Luận án tiến sĩ điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH DIỆU HẰNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Ngành: Toán giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả đưa vào luận án. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Đinh Diệu Hằng iii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghệ thông tin và truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Khoa Khoa học cơ bản, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các nhà khoa học, các thầy, cô giáo trong Hội đồng các cấp đã đóng góp ý kiến để tác giả hoàn thiện Luận án hoàn chỉnh nhất. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn thành luận án tiến sĩ của mình. Tác giả Đinh Diệu Hằng iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv iii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vii iv Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.

Bài toán cân bằng. Tách các tập lồi không tương giao và dưới vi phân hàm lồi. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot và dưới vi phân Dini .1 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot .2 Đạo hàm Dini và dưới vi phân Dini .3 Một số kết quả bổ trợ. Phần trong tựa tương đối.

Hàm lồi suy rộng. 18 2 Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ 20 2. Điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke .1 Nghiệm hữu hiệu yếu .2 Nghiệm hữu hiệu toàn cục .3 Nghiệm hữu hiệu. Điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel – Penot .1 Nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu toàn cục .2 Nghiệm hữu hiệu.

34 3 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ 39 3. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ không có ràng buộc 40 3.1 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán (VEP) .2 Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (VEP). Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc .1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của (CVEP) .2 Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (CVEP). Áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ .1 Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ .2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ.

52 4 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng 55 4. Điều kiện cần tối ưu Fritz John .1 Phát biểu bài toán .2 Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho bài toán (VEPEC) 57 4.3 Điều kiện cần Fritz John với điều kiện chính quy (VEPEC– RC). Điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker .1 Các điều kiện chính quy (VEPEC–CQ1) và (VEPEC– CQ2) .2 Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEPEC) .3 Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho trường hợp Fx (.) khả vi chặt. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu .1 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của (VEPEC).

Áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ .1 Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) .2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ (VOPEC). 70 Kết luận chung 74 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 76 Tài liệu tham khảo 77 iv Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt (V EP EC) Bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng (V V IEC) Bài toán bất đẳng thức vectơ với ràng buộc cân bằng (V OP EC) Bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân bằng (V EP EC − CQ1) Điều kiện chính quy cho bài toán (VEPEC) (V V IEC − CQ1) Điều kiện chính quy cho bài toán (VVIEC) (V OP EC − CQ1) Điều kiện chính quy cho bài toán (VOPEC) (V EP ), (V EP1 ) Bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc (CV EP ), (CV EP1 ) Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (V OP ), (V OP1 ) Bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc (CV OP ), (CV OP1 ) Bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (V V I), (V V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc (CV V I), (CV V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc t., tương ứng X∗ Không gian tôpô đối ngẫu của X hξ, xi Giá trị của phiếm hàm ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X f 0 (x̄; v) Đạo hàm theo phương Clarke của f tại x̄ theo phương v ∂f (x̄) Dưới vi phân Clarke của f tại x̄ f ♦ (x̄; v) Đạo hàm Michel - Penot của f tại x̄ theo phương v ∂ M P f (x̄) Dưới vi phân Michel - Penot của f tại x̄ ∂D f (x̄) Dưới vi phân Dini của f tại x̄ f + (x; v) Đạo hàm Dini trên của f tại x̄ theo phương v f − (x; v) Đạo hàm Dini dưới của f tại x̄ theo phương v Df (x; v) Đạo hàm Dini của f tại x̄ theo phương v vii viii df (x; v) Đạo hàm Hadamard của f tại x̄ theo phương v ∇G f (x̄) Đạo hàm Gâteaux của f tại x̄ theo phương v ∇f (x̄) Đạo hàm Fréchet của f tại x̄ T (C; x) Nón tiếp tuyến Clarke của C tại x̄ TC (x) Nón tiếp liên của C tại x̄ N (C; x) Nón pháp tuyến Clarke của C tại x̄ ∈ C NC (x) Nón pháp tuyến của C tại x̄ ∈ C: cực của nón tiếp liên D∗ Nón đỗi ngẫu của D D0 Nón cực của D T Phép chuyển vị T∗ Toán tử liên hợp của toán tử T intC Phần trong của C riC Phần trong tương đối của C qriC Phần trong tựa tương đối của C coC Bao lồi của C conecoA Nón sinh ra bởi bao lồi của A linA Bao tuyến tính của A. 1 Mở đầu Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đã phát triển từ những giai đoạn sớm nhất của toán học. Khởi đầu là những nghiên cứu về các bài toán của phép tính biến phân cổ điển với các điều kiện tối ưu được mô tả dưới dạng phương trình Euler.

Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết các bài toán điều khiển tối ưu và qui hoạch toán học đã cho các kết quả dưới dạng nguyên lý cực đại Pontryagin và qui tắc nhân tử Lagrange. Milyutin đã đưa ra lý thuyết các điều kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm. Lược đồ tổng quát của Dubovitsky – Milyutin bao hàm được tất cả các bài toán quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu và biến phân cổ điển. Sau công trình của Dubovitsky – Milyutin, nhiều kết quả về các điều kiện cần tối ưu tổng quát khác ra đời như các kết quả của R.

Bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong kinh tế, kỹ thuật, giao thông vận tải và một số ngành khoa học xã hội. Các điều kiện tối ưu không trơn đã và đang phát triển mạnh mẽ dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich (xem [13], [14], [20], [23], [30]–[32], [37]–[41], [44], [45], [67], [68]). Jeyakumar – Luc đã tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân và đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng (convexificator) đóng, không lồi cho hàm vô hướng trong [29] và Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ trong [28]. Từ đó, các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng và Jacobian xấp xỉ đã phát triển mạnh (xem chẳng hạn [28], [29], [38], [39], [41], và các tài liệu tham khảo ở đó).

Một số nhà toán học Việt Nam đã có những đóng góp đáng kể trong việc nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán bất đẳng 1 2 thức biến phân như các giáo sư Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyên Năng Tâm và nhiều giáo sư khác (xem chẳng hạn [28, 29], [33], [36], [40, 41], [47], [56], [59, 60], [65] ). Bài toán cân bằng vectơ được Blum – Oettli [9] đưa ra năm 1994. Lớp các bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [1], [2], [9], [12], [15], [19], [22]–[25], [40]–[42], [46], [52], [53], [61]–[64]).

Giannessi – Mastroeni – Pllegrini [19] đã dẫn điều kiện đủ tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều, Morgan – Romaniello [46] thiết lập các điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ trong không gian Hilbert. Các điều kiện tối ưu cho ε – nghiệm của bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian Banach được Yang – Zeng [64] thiết lập. Các điều kiện tối ưu trong [61], [63] được thiết lập bằng cách chứng minh sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Gong ([23] - [25]) đã dẫn các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục cho bài toán cân bằng vectơ không có ràng buộc và các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc với các hàm khả vi.