Luận án tiến sĩ toán tử tích phân loại hardy và các giao hoán tử của chúng trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THỊ HỒNG TOÁN TỬ TÍCH PHÂN LOẠI HARDY VÀ CÁC GIAO HOÁN TỬ CỦA CHÚNG TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THỊ HỒNG TOÁN TỬ TÍCH PHÂN LOẠI HARDY VÀ CÁC GIAO HOÁN TỬ CỦA CHÚNG TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. Nguyễn Minh Chương TS. Hà Duy Hưng Hà Nội - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Minh Chương và TS Hà Duy Hưng. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ luận văn, luận án nào khác.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Hồng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của GS.TSKH Nguyễn Minh Chương và TS Hà Duy Hưng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Minh Chương và TS Hà Duy Hưng, những người đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ những ngày sau khi tốt nghiệp thạc sĩ. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Giải tích, khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà nội đã luôn giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủ đô Hà nội, các thầy, cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Thủ đô Hà nội đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.

Trường các số p-adic. Không gian Qdp. Độ đo và tích phân trong Qdp. Các không gian hàm.

Không gian Lebesgue. Không gian Herz. Không gian Morrey-Herz. Không gian BMO.

Không gian Morrey trên trường p-adic. Không gian tâm Morrey trên trường p-adic. TOÁN TỬ P -ADIC HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HOÁN TỬ TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MOREY. Chuẩn của toán tử Uψ,s trên các không gian kiểu Morrey.

Giao hoán tử của toán tử p-adic Hardy-Cesàro. Các giao hoán tử và bổ đề bổ trợ. 37 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Các kết quả chính.

Chứng minh kết quả chính. TOÁN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH P -ADIC HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HOÁN TỬ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM P -ADIC. Đặt bài toán. Chuẩn của toán tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro trên tích các không gian Lebesgue và tích các không gian kiểu Morrey.

Một số khái niệm và bổ đề. Các kết quả chính. Tính bị chặn của giao hoán tử của toán tử song tuyến tính Hardy- Cesàro có trọng. Các giao hoán tử.

Các kết quả chính. Chứng minh kết quả chính. TOÁN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HOÁN TỬ TRÊN TÍCH CÁC KHÔNG GIAN LOẠI HERZ. Tính bị chặn của toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro trên tích các không gian Herz và Morrey-Herz.

Một số khái niệm và bổ đề. Các kết quả chính. Chứng minh kết quả chính. Giao hoán tử của toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro.

Các kết quả chính. Chứng minh kết quả chính. 79 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

88 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Rd không gian vectơ Euclid d-chiều |x| chuẩn của một phần tử x trong Rd |x|p chuẩn p-adic của số p-adic x Qp trường các số p-adic Qdp không gian véc tơ d chiều trên trường các số p-adic B(a, γ), Bγ hình cầu đóng tâm a, tâm 0 bán kính pγ S(a, γ), Sγ mặt cầu tâm a, tâm 0 bán kính pγ dx độ đo Haar Lr tập các hàm khả tích bậc r trên Rd Lrloc tập các hàm khả tích địa phương bậc r trên Rd Lr (ω) tập các hàm khả tích bậc r trên Rd ứng với độ đo dµ = ωdx Zp tập các số nguyên trên trường Qp Z?p tập các số nguyên khác không trên trường Qp BM O(Rd ) không gian các hàm có dao động trung bình bị chặn trên Rd BM O(Qd ) không gian các hàm có dao động trung bình bị chặn trên Qd χ hàm đặc trưng của nhóm cộng tính của trường số thực hay trường số p-adic K̇qα,p (ω) không gian Herz thuần nhất có trọng trên Rd α,λ M K̇p,q (ω) không gian Morrey-Herz thuần nhất có trọng trên Rd Lipβ (Rn ) không gian Lipschitz trên Rd Uψ toán tử trung bình Hardy có trọng Uψ,s toán tử Hardy-Cesàro có trọng m,n Uψ,~s Toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng p Uψ,s Toán tử p-adic Hardy-Cesàro có trọng p,m,n Uψ,~s Toán tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro có trọng p,b Uψ,s Giao hoán tử của toán tử Hardy-Cesàro có trọng p,m,n,b ~ Uψ,~ s Giao hoán tử của toán tử đa tuyến tính p-adic Hardy- Cesàro có trọng m,n,b ~ Uψ,−→ s Giao hoán tử của toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng. 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một trong những vấn đề cốt lõi của giải tích điều hòa là nghiên cứu tính bị chặn của các toán tử T trên một số không gian hàm và một số không gian hàm suy rộng ||T f ||Y ≤ C||f ||X , (1) với C là hằng số nào đó, X, Y là hai không gian hàm hoặc hàm suy rộng với chuẩn tương ứng là || · ||X ; || · ||Y. Đây là câu hỏi xuất hiện một cách tự nhiên trong các nghiên cứu về giải tích, lý thuyết hàm, phương trình đạo hàm riêng.

Chẳng hạn, ta xét thế vị Riesz Jα cho bởi công thức f (y) Z Jα (f )(x) = dy. Một áp dụng trực tiếp của kết quả này là định lý nhúng Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, không gian W 1,p (Rd ) được nhúng liên tục vào trong không gian Lq (Rd ) với 1 ≤ p ≤ q ≤ p∗ , trong đó p1∗ = p1 − d1. Một trong những đối tượng nghiên cứu chính của luận án này là đánh giá (1) cho một lớp toán tử tích phân và giao hoán tử của chúng. Lớp toán tử này chứa đựng hoặc có mối liên hệ mật thiết với nhiều toán tử cổ điển quan trọng như toán tử Hardy, toán tử cực đại Calderón, toán tử Riemann-Lioville trên đường thẳng, trường hợp một phía của toán tử thế vị Riesz Jα như trong công thức (2), biến đổi Abel.

Các ước lượng dạng (1) cho lớp toán tử T như thế thường được gọi là bất đẳng thức Hardy, và được biết đến như là một công cụ hữu ích trong nghiên cứu lý thuyết về các toán tử elliptic. Về lịch sử, bất đẳng thức tích phân Hardy và dạng rời rạc của nó ra đời khoảng năm 1920, liên quan đến tính liên tục của toán tử trung bình Hardy giữa các không gian Lp. Một trong những động lực chính dẫn tới các kết quả đó được xuất phát từ bất đẳng thức Hilbert (xem [16, 43]). Nhà toán học Hilbert, khi nghiên cứu nghiệm của một số phương trình tích phân, dẫn tới bài toán nghiên cứu tính hội tụ của chuỗi kép dạng 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Trong bài báo năm 1915 của mình Hardy đã chỉ ra sự hội n=1 m=1 m + n ∞ ∞ a a P P m n tụ của chuỗi tương đương với sự hội tụ của hai chuỗi n=1 m=1 m + n ∞ ∞  An 2  X an An X và , n=1 n n=1 n trong đó An = a1 + · · · + an. Do đó, ta thu được dạng tích phân của kết quả này chính là nếu một hàm f thuộc Lp (R+ ), với 1 < p < ∞, thì Hf cũng thuộc Lp (R+ ), trong đó 1 x Z Hf (x) = f (t)dt. Toán tử Hardy là một trường hợp riêng của lớp toán tử Hausdorff, xuất hiện trong các bài toán nghiên cứu tính khả tổng cho chuỗi số, chuỗi luỹ thừa với các công trình mang tính nền móng của Siskakis và của Liflyand-Móricz [45]. Trên trường thực, toán tử Hausdorff có dạng sau Z HΦ,A (f )(x) = Φ(u)f (xA(u))du (5) Rd với Φ là hàm đo được trên Rd và A = A(u) = (aij (u)) là ma trận cấp d×d0 trong đó aij (u) là hàm đo được theo biến u.

Đặc biệt, khi Φ(u) = χ[0,1] (u), A(u) = u thì HΦ,A trở thành toán tử Hardy cổ điển như đã đề cập ở trên. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, với các không gian X, Y nào và với các điều kiện nào của Φ, ma trận A thì (1) đúng với T = HΦ,A. Hơn nữa, khi đó thì hằng số tốt nhất C trong (1) là bao nhiêu? Câu hỏi thứ nhất từ lâu đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới và có thể chỉ ra một số kết quả gần đây của K. Tuy nhiên các điều kiện cần về tính bị chặn được đưa ra chưa hẳn là điều kiện đủ và câu hỏi về hằng số tốt nhất trong mỗi trường hợp đó đều không dễ trả lời.

Với câu hỏi thứ hai về việc xác định hằng số tốt nhất 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong các ước lượng dạng (1) cho các lớp toán tử trung bình có hai hướng: Thứ nhất là cho lớp toán tử trung bình trên hình cầu có dạng 1 Z d H(f )(x) = f (y)dy, x ∈ R \ {0}. (6) Ωd |x| d |y|<|x| p Grafakos và Lacey chứng minh được rằng chuẩn Lp của H bằng .