Luận án tiến sĩ phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội-2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Lời cam đoan. 3 Danh mục các ký hiệu. Phép biến đổi Hartley 13 1.

Phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier trên Rd. Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn. Phép biến đổi Hartley.

Phép biến đổi Hartley trên Rd. Phép biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn. Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49 2. Định nghĩa và tính chất.

Nguyên lý bất định Heisenberg. Ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân 74 3. Giải phương trình vi phân. Giải phương trình vi phân thường.

Giải phương trình đạo hàm riêng. Giải phương trình tích phân. Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 86 3. Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 92 Kết luận.

103 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 104 Tài liệu tham khảo. 110 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU d : Số nguyên dương cho trước. N : tập hợp các số tự nhiên.

Z : tập hợp các số nguyên. α : đa chỉ số xác định bởi α = (α1 ,. , αd ) ∈ Nd , và ∂ |α| |α| = α1 + · · · + αd , Dxα :=. ∂xαd d xy : tích vô hướng của x và y, xác định bởi xy = x1 y1 + · · · + xd yd , x, y ∈ Rd , và |x|2 = x21 + · · · + x2d , xα = xα1 1.

xαd d S : không gian các hàm f khả vi vô hạn trên Rd thỏa mãn sup sup (1 + |x|2 )m |(Dxα f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2,. x∈Rd l2 (Z) : không gian các dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn X X |an |2 < +∞ với chuẩn kak = |an |2. n∈Z n∈Z c0 (Z) : không gian các dãy số bị chặn a = {an }n∈Z thỏa mãn lim an = 0 với chuẩn kak = sup |an |. |n|→∞ n∈Z 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.

cas(x) : hàm Hartley xác định bởi cas x = cos x + sin x [x] : hàm phần nguyên của x. 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải một phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương trình tích phân. Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của một dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình vi phân thường sau (xem [15]) d4 u du EI + k = W (x), −∞ < x < ∞.1) dx4 dx Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường,.

dẫn đến giải phương trình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47]) ∂ 2u 2 2∂ u −a = 0.2) ∂t2 ∂x2 Trong cơ học lượng tử, xung lượng của các hạt cơ bản được biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm sau (xem [1, 12]) Z ϕ(x) = K(x, y)ϕ(y)dy.3) Ω Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích phân do các vấn đề của khoa học và công nghệ đưa đến. Có rất nhiều hướng tiếp cận dựa trên nhiều lý thuyết toán học khác nhau trong việc giải quyết vấn đề trên như: chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm, sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, v. Trong số đó, việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải các phương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tận ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đến trước hết là biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiếp theo là biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau đó là các biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,.

Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết chập liên kết với các biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ XX. Tuy nhiên, cho đến trước những năm 50 của 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thế kỉ trước, không có nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phân được xây dựng. Cho đến khi những kết quả của Kakichev V. (1998) công bố (xem [31, 33]) về phương pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng thì một loạt các chập suy rộng mới liên kết với các biến đổi tích phân khác nhau ra đời.

Những năm gần đây, có khá nhiều bài báo và sách về các ứng dụng của các biến đổi tích phân, chập liên kết với các biến đổi tích phân được công bố (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]). Đáng chú ý là biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau (xem [15]): trước tiên, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trình đại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổi Fourier của hàm. Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thông qua biến đổi Fourier ngược. Thứ hai, biến đổi Fourier là nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm cơ bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau này.

Thứ ba, biến đổi Fourier của nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp một cách biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban đầu. Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trên Rd , Fourier, Fourier ngược và các biến đổi Hartley lần lượt được định nghĩa trong không gian L1 (Rd ) như sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]): Z 1 (Tc f )(x) := d f (y) cos(xy)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (Ts f )(x) := d f (y) sin(xy)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (F f )(x) := d f (y)e−ixy dy, (2π) 2 Rd Z 1 (F −1 f )(x) := d f (y)eixy dy, (0.4) (2π) 2 Rd Z 1 (H1 f )(x) := d f (y) cas(xy)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (H2 f )(x) := d f (y) cas(−xy)dy, (2π) 2 Rd trong đó, cas u := cos u + sin u. Theo công thức Euler thì các biến đổi Fourier, Fourier ngược và Hartley được biểu diễn tuyến tính qua hai biến 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com đổi Fourier cosine và Fourier sine trên Rd là F = Tc − iTs , F −1 = Tc + iTs , H1 = Tc + Ts , H2 = Tc − Ts. Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý tưởng xét các biến đổi tích phân Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C, gọi là các biến đổi tích phân dạng Fourier.

Trong số này, các biến đổi Hartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]). Khi tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartley nhanh hơn biến đổi Fourier vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức.2, thì với hàm nhận giá trị thực √  2π e−x nếu x > 0, f (x) =  0 nếu x < 0, nhưng ảnh Fourier của f là một hàm nhận giá trị phức 1 (F f )(x) = , 1 + ix trong khi các ảnh Hartley của f là các hàm nhận giá trị thực x+1 x−1 (H1 f )(x) = , (H2 f )(x) =. x2 + 1 x2 + 1 So với các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thì các biến đổi Hartley là khả nghịch trong khi các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine lại không khả nghịch. Trong cuốn sách về phép biến đổi tích phân của mình (xem [39]), Olejniczak K.

đã viết: "có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất của Hartley là một biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn đề truyền tải sóng điện thoại. Mặc dù biến đổi này bị lãng quên gần 40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷ qua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell - những người đã tạo ra lý thuyết hấp dẫn về đề tài này". 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích phân dạng Fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân". Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xây dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng Hermite và không có hàm trọng.

Sử dụng chúng để giải một số phương trình vi phân và tích phân trên miền vô hạn. Song song với các phương trình xác định trên miền vô hạn là các phương trình xác định trên miền hữu hạn. Do đó, luận án đưa ra hai biến đổi Hartley hữu hạn và xây dựng chập liên kết với các biến đổi này để giải các phương trình trên miền hữu hạn. Ngoài ra, luận án còn xét một biến đổi tích phân dạng Fourier mới Z 1 (T f )(x) = √ f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy, 2π R nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này và nguyên lý bất định Heisenberg.

Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân. Từ đó, tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân.