Luận án tiến sĩ phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên qu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------- ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------- ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : 1. Phạm Kỳ Anh XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS. Lê Dũng Mưu PGS. Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Hà nội, ngày tháng năm Nghiên cứu sinh Đặng Xuân Sơn 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của GS. Lê Dũng Mưu và GS.

Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thành viên trong nhóm Xêmina liên cơ quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, ban giám hiệu Trường THPT chuyên Trần Phú Hải Phòng đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang Lời cam đoan 2 Lời cảm ơn 3 Mục lục 4 Bảng kí hiệu 6 Bảng các chữ viết tắt 8 Mở đầu 9 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Toán tử chiếu .2 Bài toán điểm bất động .3 Bài toán bất đẳng thức biến phân .4 Bài toán cân bằng.

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG 28 2.1 Nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cân bằng .2 Bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co 38 2.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ bán co. BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG 64 3.1 Bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng và điểm bất động .2 Bài toán tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng tách. 75 Kết luận và kiến nghị 89 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 91 Tài liệu tham khảo 92 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực N tập số tự nhiên N∗ tập số nguyên dương ∅ tập rỗng A⊂B A là tập con của B A×B tích Descartes của hai tập A và B x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A ∃x tồn tại x ∀x với mọi x Rn không gian Euclide n−chiều H không gian Hilbert thực kxk chuẩn của vectơ x hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y argmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f trên C argmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f trên C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x ∂f (x) dưới vi phân của hàm f tại x PC (x) hình chiếu của x lên C {xn } dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x lim sup giới hạn trên lim inf giới hạn dưới A∗ toán tử liên hợp của A Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T V IP (C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân Sol(C, F ) tập nghiệm của bài toán V IP (C, F ) EP (C, f ) bài toán cân bằng 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Sol(C, f ) tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) 2 kết thúc chứng minh 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT VIP bài toán bất đẳng thức biến phân EP bài toán cân bằng SEP bài toán cân bằng tách CFP bài toán chấp nhận lồi GCFP bài toán chấp nhận lồi suy rộng SFP bài toán chấp nhận tách MSSFP bài toán chấp nhận tách đa tập hợp SFPP bài toán điểm bất động tách 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Nhiều vấn đề trong khoa học và kĩ thuật như khôi phục ảnh, xử lý tín hiệu và nhiều bài toán như: tối ưu, bất đẳng thức biến phân, giải hệ phương trình, cân bằng,.(xem [10,29,31] và các tài liệu tham chiếu ở đây) đều có thể đưa về việc giải bài toán chấp nhận lồi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau đây: N \ ∗ Tìm điểm x ∈ Ci , i=1 trong đó Ci , i = 1, 2,. , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert hoặc không gian Banach.

Bài toán CFP được Cauchy đề cập từ giữa thế kỉ 19 và nhận được sự quan tâm và nghiên cứu rộng rãi trong hai thập niên gần đây cả về lý thuyết và thuật toán. Đây là một bài toán cơ bản và khá tổng quát của toán giải tích, toán học tính toán và toán ứng dụng. Bài toán chấp nhận lồi đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học từ những năm 30 của thế kỷ trước, nhưng cho đến nay, đây vẫn là một vấn đề thời sự, do tính lý thú về mặt toán học và đặc biệt là phạm vi ứng dụng rất rộng rãi của bài toán trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, lý thuyết tối ưu, kĩ thuật y sinh và lý thuyết xấp xỉ [29]. Một số tác giả tiêu biểu về hướng nghiên cứu này là Bauschke và Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15],.

Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi đóng cho trước. Trong trường hợp này thì kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sử dụng phép chiếu lên các tập lồi với một số phương pháp như phương pháp chiếu xoay vòng (tuần tự), phương pháp chiếu lặp song song (đồng thời), phương pháp lặp khối,.Tuy nhiên, trong thực tế thì thường các tập Ci đều không được cho dưới dạng 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tường minh, theo nghĩa là hình chiếu lên các tập này không thể tính được một cách trực tiếp. Thay vào đó các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là tập nghiệm của các bài toán nào đó, chẳng hạn như bài toán hệ phương trình, bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ,.Trong luận án này chúng tôi gọi các bài toán chấp nhận lồi trong các trường hợp đó là bài toán chấp nhận lồi suy rộng (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Thuật toán giải các bài toán chấp nhận lồi suy rộng đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu [3,5,6,22,25,26,33,39,41,42,44,46,46,54,59–62,72].

Bài toán chấp nhận lồi suy rộng là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận tách suy rộng, tức là tìm một điểm thuộc tập nghiệm của một bài toán chấp nhận lồi suy rộng trong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặn thuộc tập nghiệm của một bài toán chấp nhận lồi suy rộng khác trong không gian ảnh. Một trường hợp riêng rất quan trọng của bài toán chấp nhận tách suy rộng là bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP - Multiple-Sets Split Feasibility Problem), tức là tìm một điểm thuộc giao của một họ các tập lồi đóng trong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặn thuộc giao của một họ các tập lồi đóng trong không gian ảnh. MSSFP được mô tả như sau: N \ M \ ∗ ∗ Tìm điểm x ∈ Ci sao cho Ax ∈ Qj i=1 j=1 trong đó Ci , i = 1, 2,. , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian H1 (không gian Hilbert hoặc không gian Banach) và Qj , j = 1, 2,.

, M là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian H2 (không gian Hilbert hoặc không gian Banach), A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp được giới thiệu đầu tiên bởi Censor và các đồng nghiệp [28]. Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp có nhiều ứng dụng thực tế trong y học xạ trị [24,28] và trong các bài toán khôi phục ảnh và xử lý tín hiệu [16]. Trong những năm gần đây MSSFP đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem [8, 14, 74, 75] và các tài liệu tham chiếu ở đây).

10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nội dung và Bố cục của luận án Luận án nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực.