Luận án tiến sĩ toán học một số phương trình và bất phương trình dạng logistic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THANH PHO HO CHI MINH BUI THE QUAN MOT SO PHUGNG TRINH VA BAT PHUGNG TRINH DANG LOGISTIC Chuyén nganh: Giải tích Mã số chuyên ngành: 9460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. NGUYEN BÍCH HUY [ THU VIEN | | Trường Đại-Hoc Su-Phạm TP.HOQ EAN TP. HO CHi MINH - 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.

Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cõng bố trong bắt kỳ một công trình nào khác. oe open Bùi Thế Quân Mục lục Lời cam đoan Danh mục các ký hiệu Mở đầu 0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của ẩn hàm.2 Bất phương trình biến phân dạng logistiic. Phương trình logistie chứa đạo hàm và số hạng Kirchhoff.4 Hệ phương trình logistic.

1 MOT SO-KET QUA CAN THIET 1.1 Không gian Banach có thứ tự, bậc tô pô trong nón. Le Toán VÑ ĐLIRDMEE ; ::s.iul0 sg cg š ö ö g B662 666 86.3 Giá trị riêng chính và hàm riêng. 2_ PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY RỘNG. Bel GOL iis PAWS) wswwnc aug ge eT RT MAwWER EE Ee Uw Ware 2.1 Phương trình logistie đạng tổng quát; Đưa phương trình về bài toán điểm bất động.2 Các kết quảchính.1 Trường hợp dưới tuyến tính và tuyến tính.

22:2 "Trường hợp trếu tuyếntÍnh ¿ š:¿ ¿4ó (222 666v 26a 3 BAT PHƯƠNG TRÌNH BIÊN PHAN. Si (GIẢI KHỀHHBAILBðS cc we wk RH Rae RE Fw RR Bw WSR 3.2 Dưa bài toán về bài toán điểm bất động.3 Các kết quả chính.1 Trường hợp dưới tuyến tính. S32 “Itường GP DUyẾN ENẨH ¡ ¿ v voz cv Ỷeä kh ca 1 g6 nen 4 PHUGNG TRINH LOGISTIC CHUA SO HANG.2 Đưa phương trình về bài toán điểm bất động. AS (GKGKẾ QUÁ GNBNẨN ve c na ¿ ng &Y KV BE v60 Ho bo là Ko V go ga 0g SE0i 4.54 trường Rgp Hồữm.M tổng QUẤC¿ xe ¿keo wee OE 43.2 Trường hợp hàm M(z,f) = a(z) + b(z)f! với b không suy biến.3 _ Trường hợp Ä/(r,£) = a(œ) + b(œ)#? với số hạng b suy biến.

5 HE PHUGNG TRINH LOGISTIC BI: DI HÀ HẨỮN Ga. n K6 ca Bo 00600016016 & OH OEE © HTS BORER 5.2 Dưa bài toán về bài toán điểm bất động. BS ae ketch os v sa ø 62/22/2065 l6 6 BS 6l/2/G l8 8 E Bế 6 Nếế GA 5.1 Trường hợp dưới tuyến tính và tuyến tính.2 Trường hợp trên tuyến tính. Kết luận Danh mục các công trình của tác giả 49 52 59 59 60 61 61 72 ee 79 Danh mục các kí hiệu Các chữ viết tắt dpem eg ie h.n Ký hiệu tập hợp N R Rt = [0, +00) Q Ký hiệu các không gian hàm BE E! tie Iifllp = (Sa LP) IIf lloo W!7(Q)={f: QR: f, Df € LP(Q)} Diéu phai chitng minh.

Tap hợp các số tự nhiên. Tập hợp các số thực. Tập hợp các số thực không ãm. Tập mở, bị chặn có biên trơn trong R”.

Khong gian Banach. Đối ngẫu của không gian Banach Z. Nón dương trong không gian Banach. Không gian các hàm ƒ đo được và |ƒ|P khả tích trên ©.

Tập các hàm không âm trong F?P(9). Không gian các hàm đo được, thực chất bị chặn trên 9. Chuẩn của ƒ trong không gian 1?(9). Không gian các hàm thudc L?(Q) có dạo hàn suy rộng thuộc /?(O)., 24) Wl = Ua iPr)" |Œi:#a‹.-;#a)[ = 3v lại Cx (a) Cy(Q) W?(Q) i(F,D,K) Aju = div(|VulP?Vu) toy Bía,r) = {+ € ƒ: ||# — a|| < r} 9 Dạo hầm suy rộng của hàm ƒ.

Chuẩn của ƒ trong W⁄}”(©). Không gian các hàm khả vị võ hạn cé gia compact trong 2. Không gian các hầm khả vi liên tục tren 2 va u(x) = 0 trên Ø9, Bao đóng của C(O) trong W!?(Q) ä ' 1 với chuẩn |I/l| = (ƒ;IV/P)* + (fal/I*)?. Bậc tôpô của toán tử F trén D tương ứng với Ứ.

Toán tử p-Laplace. Tích dối ngẫu trong #7 và #. Quả cầu mở tâm ø bán kính r trong 7. Phần tử không của các không gian Banach.

MỞ ĐẦU Nam 1977, M. MacCaimy đưa ra phương trình uy, — Âu = Àa(#)u" — b(z)uÖ - trong (0,+se) x Q, u=0 trén (0,+00) x a, (0. Phuong trình (0.1) mô tả sự tăng trưởng của loài đơn lẻ trong tự nhiên. Trong d6 u(x,t) chi mat dO cia loai, @ là không gian sống, tham số À đo độ tăng trưởng của thú và hàm b(z) chí giới hạn tập trung của thú.

Trạng thái dừng (ổn định qua thời gian) của (0.1) là nghiệm + = „(+) của phương trình elliptic sau, gọi là phương trình logistie : ~Au = Aa(#)u*— b(z)uỞ trong 9, — =0 trên 09.2) Vì sự quan trọng trong ứng dụng mà phương trình đạng (0.2) được các nhà Toán học từ nhiều quốc gia quan tâm nghiên cứu cho đến ngày nay. Với giả thiết a(z),b(z) là các hàm trơn, œ < 1,œ < Ø các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm cổ điển của (0.2) và đã nhận được khá đầy đủ thông tin về ¡) Sự tồn tại, duy nhất nghiệm. Sự tồn tại của nhiều nghiệm tùy theo giá trị của tham số À. ii) Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi À — 0 hoặc À —› œ.

ii) Sự phân nhánh nghiệm từ nghiệm Ø hoặc tại œ. Dễ mô tả chính xác hơn mô hình thực tế và cũng vì sự mở rộng thuần túy của toán học mà sau này toán tử Laplace được thay bằng toán tử p - Laplace hoặc các toán tử vi phân tổng quát, tính chính quy của các hàm a(z). b(z) cũng được giảm nhẹ, các tương quan giữa œ, đ,1 khác với œ < 1,œa < 8 cũng được nghiên cứu. Khi giảm nhẹ tính chính quy của a(z),b(z) thì nghiệm cổ điển của (0.2) có thể khong tồn tại và người ta quan tâm đến nghiệm yếu của phương trình.

Phần lớn các kết quả theo hướng ì), ii), iii) nêu trên cũng đúng cho nghiệm yếu. Để nhận được các kết quả này thì nhiều định lý lý thuyết và phương pháp cũ không áp dụng được. Các nhà Toán học đã chứng mình các kết quả lý thuyết mới và dua ra các phương pháp chính sửa thích hợp. Nhĩ vậy, việc mở rộng các đữ kiện tham gia trong phương trình không những cho phép mô tá chính xác hơn các hiện tượng trong thực tế mà còn thúc đẩy sự phát triển của Toán học lý thuyết.

Luận án của chúng tôi khảo sát bến lớp phương trình hoặc bất phương trình elliptic chứa số hạng phi tuyến dạng logistie sau e Phương trình logistie suy rộng chứa đạo hàm của ẩn hàm e Bất phương trình biến phan dang logistic e Phương trình logistic chứa đạo hàm va sé hang Kirchhoff e Hệ phương trình logistic và sử dụng một phương pháp nghiên cứu thống nhất cho cả bốn bài toán. Đó là sử dụng toán tử giải của một bài toán phụ để đưa bài toán được xét về một bài toán điểm bắt động, sau đó sử dụng các đánh giá nghiệm, các lý luận về thứ tự và bậc tô Đô trong nón để chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai điểm bất động không tằm thường.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm của an ham Trong chương hai của luận án chúng tôi nghiên cứu phương trình logistic suy rộng sau —Aptt = Àƒ(z,u, Vu) — g(z,) trong ©, w = 0 trên Ø9, (0.3) trong đó ¡ là ấn hàm không âm, không đồng nhất bằng không, O c RŸ(N > 2) là miền bị chặn với biên 02 tron, Apu = div(|VulP-?Vu) là toán tử p- Laplace với 1<p< Ñ và À là tham số dương. Diều kiện chính chúng tôi đặt lên hàm ƒ là () - 0<ƒ(zu,ò)<m(z)u®+c|ol, (r,uu)eQxIR†xRẺ, + Xử trong dé a < ph —1,+< Gy m(z) € L4(Q) véi g > (4) va pt = ee. # là số mũ liên hợp với + € (1,œ©).

Tương tự như thuật ngữ dùng cho trường hợp p = 3, chúng tôi chia bài toán (0.3) thành ba loại là (p — 1) - dưới tuyến tính, (p— 1) - tuyến tính và (p— 1) - trên tuyến tính, tương ứng với a <p— 1,œ=p—1l và w>p— 1. Cách phân loại này cũng được dùng cho ba bài toán sau. Một số dạng đặc biệt của bài toán (0.3) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, kể từ bài báo khởi đầu của M. Khi ƒ = a(z)u®,g = b()u8 với a(z),b(z) là các hàm liên tục trên Ø, bài toán (0.3) đã được nghiên cứu trong (21, 22, 28] khi p = 2 và trong [16, 23, 25, 51, 70, 71, 72] khi p # 2.

Trường hợp hàm trọng a(z),b(z) không bị chặn được xét đầu tiên trong [10, 42] và tiếp tục được nghiên cứu trong [26, 44, 47]. Phương trình logistic suy rộng dạng (0.3) nhưng với hàm ƒ không phụ thuôc Vư mới được xét gần đây trong [12, 48|. Tiếp theo, các tác giả trong [32, 33, 34, 35] xét bài toán với toán tử A„ được thay bằng toán tử div(a(Vw)) có thể không thuần nhất eòn về phải cũng không phụ thuộc Vu. Theo hiểu biết của chúng tối, phương trình logistie suy rộng chứa Vu mới được nghiên cứu trong [50, 67].

"Trong [50] các tác giả nghiên cứu bài toán —Apu = Au — uw? + |Vul? trong Q, u=0 trén dQ, còn trong [67] bài toán sau được xét —Apu = Af(x,u, Vu) — a(x)g(u, Vu) trong, =0 trên dQ, trong đó ƒ thoả mãn điều kiện 0< ƒ(z,u,u) < Cạu” + L|ou[” với Cọ, L là các hằng số, p~ 1 < œ< F— 2,p— 1 < + < pz‡, còn hàm a(z) thoả mãn những điều kiện khá đặc biệt là tồn tại miền con Q% C Ø có biên thuộc lớp C? sao cho a(z) = 0,Vz € 9ạ,a(z) > 0 trên 9 \ ©ạ, a(z) = b(#)|d(z,Ø0ạ)|2 với Ø > 0,b(z) > 0 là hàm liên tục trên một lân cận của Ø9g. Các tác giả trong [10, 32, 33, 34, 35, 40, 42| đã sử dụng phương pháp biến phân, phương pháp này không áp dụng được khi nghiên cứu các phương trình với về phải chứa Vu và các tác giả trong [50, 67] đã sử dụng phương pháp đánh giá tiên nghiệm kết hợp với Lý thuyết phân nhánh. Như vậy, hàm ƒ mà chúng tôi xét trong (0.3) rộng hon trong [50, 67|. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thường trong trường hgp (p—1) - trên tuyến tính, trong khi các tác giả của [50, 67] chỉ chứng mình sự tồn tại của ít nhất một nghiệm.

Để nghiên cứu bài toán (0.3) chúng tôi đã sử dụng toán tử giải của một bài toán biên phụ để đưa bài toán (0.3) về bài toán điểm bất động và dùng lý thuyết bậc tô pô trong nón để chứng minh các kết quả chính như sau về bài toán (0.