Luận án tiến sĩ một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân đại số phi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án này, dưới sự hướng dẫn của PGS. Vũ Hoàng Linh, là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Những kết quả viết chung với phó giáo sư Vũ Hoàng Linh và các cộng sự đã được đồng ý khi đưa vào luận án.

Hà nội, tháng 3 năm 2019 Nghiên cứu sinh Nguyễn Duy Trường 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS. Thầy là người đầu tiên dìu dắt và hướng dẫn tôi trên con đường nghiên cứu khoa học. Trong suốt quá trình làm luận án, Thầy luôn quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tôi và động viên tôi những lúc gặp khó khăn trong nghiên cứu. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý, những góp ý, hướng dẫn của Thầy, những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp, tôi đã hoàn thành đề tài của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và anh chị em trong Bộ môn Toán ứng dụng nói riêng và Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung. Những ý kiến quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ môn cũng như sự tạo điều kiện của khoa và của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị em trong khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Sĩ Quan Lục Quân 1 và Phòng Quản lý Học viên, Đoàn 871, Tổng Cục Chính Trị. Đơn vị đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác.

Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các anh chị em và các đồng nghiệp đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận án của mình. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia - Nafosted". Quỹ đã dành nhiều sự hỗ trợ hết sức quý báu giúp tôi có điều kiện tốt nhất để hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình. Cuối cùng, luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự động viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình.

Qua đây, tôi gửi lời cảm ơn tới vợ, con tôi, những người luôn cho tôi động lực, tiếng cười và tạo điều kiện thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu. Luận án này, và những gì tôi đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em và những người thân trong gia đình, với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất. 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang Lời cam đoan 2 Lời cảm ơn 3 Mục lục 4 Bảng kí hiệu 7 Bảng các chữ viết tắt 8 Mở đầu 9 1 Kiến thức chuẩn bị 18 1.1 Giới thiệu phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân đại số có chậm .1 Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số .2 Phương trình vi phân có chậm và phương trình vi phân đại số có chậm .3 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu .2 Phương pháp số cho phương trình vi phân thường .1 Các khái niệm cơ bản .2 Phương pháp Runge-Kutta .3 Phương pháp Runge-Kutta đầu ra liên tục .4 Phương pháp đa bước .5 Phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên tục cho phương trình vi phân có chậm .3 Phương pháp số cho phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện chỉ số 1 .1 Phương pháp Runge-Kutta .2 Phương pháp đa bước. 42 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.4 Một số kết quả bổ trợ khác.

42 2 Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số 44 2.1 Một lớp phương trình vi phân đại số không có tính lạ .1 Phân tích cấu trúc của bài toán .2 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu .2 Các phương pháp Runge-Kutta .1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện .2 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta ẩn .3 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta .4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta .5 Sự tích lũy của sai số .6 Thử nghiệm số .3 Các phương pháp đa bước .1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước ẩn và bán hiện .2 Sự tích lũy của sai số .3 Sự hội tụ của phương pháp đa bước .4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp đa bước .5 Thử nghiệm số .4 So sánh các phương pháp. 91 3 Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số có chậm 96 3.1 Phân loại bài toán và phân tích sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu .2 Phương pháp đa bước kết hợp với nội suy .1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước kết hợp với nội suy104 3.2 Sự hội tụ của phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 106 3.3 Phương pháp Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục .1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục .2 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục .4 Thử nghiệm số. 118 Kết luận 127 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 128 Tài liệu tham khảo 129 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG KÍ HIỆU N Tập hợp các số tự nhiên R Tập hợp các số thực C Tập hợp các số phức I Đoạn [0, T ] ⊂ R Rm , (Cm ) Không gian véc tơ m chiều trên R, (C) Rm1 ,m2 Không gian ma trận thực cỡ m1 × m2 C p (I, Rm ) Không gian các hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p C p (I, Rm1 ,m2 ) Không gian các hàm ma trận cỡ m1 × m2 khả vi liên tục cấp p Ik Ma trận đơn vị kích thước k × k rank A Hạng của ma trận A ⊗ Tích Kronecker Const Một hằng số nào đó O(hk ) Vô cùng bé cùng bậc với hk 2 Kết thúc chứng minh 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT BTGTĐ Bài toán giá trị ban đầu OĐTĐ Ổn định tuyệt đối PTVPC Phương trình vi phân có chậm PTVPĐS Phương trình vi phân đại số PTVPĐSC Phương trình vi phân đại số có chậm PTVPT Phương trình vi phân thường AM Adams-Moulton RK Runge-Kutta ERK Runge-Kutta hiện (Explicit Runge-Kutta) IRK Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta) CRK Runge-Kutta liên tục (Continuous Runge-Kutta) NCE Thác triển liên tục tự nhiên (Natural Continuous Extension) HEEL Euler bán hiện (Half-explicit Euler) HERK Runge-Kutta bán hiện (Half-explicit Runge-Kutta) HERK-CE Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục (Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension) HERK-NCE Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên (Half-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension) HEMID-NCE Trung điểm bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên (Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extension) HELM Đa bước bán hiện (Half-explicit Linear Multistep) HEOL Một chân bán hiện (Half-explicit One-Leg) HEMID Trung điểm bán hiện (Half-Explicit Midpoint) HEAB Adams-Bashforth bán hiện (Half-Explicit Adams-Bashforth) IMID Trung điểm ẩn (Implicit Midpoint) TRAP Hình thang (Trapezoidal) BDF Công thức vi phân lùi (Backward Differentiation Formula) 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Rất nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khoa học kĩ thuật như cơ học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v. được mô hình hóa dưới dạng một hệ hỗn hợp các phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số.

Các hệ đó được gọi là phương trình vi phân đại số (PTVPĐS). PTVPĐS có dạng tổng quát F (t, x, x 0 ) = 0, (0.1) trong đó t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , n, m ∈ N. Nếu ma trận Jacobian của F theo x 0 không suy biến thì từ phương trình (0.1) ta có thể giải được x 0 theo t, x, do đó chúng ta thu được một phương trình vi phân thường (PTVPT). Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian của F theo x 0 có thể suy biến.

Khi đó chúng ta có một PTVPĐS, còn gọi là phương trình vi phân ẩn hay phương trình vi phân suy biến.2] Bài toán mô tả sự tiêu hao điện năng trong một mạch điện gồm một điện trở và một tụ điện (xem Hình 0. Chúng ta sẽ ký hiệu xi , i = 1, 2, 3 là điện năng tại mỗi nút của mạch điện, U (t) là hiệu điện thế, R, C lần lượt là trở kháng của điện trở và điện dung của tụ điện.1: Mạch điện Dựa vào các định luật bảo toàn, ta thu được PTVPĐS có dạng C ( x 0 3 − x 0 2 ) + ( x1 − x2 )/R = 0, x1 − x3 − U (t) = 0, (0. 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trong trường hợp đơn giản chọn α(t) là hằng số hoặc bằng 0. Đây là một PTVPĐS có chỉ số vi phân bằng 1.3] Xét một con lắc đơn có khối lượng m và độ dài l trong Hình 0.2: Con lắc đơn Đặt hệ trục tọa độ Oxy, khi đó sự dao động của con lắc được mô tả bởi hệ mx 00 + 2λx = 0, my00 + 2λy + mg = 0, (0.3) x2 + y2 − l 2 = 0, trong đó hằng số g là gia tốc trọng trường, ( x, y) là tọa độ của con lắc trong hệ trục tọa độ Oxy và tham số Lagrange λ đại diện cho sức căng của dây.

Bằng cách đặt z1 = x 0 , z2 = y0 , hệ (0.3) trở thành x 0 − z1 = 0, y0 − z2 = 0, mz10 + 2λx = 0, (0. Đây chính là một PTVPĐS chỉ số 3 với các biến x, y, z1 , z2 , λ. Một số ví dụ khác như phương trình Van der Pol hay bài toán bán rời rạc phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes, v. cũng dẫn đến các PTVPĐS.

Khi nghiên cứu các PTVPT cũng như các PTVPĐS, chúng ta thường quan tâm tới hai bài toán là bài toán giá trị ban đầu (BTGTĐ) và bài toán giá trị biên. 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ở đây chúng tôi tập trung nghiên cứu BTGTĐ của PTVPĐS, khi đó nghiệm của bài toán (0.