các vành không giao hoán như Radical Jacobson của mội vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy,.

, và các vấn đề có liên quan đến việc chứng minh định l ý Wedderburn. Trong phần này ký hiệu R để chí đến một vành không giao hoán và M là một R-môđun nào đ ó .1 Bổ đề : Ta ký hiệu E(M) : E(M) = { : M —> M / là đồng cấu }: nhóm cộng các tự đồng cấu từ M vào M. Định nghĩa : Ta gọi tập hợp A(M) là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa đƣợc toàn bộ M , A(M) = {x R / Mx = (0) }. Chứng minh : • Để c/m A (M) là ideal 2 phía của R.

• Nhắc lại tính Trung thành : 1 (M trung thành trên R/A(M) {x R/A(M) : Mx = {0}} = {0}) Giả sử có lớp r +A (M) linh hóa toàn bộ M. Trên E(M) ta định nghĩa hai phép toán : *. m( )= (m ψ Lúc đó E(M) cùng hai phép toán trên lập thành một vành. Chứng minh : X é t ánh xạ f : R →E(M) r→T r : M→M m →mr • f l à một đồng cấu.

Thật vậy : f ( r l + r 2 ) = T r l + r 2 = Trl + Tr2 f (rl. Theo định l ý Noether R/kerf Imf E ( M ). Nhưng Kerf= {r R / T r = đồng cấu 0 } = { r R / T r ( m ) = mr = 0 m M} = {r R / M r = 0} = A ( M ) Vậy R / A ( M ) Imf E(M) LƯU Ý : f đơn cấu A{M) = { 0 } kerf= { 0 }. Về khái niệm tâm t ậ p của một R-môđun : t ậ p hợp các t ự đồng cấu của E ( M ) giao hoán được với mọi t ự đồng cấu của E ( M ) , ta có một số kết quả sau , đặc biệt là bổ đề Schur: 1.

Đinh nghĩa : • Cho M là R - module Ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp : C (M) = { E (M) / Tr = Tr , Vr R} • M đƣợc gọi là module bất khả quy nếu : MR {0} và M không có module con thật sự nào. Nếu M là R-module bất khả quy thì C(M) là 1 thể. Ta cần cmr C(M) và 0 đều có phần tử khả nghịch. Thật vậy, Giả sử C (M) và Đặt (M) = W = M r R ta có Wr = WTr = (M )Tr = (MTr) vì C (M) M = W.

Để ý rằng W cũng là module con của R do và 0 nên M (0), và vì M bất khả quy nên M = M. -1 Nói cách khác là một đẳng cấu có tự đồng cấu nghịch đảo (M). -1 -1 Lại do C(M) Tr = Tr r R. Tr -1 -1 -1 -1 Tr = Tr Tr = Tr r R C(M) (đpcm) I.

Bổ đề : Nếu M là R - module bất khả quy thì M đẳng cấu (nhƣ là 1 module) với module thƣơng R/ρ trong đó ρ là 1 ideal phải tối đại nào đó của R, và hơn nữa tồn tại phần tử a R sao cho x- ax ρ x R. Ngƣợc lại nếu ρ là ideal phải tối đại thỏa mãn tính chất trên thì R- module R/ ρ là bất khả quy. Chứng minh : Giả sử M bất khả quy MR (0) Đặt S = {u M / uR = (0)} dễ kiểm tra S là module con của M. Nếu S S=M (vì M bất khả quy) MR = {0} Mâu thuẫn.

Do đó u M và u thì uR. Nhƣng uR là module con của M và M là bất khả quy uR = M Xét ánh xạ :RM r = ur Dễ kiểm tra là đồng cấu module, nhƣng uR = M toàn cấu. Đặt ρ = ker : module phải của R. • CM ρ : tối đại Giả sử có ρ l ρ, ρ l cũng là ideal phải của R, khác với ρ Theo định lý Noether : Im  = M R/p (để ý toàn cấu) => ρ l/ ρ ={x + ρ / x ρl}:là module con của R/ ρ và 0 3 M bất khả quy thì R/ ρ cũng bất khả quy R/ ρ ρ l/ ρ ρl R.

Vậy ρ là ideal tối đại * Từ đẳng thức uR = M a R : ua = u. Do đó x R uax = ux u (x - ax) = 0 x - ax Ker =ρ Lưu ý rằng : Nếu R có đơn vị, tính chất: a R: x R sao cho x – ax không cần thiết, vì lấy chẳng hạn lấy a = 1. Nhưng : * Nếu R không có đơn vị, phần tử a có cái gì đó giống phần tử đơn vị (nếu a là phần tử đơn vị thì x - ax = 0 ) Một Ideal phải có tính chất này ( a R: x R thì x - ax ρ) đƣợc gọi là ideal phải chính quy (regular).N HERSTEIN dùng ở đây chính là khái niệm modular mà JACOBSON đã sử dụng ). Ngƣợc lại, giả sử ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của R.

Thật vậy, giả sử (R/ ρ).x = 0 yx ρ (*) Mặt khác x R, a ρ sao cho x- ax ρ từ đẳng thức (*) cho ta : ax ρ x ρ Vậy x R x ρ R ρ R = ρ Mâu thuẫn. • R/p không có module con thật sự nào, điều này hiển nhiên do ρ là tối đại. Liên quan đến các kỹ thuật chứng minh của Wedderburn và Herstein , ta cần xét thêm một số khái niệm như sau : II. RADICAL CỦA VÀNH : Ta định nghĩa Radical Jacobson của một vành không giao hoán, không có đơn vị nhƣ sau : II.l Đinh nghĩa : Ta gọi Radical của vành R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa đƣợc tất cả các module bất khả quy trên R.