Luận án tiến sỹ toán học tính liên tục holder và sự ổn định của nghiệm phương tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN THỦY TÍNH LIÊN TỤC HOLDER VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN THỦY TÍNH LIÊN TỤC HOLDER VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 9.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. Nguyễn Văn Trào Hà Nội - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giả tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Văn Trào; đề tài của Luận án là mới, các kết quả của Luận án hoàn toàn mới và các công trình được sử dụng trong Luận án chưa từng được công bố trước đó. Nghiên cứu sinh Trần Văn Thủy Lời cảm ơn Tôi cảm thấy thật may mắn khi được học dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.

Bằng tất cả lòng kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy đã tận tâm dạy bảo, dùi dắt tôi trên con đường học tập và nghiên cứu. Đặc biệt là trong quá trình học nghiên cứu sinh. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Xuân Hồng, Thầy đã góp ý, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, đặc biệt là giai đoạn học nghiên cứu sinh để có thể hoàn thành Luận án này.

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất cả các Thầy Cô trong khoa Toán - Tin, trong tổ Lý Thuyết Hàm, cũng như các thành viên trong nhóm Seminar Giải tích phức - trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội. Đặc biệt là GS. Lê Mậu Hải và GS. Nguyễn Quang Diệu bởi những trao đổi và những lời góp ý vô cùng quý báu của các Thầy.

Hà Nội, tháng 9 năm 2018 NCS. Trần Văn Thủy Mục lục Kí hiệu 5 Mở đầu 6 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu 11 1 Tính liên tục Hölder của nghiệm phương trình Monge- Ampère phức 17 1.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet .2 Tính liên lục Hölder của nghiệm bài toán Dirichlet. 24 2 Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 39 2.1 Nguyên lý so sánh cho các hàm lớp Cegrell .2 Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới .3 Tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. 52 3 Thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới 56 3.1 Tính chất của các hàm thuộc lớp Cegrell .2 Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm thác triển dưới cực đại.

60 3 4 Kết luận và kiến nghị 69 Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 71 Tài liệu tham khảo 72 5 Kí hiệu • C(Ω): Tập hợp các hàm liên tục trên Ω • C ∞ (Ω): Tập hợp các hàm trơn vô hạn trên Ω • C0∞ (Ω): Tập hợp các hàm trơn vô hạn có giá compact trên Ω • C 0,α (Ω): Tập hợp các hàm liên tục α-Hölder trên Ω • L∞ (Ω): Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn h.n trên Ω • L∞ loc (Ω): Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn địa phương h.n trên Ω • Lp (Ω): Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω • Lploc (Ω): Không gian các hàm khả tích địa phương bậc p trên Ω • PSH(Ω): Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trên Ω • PSH− (Ω): Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω • MPSH(Ω): Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω • (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u: Toán tử Monge-Ampère của u • M A (Ω, φ, f ): Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère • u (Ω, φ, f ): Nghiệm của bài toán M A (Ω, φ, f ) • uj % u: Dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj & u: Dãy {uj } hội tụ giảm tới u • uj → u: Dãy {uj } hội tụ tới u • Cn (U, Ω): Dung lượng tương đối của tập U ⊂ Ω • A. B : Tồn tại hằng số C > 0 sao cho A ≤ CB Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức là đối tượng đóng vai trò trung tâm của lý thuyết đa thế vị, một hướng nghiên cứu đang thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, hướng này đã phát triển mạnh mẽ và gặt hái được nhiều thành tựu trong hai thập niên qua bởi một số nhà toán học như: P. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng đối với toán tử Monge- Ampère phức đó là bài toán Dirichlet M A(Ω, φ, f ).

Từ năm 1976 đến 2016, các tác giả đã gặt hái được nhiều kết quả quan trọng đối với bài toán này, với trường hợp từ Ω là miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn trong Cn tới Ω là miền giả lồi bị chặn với biên lớp C 2 , đa điều hòa dưới loại m. Như vậy, bài toán M A(Ω, φ, f ) đối với miền giả lồi không trơn đa điều hòa dưới loại m vẫn là một vấn đề mở. Tiếp theo, cho một dãy các hàm đa điều hòa dưới {uj }, ta quan tâm đến sự hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n}, sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n }, cũng như mối liên hệ giữa chúng. Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này như: [14], [32], [41], [42].

Cụ thể, các tác giả đã chỉ ra rằng dưới những điều 7 kiện nhất định thì sự hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n} của dãy hàm {uj } sẽ đảm bảo sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n } và ngược lại. Tuy nhiên, việc nghiên cứu một số điều kiện đủ để có được sự tương đương giữa sự hội tụ theo Cn -dung lượng của dãy hàm {uj } và sự hội tụ yếu của dãy toán tử Monge-Ampère phức tương ứng, cũng như dựa trên cơ sở đó để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức vẫn là một vấn đề mở. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm tới vấn đề thác triển dưới của hàm đa điều hòa dưới u tới miền lớn hơn, đặc biệt là các hàm thác triển dưới cực đại. Theo suốt hướng này, các tác giả đã quan tâm tới vấn đề khi nào thì tồn tại thác triển dưới, thác triển dưới cực đại của u, cũng như nghiên cứu nhiều tính chất của chúng, như độ đo Monge-Ampère phức của hàm thác triển dưới, thác triển dưới cực đại.

Như vậy, vấn đề sự hội tụ theo Cn -dung lượng của các hàm thác triển dưới cực đại vẫn là một bài toán mở. Từ những vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này với đề tài luận án là "Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere". Mục đích nghiên cứu Từ những thành tựu đã đạt được gần đây, mục đích của Luận án là: • Nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên miền giả lồi không trơn, đa điều hòa dưới loại m. • Tìm ra các điều kiện đủ đối với dãy hàm {uj } ⊂ PSH(Ω) để có được sự tương đương giữa sự hội tụ theo Cn -dung lượng của dãy hàm {uj } và sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.

8 • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức. • Nghiên cứu sự hội tụ theo Cn -dung lượng của dãy hàm thác triển dưới cực đại. • Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm ra những vấn đề nghiên cứu mới. Đối tượng nghiên cứu ◦ Hàm đa điều hòa dưới, thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới.

◦ Các lớp hàm đa điều hòa dưới được U. Cegrell giới thiệu, nghiên cứu và được phát triển bởi nhiều tác giả. ◦ Toán tử Monge-Ampère phức. ◦ Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức.

◦ Phương trình Monge-Ampère phức và nghiệm của chúng trên các lớp hàm Cegrell. ◦ Các tính chất về sự hội tụ theo Cn -dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới và các hàm thác triển dưới cực đại của các hàm đa điều hòa dưới. Phương pháp nghiên cứu • Ứng dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống đã được các nhà toán học sử dụng, nghiên cứu trong Giải tích phức. • Tham gia seminar nhóm, seminar Tổ bộ môn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, nghiên cứu những vấn đề đang vướng mắc, cũng như những vấn đề mới.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án Lý thuyết đa thế vị là một trong những hướng nghiên cứu đang được nhiều tác giả quan tâm bởi những ứng dụng của chúng trong giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trình đạo hàm riêng phức, động lực học phức, giải tích hyperbolic,. Kết quả của Luận án góp phần nghiên cứu hoàn thiện lý thuyết đa thế vị, cũng như các kỹ thuật trong hướng nghiên cứu này. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mục lục, Mở đầu, Tổng quan các vấn đề nghiên cứu, Kết luận và kiến nghị, Danh mục các công trình sử dụng trong Luận án, Tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận án bao gồm ba chương: • Chương 1. Tính liên tục Hölder của nghiệm phương trình Monge- Ampère phức Trong phần đầu, ta nghiên cứu một số tính chất cơ bản cần thiết cho việc trình bày nội dung Luận án.

Sau đó, ta tập trung nghiên cứu một trong những kết quả chính của Luận án về bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức trên các miền giả lồi không trơn. Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Phần đầu của chương, ta nghiên cứu mối liên hệ giữa sự hội tụ theo Cn -dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới và sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng. Sau đó, ta sử dụng kết quả đó để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới Trong chương này, ta sẽ ứng dụng các kết quả của chương trước 10 về tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức để nghiên cứu các tính chất của hàm đa điều hòa dưới.

Cụ thể, ta đưa ra khái niệm về hàm thác triển dưới cực đại của một hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên. Sau đó, ta nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm này, cũng như toán tử Monge-Ampère của chúng.