Luận án tiến sĩ một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tr

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Dũng MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. Nguyễn Duy Tiến Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Lê Văn Dũng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.

Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của Thầy trong học tập và vì tình thương của Thầy dành cho tác giả trong cuộc sống. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS. Nguyễn Hữu Dư, GS.

Nguyễn Văn Hữu, TS. Nguyễn Văn Hùng, TS. Nguyễn Hắc Hải, PGS. Hồ Đăng Phúc, PGS.

Phạm Ngọc Phúc, PGS. Nguyễn Văn Quảng, PGS. Trần Hùng Thao, GS. Đặng Hùng Thắng, PGS.

TS Phan Viết Thư, TS. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy và bạn Lê Văn Thành về sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 2008 tới nay. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô ở Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, các đồng nghiệp Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, nơi tác giả đang công tác và giảng dạy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Lê Văn Dũng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận án 4 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Kì vọng có điều kiện .2 Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên .3 Không gian Banach p-khả trơn.

Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số .2 Luật mạnh số lớn. Hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 44 3.1 Khả tích đều .2 Định lí hội tụ theo trung bình .3 Luật yếu số lớn Feller .4 Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều. 62 Kết luận và kiến nghị 66 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực E Không gian Banach thực và khả ly k·k Chuẩn trên không gian Banach E B(E) σ -đại số Borel trên không gian Banach E (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ Card(A) Số phần tử của tập hợp A I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A a := b a được gán bằng b (k, l) ≺ (m, n) k ≤ m và l ≤ n m∨n max{m, n} m∧n min{m, n} log(x) logarit cơ số e của x log+ (x) max{log(x), 0} [x] Số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.

Lí do chọn đề tài 1. Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất. Ngày nay, luật số lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.

Ngày nay vấn đề này vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu. Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi. Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó khăn nên các định lí giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn.

Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kol- mogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.

Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của giải tích và xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz và Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob,. cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.

Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất. Tổng quan và cấu trúc luận án 7. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê.

Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E. Borel phát hiện.

Kết quả này của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {bn } là dãy các hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞. Khi đó, nếu ∞ X DXn <∞ n=1 b2n thì Sn − ESn → 0 h., bn 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trong đó Sn = X1 + X2 +. Sau khi Day [10] đưa ra khái niệm không gian Banach p-khả trơn, đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn như: Woyczyński, Hoffmann- Jørgensen, Pisier,.

Assouad [2] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach thực khả ly là không gian p-khả trơn dựa trên dãy biến ngẫu nhiên martingale. Hoffmann-Jørgensen và Pisier [22] đã đưa ra được tính chất đặc trưng của không gian p-khả trơn về luật số lớn Kolmogorov. Trong những năm gần đây nhiều tác giả vẫn tiếp tục nghiên cứu các định lí giới hạn trên không gian p-khả trơn như: Nguyễn Văn Quảng [33, 34, 35], Volodin, A. và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.

Việc nghiên cứu các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cũng là một hướng để thu được luật yếu số lớn. Các tác giả thu được nhiều kết quả về hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên trong những năm gần đây phải kể đến là Adler, A. Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Việc mở rộng khái niệm martingale sang mảng nhiều chiều gặp phải khó khăn trong xây dựng quan hệ thứ tự.

Mặc dù vậy, cũng đã có một số tác giả xây dựng khái niệm martingale đối với mảng nhiều chiều. Trong luận án này thay vì xây dựng khái niệm martingale cho mảng 2 chiều, chúng tôi đã xây dựng mảng σ -đại số ngay trên mảng biến ngẫu nhiên đã cho để sao cho vẫn thu được bất đẳng thức cực đại đối với mảng nhiều chiều tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều. Vì đây là bất đẳng thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn. Việc mở rộng cho trường hợp d (d > 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng 2 chiều nên trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều.

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội, 10/2010), và đã được đăng ở các tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong ba chương.