Luận án tiến sĩ phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. NGUYỄN MINH TUẤN PGS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS.

Nguyễn Hữu Điển. Các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà nội, tháng 3 năm 2019 Nghiên cứu sinh Lại Tiến Minh 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với các thầy PGS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS.

Nguyễn Hữu Điển. Các thầy đã tận tình dạy bảo, chỉ dẫn tôi học toán, nghiên cứu toán trong suốt những năm làm nghiên cứu sinh. Tôi gửi lời tri ân đặc biệt của mình tới thầy PGS. Nguyễn Minh Tuấn, người đã luôn yêu thương, quan tâm đến tôi, cho tôi những cơ hội, dạy tôi những bài học trong nghiên cứu cũng như trong cuộc sống.

Chính thầy đã cho tôi niềm tin và động lực vượt qua những trở ngại, những lúc khủng hoảng tưởng chừng như không thể vượt qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Nguyễn Văn Mậu các thầy đã luôn quan tâm, động viên, cho tôi những gợi ý, dìu dắt tôi trong quá trình nghiên cứu.

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô và các anh chị đồng nghiệp trong Seminar của môn toán học tính toán; Seminar Giải tích - Đại số , Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tại đây tôi đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý quý báu. Những nhận xét, góp ý của các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp đã giúp tôi có những ý tưởng để hoàn thiện các bài báo và luận án của mình. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn những ý kiến đóng góp giá trị của PGS.

Hà Tiến Ngoạn, PGS. Nguyễn Xuân Thảo, TS. Nguyễn Văn Ngọc, TS. Nguyễn Trung Hiếu, TS.

Vũ Nhật Huy đã giúp tôi hoàn thành luận án một cách thuận lợi. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Viện Đào tạo Mở, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Thọ, TS.

Bùi Thị Giang, TS. Nguyễn Thanh Hồng, ThS. Quản Thái Hà, ThS. Các anh chị em đã cho tôi những lời khuyên hữu ích, động viên giúp tôi vượt qua giai đoạn khó khăn nhất của quá trình nghiên cứu.

Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị em đã và đang 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com học tập nghiên cứu tại khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội về những trao đổi, hỗ trợ trong nghiên cứu. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ tấm lòng biết ơn sâu sắc đến người bố đã khuất, mẹ, anh chị em trong gia đình; đặc biệt là mẹ tôi - người đã động viên, cảm thông và chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt những năm tháng vừa qua để tôi có thể hoàn thành luận án này. Lại Tiến Minh 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG KÍ HIỆU N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên Q Tập hợp các số hữu tỷ R Tập hợp các số thực z Liên hợp của số phức z i Đơn vị ảo X×Y Tích đề các của hai tập hợp X và Y  d n Dn ∗ Đạo hàm cấp n (n ∈ N ), Dn = dt S Không gian Schwartz các hàm khả vi vô hạn trên R thỏa mãn supt∈R (1 + t2 )m | Dn f (t)| < ∞ (m = 0, 1, 2,. ) L p (R) Không gian các hàm khả tích Lebesgue cấp p ≥ 1 trên R R  1p k f kp Chuẩn trong L (R), k f k p = p p R | f ( t )| dt Tích vô hướng trong L2 (R), h f , gi = R f (t) g(t)dt R h f , gi C0 (R) Không gian các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng k.k ∞ Chuẩn trong C0 (R), k f k∞ = sup | f (t)| t ∈R ∞ l 2 (R) Không gian các dãy số {un } thỏa mãn ∑+ n=−∞ | un | < + ∞ 2 ∞ hun , vn i Tích vô hướng trong l 2 (R), hun , vn i = ∑+ −∞ un vn n 2d 2 Hn (t) Đa thức Hermite Hn (t) = (−1)n et e− t n dt 1 t2 d 2 ψn (t) Hàm Hermite ψn (t) = (−1) e 2 n e− t dt cas(t) Hàm Hartley cas(t) = cos t + sin t 1 − 1 t2 G(t) Hàm Gauss G(t) = √ e 2b2 b 2π u a 2 0 E A (t) Hàm chirp E A (t) = ei( 2b t + b t) fˆ(t) fˆ(t) = f (t)E A (t) rin (t) Tín hiệu vào rout (t) Tín hiệu ra 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT OLCT Biến đổi chính tắc tuyến tính bù LCT Biến đổi chính tắc tuyến tính FrFT Biến đổi Fourier phân thứ FT Biến đổi Fourier IFT Biến đổi Fourier ngược WDF Hàm phân phối Wigner CHTT Biến đổi dạng Hartley chính tắc 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.

Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài Rất nhiều bài toán trong xử lý tín hiệu được giải quyết nhờ các lọc, lấy mẫu và khôi phục tín hiệu. Lọc được sử dụng rộng rãi trong điện tử viễn thông, phát thanh, truyền hình, ghi âm, radar, hệ thống điều khiển, xử lý hình ảnh và đồ họa máy tính. Trong xử lý tín hiệu, lọc là một thiết bị hoặc một quá trình loại bỏ một số thành phần hoặc tính năng không mong muốn khỏi tín hiệu. Thông thường, điều này có nghĩa là loại bỏ một số tần số hoặc băng tần không mong muốn.

Lọc có thể được phân loại dựa trên các dạng băng tần khác nhau mô tả dải tần nào mà lọc thông qua (dải thông) và dải tần nào mà lọc từ chối (dải dừng). Lọc thông thường có thể thu được từ biến đổi Fourier Ψ FT và biến đổi Fourier ngược Ψ− 1 FT. Tín hiệu ra rout ( t ) được biểu diễn qua tín hiệu vào rin (t) như sau n o rout (t) = Ψ− FT 1 Ψ { r FT in ( t )}( u ) ( t ). Với sự phát triển của khoa học máy tính, có rất nhiều thuật toán được đưa ra để tính toán biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của tín hiệu, tiêu biểu là thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).

Ngoài ra, có một cách khác có thể thiết kế được lọc là dựa trên các phép chập thông thường. Tuy nhiên, lọc thông thường chỉ hiệu quả khi xử lý các tín hiệu mà có phân phối năng lượng không chồng lấp trong mặt phẳng pha. Lọc thông thường không hiệu quả với các tín hiệu mà nhiễu có dạng chirp tổng quát. Nhiễu này thường gặp trong các hệ quang học, hệ vi sóng, hệ ra đa và hệ âm thanh.

Điều này đòi hỏi phải có những lọc mà có thể xử lý được các tín hiệu dạng này. Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học công nghệ, việc nghiên cứu và phát triển lọc đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu. Với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết biến đổi tích phân và lý thuyết chập, đặc biệt là những ứng dụng phong phú của phép chập trong thực tiễn (xem [17, 28, 34, 51, 61, 63, 66]) đã có rất nhiều cách thiết kế lọc mới được đưa ra để xử lý các nhiễu dạng trên 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Các biến đổi tích phân có thể kể tới là biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi chính tắc tuyến tính bù, biến đổi Hartley phân thứ, biến đổi Hartley chính tắc, biến đổi Fresnel.

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, định lý lấy mẫu là cầu nối cơ bản giữa tín hiệu thời gian liên tục (thường được gọi là tín hiệu tương tự) và tín hiệu thời gian rời rạc (thường được gọi là tín hiệu số). Nó thiết lập một điều kiện đủ cho phép từ một chuỗi các mẫu riêng biệt thu được tất cả thông tin của tín hiệu thời gian liên tục của băng thông hữu hạn. Khôi phục tín hiệu ban đầu từ các mẫu hoặc đánh giá thông tin bị mất trong quá trình lấy mẫu là những câu hỏi cơ bản được giải quyết bằng cách lấy mẫu và nội suy. Lý thuyết lấy mẫu giúp chúng ta hiểu được các hiệu ứng của việc chia một hình ảnh hoặc dạng sóng thành các điểm riêng biệt.

Định lý lấy mẫu được phát hiện độc lập bởi nhóm các nhà khoa học Claude Shannon, Harry Nyquist và Ralph Hartley thuộc phòng thí nghiệm Bell của Hoa Kỳ; Edmund Taylor Whittaker của Đại học Edinburgh của Anh Quốc và Vladimir Kotelnikov thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Do đó, định lý này có rất nhiều tên gọi chẳng hạn định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon (xem [24]), định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon- Kotelnikov (xem [27]) hoặc định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon-Kotelnikov- Kramer (xem [27]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi là định lý lấy mẫu Shannon. Công thức lấy mẫu Shannon có hai phiên bản là phiên bản rời rạc và phiên bản liên tục.

Phiên bản rời rạc cho tín hiệu f (t) có dải tần bị chặn trên miền ζ là +∞ sin(ζt − kπ )   kπ f (t) = ∑ f ζ ζt − kπ. k =−∞ Định lý lấy mẫu Shannon chỉ áp dụng cho các tín hiệu có dải tần bị chặn, do vậy việc mở rộng định lý này cho các tín hiệu không có dải tần bị chặn là rất cần thiết. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết các biến đổi tích phân định lý lấy mẫu Shannon ngày nay đã được mở rộng và cải tiến.