Luận án: Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI - NĂM 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Bường và PGS. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tác giả luận án Nguyễn Dương Nguyễn iii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Nguyễn Bường và PGS. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy.

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình, những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn này.

Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu và viết tắt vi Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9 1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan. Một số tính chất trong không gian Banach.

Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 20 1. Phương pháp Newton-Kantorovich. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên. Phương pháp điểm gần kề.

Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu 32 2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach.

Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert 64 3. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số của toán tử giải khả tổng.

Ví dụ số minh họa. 79 Kết luận chung 83 Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo 84 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 Một số ký hiệu và viết tắt Rn không gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert E∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach E θE phần tử không của không gian E 2E tập tất cả các tập con của không gian E hx, x∗ i giá trị của phần tử x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E R tập hợp các số thực ∅ tập rỗng A\B hiệu của tập hợp A và tập hợp B inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M S1 (0) mặt cầu đơn vị trong không gian E BE hình cầu đơn vị trong không gian E Br (x0 ) hình cầu tâm x0 và bán kính r ∀x với mọi x D(A) miền xác định của ánh xạ A R(A) miền ảnh của ánh xạ A A−1 ánh xạ ngược của ánh xạ A A∗ ánh xạ liên hợp của ánh xạ A I ánh xạ đơn vị Jk toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk ZerA tập không điểm của ánh xạ A Lp (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p < ∞) lp không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞) vii l1 không gian các dãy số khả tổng bậc 1 l∞ không gian các dãy số bị chặn Wpm (Ω) không gian Sobolev lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn } n→∞ αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu đến x Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T M bao đóng của tập hợp M ρE mêtric của không gian mêtric E int(C) phần trong của tập hợp C ∂ m x(t) đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1 , t2 , ., tn ) ∂tα1 1 ∂tα2 2 · · · ∂tαnn Dom(f ) miền hữu hiệu của f PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C ∂f dưới vi phân của phiếm hàm lồi f arg min f tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f A×B tích đề các của hai tập hợp A và B A≡B A trùng B x≈y x xấp xỉ y Mở đầu Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không e và f ∈ E. gian mêtric E e Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh.

Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc .) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V. Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.

Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu 2 nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài toán đặt không chỉnh như Đ. hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên như Ng. Nếu Ee là không gian Banach với chuẩn k.k thì trong một số trường hợp của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x+ k2 , (0.2) cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0, (0.3) và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm của (0. Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dự đoán.

Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Điều đó dẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp. Vì vậy, để giải bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov.

Tư tưởng của phương pháp này do F. Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏa mãn điều kiện bức. Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E ∗ , xét bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho hT (u0 ) − ω, v − u0 i ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E.4) Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω.

Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0. Browder đã xét 3 bất đẳng thức biến phân sau: hTα (uα ) − ωα , v − uα i ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0 , với v0 là phần tử bất kỳ trong E ∗. Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh về phần tử u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: hM u0 − v0 , v − u0 i ≥ 0, v ∈ Aω .