Luận án bài toán parabolic ngược
Luận án nghiên cứu chuyên sâu về bài toán parabolic ngược. Phân tích giải pháp, ổn định, duy nhất & xây dựng thuật toán. Ứng dụng trong khoa học kỹ thuật.
Năm xuất bản
Số trang
141
Thời gian đọc
22 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- Hiểu về Bài toán Ngược và Phương trình Parabolic
- Số trang:
- 141 trang
- Trường:
- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
- Chuyên ngành:
- Toán Giải tích
- Tác giả:
- Lê Minh Triết
- Năm:
- 2014
Tóm tắt nội dung luận án
I.Hiểu về Bài toán Ngược và Phương trình Parabolic
Phần này cung cấp cái nhìn tổng quan về lĩnh vực bài toán ngược, phân biệt rõ ràng với bài toán thuận. Giới thiệu khái niệm bài toán không chỉnh theo định nghĩa Hadamard, đặc biệt trong ngữ cảnh của phương trình parabolic ngược. Phân tích những thách thức và hậu quả của tính không chỉnh, nhấn mạnh sự cần thiết của các phương pháp chỉnh hóa. Đặt nền tảng lý thuyết vững chắc cho các nghiên cứu tiếp theo về phương trình đạo hàm riêng loại parabolic.
1.1. Định nghĩa và phân loại bài toán ngược
Bài toán ngược là một ngành khoa học quan trọng, tập trung vào việc xác định các yếu tố ẩn như nguyên nhân, tham số, hoặc điều kiện ban đầu từ dữ liệu quan sát. Khác với bài toán thuận, nơi kết quả được dự đoán từ các nguyên nhân đã biết, bài toán ngược đòi hỏi quá trình suy luận ngược. Các dạng bài toán ngược phổ biến bao gồm xác định hệ số, xác định nguồn, hoặc xác định biên, tất cả đều cần dữ liệu đo lường. Sự hiểu biết sâu sắc về các định nghĩa này là cơ sở để tiếp cận các vấn đề phức tạp.
1.2. Khó khăn của bài toán không chỉnh
Nhiều bài toán ngược gặp phải tính không chỉnh, một đặc tính được định nghĩa bởi Hadamard. Điều này có nghĩa là nghiệm có thể không tồn tại, không duy nhất, hoặc không liên tục phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào. Ngay cả những sai số nhỏ trong quá trình đo đạc cũng có thể dẫn đến sự sai lệch lớn trong kết quả nghiệm. Tình trạng này gây ra những thách thức đáng kể trong việc tìm kiếm lời giải đáng tin cậy, đòi hỏi các phương pháp chỉnh hóa bài toán ngược để đảm bảo sự ổn định của nghiệm xấp xỉ.
1.3. Cơ sở lý thuyết của phương trình parabolic
Phương trình parabolic là một loại phương trình đạo hàm riêng mô tả nhiều hiện tượng vật lý quan trọng như truyền nhiệt và khuếch tán. Để nghiên cứu bài toán parabolic ngược, cần có kiến thức vững chắc về các không gian hàm cơ bản, định lý ánh xạ co, tích chập, và biến đổi Fourier. Đây là nền tảng giải tích số thiết yếu, cung cấp công cụ toán học để phân tích, biến đổi và chỉnh hóa các bài toán phức tạp, đặc biệt là các bài toán không chỉnh trong điều kiện thực tế.
II.Chỉnh hóa Bài toán Parabolic Ngược Miền Không Chặn
Phần này đi sâu vào các kỹ thuật chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian, đặc biệt trong các miền không bị chặn. Tập trung phát triển các phương pháp chỉnh hóa bài toán ngược hiệu quả để xử lý tính không chỉnh, đảm bảo nghiệm ổn định ngay cả khi dữ liệu có nhiễu. Các trường hợp từ thuần nhất đến phi tuyến đều được xem xét, mở rộng phạm vi ứng dụng của lý thuyết.
2.1. Phân tích bài toán ngược thời gian thuần nhất
Bài toán parabolic ngược thời gian thuần nhất được phân tích kỹ lưỡng trong miền không bị chặn. Nghiên cứu tập trung vào các trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc thời gian, bao gồm cả khi hệ số là chính xác và khi bị nhiễu. Các ví dụ minh họa cụ thể được đưa ra để chứng minh hiệu quả của các phương pháp chỉnh hóa. Việc này giúp xác định chính xác điều kiện ban đầu từ dữ liệu ở thời điểm cuối, một vấn đề cốt lõi của bài toán ngược.
2.2. Xử lý bài toán không thuần nhất và nhiễu dữ liệu
Khi phương trình parabolic có thêm thành phần nguồn, bài toán ngược thời gian trở nên phức tạp hơn. Các phương pháp chỉnh hóa bài toán ngược được áp dụng để giải quyết vấn đề này. Đặc biệt, nghiên cứu xem xét cách xử lý tác động của nhiễu trong dữ liệu đầu vào, đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Các kết quả chỉnh hóa lý thuyết và ví dụ minh họa chứng minh tính khả thi, cung cấp công cụ hiệu quả cho việc xác định nguồn.
2.3. Chỉnh hóa bài toán parabolic phi tuyến trong miền không bị chặn
Đối với phương trình parabolic phi tuyến, thách thức lớn hơn do mối quan hệ phức tạp giữa các biến. Tuy nhiên, các kỹ thuật chỉnh hóa bài toán ngược vẫn được phát triển để tìm nghiệm xấp xỉ ổn định. Nghiên cứu định nghĩa rõ ràng nghiệm chỉnh hóa, trình bày các kết quả liên quan và cung cấp ví dụ thực tế. Điều này mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của các phương pháp chỉnh hóa trong việc giải quyết các bài toán đạo hàm riêng phi tuyến.
III.Giải pháp Chỉnh hóa Bài toán Parabolic Ngược Miền Chặn
Phần này tiếp tục khám phá các phương pháp chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian, nhưng trọng tâm chuyển sang miền bị chặn. Trong các miền này, điều kiện biên đóng vai trò quan trọng trong việc định hình lời giải. Mục tiêu là phát triển các kỹ thuật chỉnh hóa mạnh mẽ, có khả năng xử lý cả phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và phi tuyến trong bối cảnh miền bị chặn, nơi các điều kiện vật lý cụ thể được áp dụng.
3.1. Chỉnh hóa bài toán thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời gian
Bài toán parabolic ngược thời gian thuần nhất trong miền bị chặn được nghiên cứu chi tiết. Tương tự như miền không bị chặn, phân tích bao gồm cả các trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và bị nhiễu, đều phụ thuộc vào thời gian. Các ví dụ minh họa cụ thể được trình bày để làm rõ tính ứng dụng của các phương pháp chỉnh hóa. Việc này góp phần vào việc xác định hệ số hoặc điều kiện ban đầu, một yếu tố quan trọng trong nhiều ứng dụng kỹ thuật và khoa học.
3.2. Đánh giá nghiệm cho phương trình parabolic không thuần nhất
Khi xét phương trình parabolic không thuần nhất trong miền bị chặn, việc tìm kiếm nghiệm ổn định trở thành một thách thức lớn. Nghiên cứu đưa ra định nghĩa nghiệm chỉnh hóa và các kết quả lý thuyết quan trọng. Các ví dụ minh họa cụ thể làm sáng tỏ cách giải quyết vấn đề nhiễu dữ liệu trong bài toán. Điều này rất cần thiết cho các bài toán xác định nguồn mà không thể đo lường trực tiếp, đảm bảo tính chính xác của các mô hình toán học.
3.3. Phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến
Phương trình parabolic phi tuyến trong miền bị chặn đặt ra những khó khăn riêng do tính phức tạp của chúng. Luận án đề xuất các phương pháp chỉnh hóa bài toán ngược phù hợp, đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Định nghĩa nghiệm chỉnh hóa và các kết quả lý thuyết được trình bày rõ ràng. Các ví dụ minh họa củng cố hiệu quả của phương pháp, cho thấy khả năng xử lý các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực ứng dụng, từ vật lý đến sinh học.
IV.Bài toán Parabolic Ngược Phi Tuyến Hệ số Không Gian Thời Gian
Phần này đào sâu vào một trong những khía cạnh phức tạp nhất của bài toán parabolic ngược, tập trung vào phương trình phi tuyến với hệ số phụ thuộc đồng thời vào không gian và thời gian. Việc này đòi hỏi các phương pháp biến đổi và chỉnh hóa nâng cao để đảm bảo tính khả thi và ổn định của lời giải. Nghiên cứu cung cấp các công cụ cần thiết để giải quyết các bài toán có tính chất động và không đồng nhất.
4.1. Biến đổi và tiếp cận bài toán phức tạp
Các bài toán ngược phi tuyến với hệ số phụ thuộc không gian và thời gian đòi hỏi một chiến lược tiếp cận đặc biệt và phức tạp. Việc biến đổi bài toán về một dạng có thể giải quyết được là bước đầu tiên và quan trọng. Điều này thường bao gồm việc sử dụng các phép biến đổi toán học tiên tiến để đơn giản hóa cấu trúc của phương trình đạo hàm riêng. Mục tiêu là tạo ra một mô hình khả thi cho việc tìm kiếm nghiệm chỉnh hóa.
4.2. Giải pháp chỉnh hóa cho hệ số phụ thuộc không gian thời gian
Khi hệ số của phương trình parabolic phụ thuộc vào cả không gian và thời gian, việc chỉnh hóa bài toán ngược trở nên khó khăn hơn đáng kể. Luận án trình bày các phương pháp chỉnh hóa chuyên biệt được phát triển cho những trường hợp này. Các phương pháp này định nghĩa nghiệm chỉnh hóa và cung cấp các kết quả lý thuyết về sự ổn định của chúng, đặc biệt quan trọng khi đối mặt với dữ liệu nhiễu. Đây là bước tiến quan trọng trong giải tích số ứng dụng.
4.3. Kết quả và minh họa cho bài toán ngược phi tuyến
Nghiên cứu không chỉ dừng lại ở phát triển lý thuyết mà còn cung cấp các kết quả cụ thể và minh họa thực tế. Các ví dụ minh họa đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh hiệu quả của các giải pháp chỉnh hóa. Điều này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về tính ứng dụng của lý thuyết trong các tình huống thực tế, đặc biệt là trong xác định hệ số và các tham số ẩn khác, củng cố tính thực tiễn của phương pháp số.
V.Ứng dụng của Bài toán Ngược và Giải Pháp Chỉnh hóa
Các bài toán ngược, đặc biệt là bài toán parabolic ngược, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Phần này tổng kết vai trò không thể thiếu của các phương pháp chỉnh hóa trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Đồng thời, thảo luận về tiềm năng của giải tích số và phương pháp số trong việc triển khai và mở rộng các giải pháp này, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc chuyển đổi từ lý thuyết sang ứng dụng.
5.1. Vai trò của chỉnh hóa trong bài toán thực tế
Tính không chỉnh vốn có của bài toán ngược đòi hỏi các phương pháp chỉnh hóa mạnh mẽ để thu được kết quả đáng tin cậy. Trong các ứng dụng thực tế như truyền nhiệt, xác định nguồn ô nhiễm môi trường, hoặc tạo ảnh y tế, việc áp dụng chỉnh hóa giúp biến dữ liệu nhiễu và không đầy đủ thành thông tin hữu ích và có giá trị. Chỉnh hóa bài toán ngược là cầu nối thiết yếu giữa lý thuyết toán học và các giải pháp thực tiễn, tối ưu hóa quá trình ra quyết định.
5.2. Giải tích số và phương pháp số cho bài toán ngược
Để triển khai các phương pháp chỉnh hóa hiệu quả, giải tích số và các phương pháp số đóng vai trò then chốt. Việc sử dụng các thuật toán số giúp xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng và bài toán không chỉnh với độ chính xác cao. Nghiên cứu và phát triển về phương pháp số cung cấp các công cụ tính toán mạnh mẽ cho việc xác định hệ số, xác định biên, và các tham số ẩn khác, mở ra khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tế.
5.3. Tiềm năng nghiên cứu và phát triển bài toán parabolic
Lĩnh vực bài toán parabolic ngược vẫn còn nhiều tiềm năng phát triển và mở rộng trong tương lai. Các nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc áp dụng các phương pháp chỉnh hóa cho các loại phương trình đạo hàm riêng khác hoặc phát triển các kỹ thuật chỉnh hóa mới hiệu quả hơn. Việc này không chỉ góp phần vào việc giải quyết nhiều vấn đề phức tạp trong khoa học và công nghệ mà còn thúc đẩy sự tiến bộ của giải tích số và ứng dụng thực tế của bài toán ngược.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (141 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP. HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN LEÂ MINH TRIEÁT BAØI TOAÙN PARABOLIC NGÖÔÏC LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH TOAÙN GIAÛI TÍCH Maõ soá: 62 46 01 01 NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC GS. ÑAËNG ÑÖÙC TROÏNG VAØ PGS. PHAÏM HOAØNG QUAÂN Tp.
Hoà Chí Minh - 2014 1 Muïc luïc Moät soá kí hieäu ñöôïc duøng trong luaän aùn 4 Lôøi noùi ñaàu 5 1 Moät soá keát quaû söû duïng trong luaän aùn 16 1.1 Caùc khoâng gian haøm cô baûn .2 Ñònh lí aùnh xaï co .3 Tích chaäp vaø bieán ñoåi Fourier .4 Khai trieån sin Fourier .5 Moät soá baát ñaúng thöùc. 19 2 Chænh hoùa baøi toaùn parabolic ngöôïc thôøi gian vôùi heä soá phuï thuoäc thôøi gian trong mieàn khoâng bò chaën 28 2.1 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic thuaàn nhaát .1 Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät chính xaùc vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .2 Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät bò nhieãu vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .3 Ví duï minh hoïa tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät chính xaùc vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .4 Ví duï minh hoïa tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät bò nhieãu vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .2 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic khoâng thuaàn nhaát .1 Nghieäm chænh hoùa .2 Keát quaû chænh hoùa .3 Ví duï minh hoïa .3 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic phi tuyeán .1 Nghieäm chænh hoùa .2 Keát quaû chænh hoùa .3 Ví duï minh hoïa. 67 3 Chænh hoùa baøi toaùn parabolic ngöôïc thôøi gian vôùi heä soá phuï thuoäc thôøi gian trong mieàn bò chaën 71 3.1 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic thuaàn nhaát .1 Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät chính xaùc vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .2 Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät bò nhieãu vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .3 Ví duï minh hoïa tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät chính xaùc vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .4 Ví duï minh hoïa tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät bò nhieãu vaø phuï thuoäc vaøo thôøi gian .2 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic khoâng thuaàn nhaát .1 Nghieäm chænh hoùa .2 Keát quaû chænh hoùa .3 Ví duï minh hoïa .3 Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic phi tuyeán .1 Nghieäm chænh hoùa .2 Keát quaû chænh hoùa .3 Ví duï minh hoïa. 116 4 Chænh hoùa baøi toaùn parabolic ngöôïc thôøi gian phi tuyeán vôùi heä soá phuï thuoäc vaøo khoâng gian vaø thôøi gian 121 4.1 Bieán ñoåi baøi toaùn .2 Chænh hoùa baøi toaùn .1 Nghieäm chænh hoùa .2 Keát quaû chænh hoùa.
124 Keát luaän 135 Danh muïc coâng trình coâng boá cuûa taùc giaû 137 Taøi lieäu tham khaûo 138 5 Lôøi noùi ñaàu Hieän nay, baøi toaùn ngöôïc laø moät baøi toaùn coù nhieàu öùng duïng trong khoa hoïc vaø ñôøi soáng. Trong thöïc teá, chuùng ta coù raát nhieàu loaïi baøi toaùn ngöôïc nhö: baøi toaùn truyeàn nhieät ngöôïc, baøi toaùn taùn xaï ngöôïc, baøi toaùn bieân ngöôïc, baøi toaùn hình hoïc. Khi xeùt caùc baøi toaùn ngöôïc, ta coù theå chia laøm hai loaïi laø baøi toaùn chænh (well-posed problem) vaø baøi toaùn khoâng chænh (ill-posed problem) döïa vaøo ñònh nghóa cuûa Hadamard. Theo Hadamard, chuùng ta coù ñònh nghóa baøi toaùn chænh nhö sau: Vôùi X, Y laø caùc khoâng gian ñònh chuaån, K : X → Y laø moät aùnh xaï (tuyeán tính hoaëc phi tuyeán).
Phöông trình Kx = y ñöôïc goïi laø chænh neáu thoûa caùc tính chaát sau • Tính toàn taïi nghieäm: Vôùi moïi y ∈ Y toàn taïi (ít nhaát moät) x ∈ X sao cho Kx = y. • Tính duy nhaát nghieäm: Vôùi moïi y ∈ Y toàn taïi nhieàu nhaát moät x ∈ X sao cho Kx = y. • Tính oån ñònh nghieäm: Nghieäm x phuï thuoäc lieân tuïc vaøo y; nghóa laø, vôùi moïi daõy xn ∈ X sao cho Kxn → Kx thì ta suy ra xn → x. Moät phöông trình khoâng thoûa (ít nhaát) moät trong ba tính chaát treân ñöôïc goïi laø khoâng chænh.
Thöïc teá, tính chænh hay khoâng chænh cuûa moät baøi toaùn phuï thuoäc vaøo nhieàu yeáu toá ví duï nhö döõ lieäu cuûa baøi toaùn (xem ví duï 1.14 trang 10 trong [24]) hoaëc khoâng gian nghieäm cuûa baøi toaùn (xem ví duï 1. Khi moät baøi toaùn laø khoâng chænh, töø moät sai soá nhoû trong döõ lieäu do ño ñaïc coù theå daãn ñeán söï khaùc bieät raát lôùn cuûa nghieäm baøi toaùn neáu nghieäm toàn taïi. Chænh hoùa baøi toaùn naøy laø ñöa ra nghieäm xaáp xæ oån ñònh cho noù. Ñaây laø moät coâng vieäc caàn thieát.
Moät trong nhöõng baøi toaùn khoâng chænh ñöôïc khaûo saùt khaù nhieàu laø baøi toaùn parabolic ngöôïc thôøi gian hay coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò cuoái. Toång 6 quaùt, chuùng ta coù baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic nhaèm tìm haøm u : [0, T ] → H thoûa maõn ut + A(t)u = f (t, u(t)), t ∈ (0, T ), (1) u(T ) = g, (2) trong ñoù A(t) laø toaùn töû tuyeán tính, xaùc ñònh döông trong khoâng gian H thích hôïp, f laø moät haøm cho tröôùc vaø g laø döõ lieäu cuûa baøi toaùn. Chuùng ta coù theå khaùi quaùt laïi lòch söû nghieân cöùu baøi toaùn (1)-(2) nhaèm ñöa ra höôùng nghieân cöùu môùi vaø choïn phöông phaùp nghieân cöùu hieäu quaû aùp duïng vaøo baøi toaùn. Baét ñaàu töø naêm 1967, Lattes vaø Lion [62] ñaõ khaûo saùt baøi toaùn (1)-(2) trong tröôøng hôïp thuaàn nhaát (f = 0) vaø toaùn töû A(t) ≡ A khoâng phuï thuoäc vaøo thôøi gian ut + Au = 0, t ∈ (0, T ), (3) u(T ) = g, (4) vôùi toaùn töû A tuyeán tính, töï lieân hôïp, döông trong khoâng gian Hilbert H ñoàng thôøi ñeà xuaát phöông phaùp quasi-reversibility (QR) ñeå chænh hoùa baøi toaùn.
YÙ töôûng chính cuûa phöông phaùp QR laø theâm moät löôïng chænh hoùa thích hôïp vaøo phöông trình chính cuûa baøi toaùn. Phöông phaùp QR sau naøy ñöôïc aùp duïng trong nhieàu baøi baùo coù khaùc bieät so vôùi phöông phaùp QR laàn ñaàu ñöôïc Lattes vaø Lions söû duïng nhöng yù töôûng ñöôïc baét nguoàn töø phieân baûn goác neân caùc taùc giaû trong baøi baùo [9, 22] goïi phöông phaùp ñöôïc söû duïng laø phöông phaùp QR coù ñieàu chænh. Trong taøi lieäu [62], Lattes vaø Lions ñaõ söû duïng löôïng chænh hoùa A − αA2 vôùi α = α(ε) laø tham soá chænh hoùa phuï thuoäc vaøo sai soá döõ lieäu ε sao cho α(ε) → 0 khi ε → 0 ñeå thay theá cho toaùn töû A ban ñaàu. Töø ñoù, caùc taùc giaû xeùt baøi toaùn chænh hoùa nhö sau 0 vα (t) + Avα (t) − αA2 vα (t) = 0, t ∈ (0, T ), (5) vα (T ) = g, (6) 7 vôùi A laø toaùn töû töï lieân hôïp trong khoâng gian Hilbert H.
Tieáp theo, caùc taùc giaû xeùt baøi toaùn 0 uα (t) + Auα (t) = 0, t ∈ (0, T ), (7) uα (0) = vα (0), (8) vaø söû duïng uα (t) laøm nghieäm xaáp xæ cho nghieäm cuûa baøi toaùn (3)-(4). Tuy nhieân, caùc taùc giaû chæ khaúng ñònh uα (T ) hoäi tuï veà g khi α → 0 maø khoâng ñeà caäp ñeán toác ñoä hoäi tuï cuûa caùc uα (t) vôùi t < T. Sau ñoù, vaøo naêm 1973 Miller [30] ñaõ toång quaùt hoùa phöông phaùp QR baèng moät phöông phaùp maø taùc giaû goïi laø phöông phaùp stabilized quasi-reversibility (SQR) ñeå chænh hoùa baøi toaùn (3)-(4) trong tröôøng hôïp thuaàn nhaát. Cuï theå, Miller khaûo saùt baøi toaùn chænh hoùa nhö sau 0 vα (t) + fα (A)vα (t) = 0, t ∈ (0, T ), (9) vα (T ) = g, (10) vôùi α = α(ε) laø tham soá chænh hoùa phuï thuoäc vaøo sai soá döõ lieäu ε vaø fα (A) thoûa moät soá ñieàu kieän cho tröôùc sao cho coù theå söû duïng laøm löôïng chænh hoùa toái öu cho toaùn töû A.
Hôn nöõa, neáu toàn taïi moät nghieäm chính xaùc u cuûa baøi toaùn (3)-(4) thì nghieäm xaáp xæ uα vaø caùc ñaïo haøm caáp m cuûa 8 (m) nghieäm xaáp xæ laø uα laàn löôït hoäi tuï ñeàu veà nghieäm chính xaùc u vaø ñaïo haøm u(m) cuûa baøi toaùn giaù trò cuoái (3)-(4). Ñaây laø ñieåm caûi tieán hôn so vôùi keát quaû trong taøi lieäu [62] cuûa Lattes vaø Lions. Cuøng khaûo saùt baøi toaùn (3)-(4), Clark vaø Oppenheimer [11], Denche vaø Bessila [13] ñaõ söû duïng phöông phaùp quasi-boundary value (QBV) ñeå chænh hoùa baøi toaùn. YÙ töôûng chính cuûa phöông phaùp QBV laø theâm moät löôïng chænh hoùa thích hôïp vaøo ñieàu kieän bieân theo thôøi gian.
YÙ töôûng naøy ñöôïc Showalter ñeà xuaát vaøo naêm 1985 trong [43]. Cuï theå, trong [11] Clark vaø Oppenheimer ñaõ söû duïng ñieàu kieän uε (T ) + εuε (0) = g. Töø ñoù, caùc taùc giaû keát hôïp phöông trình chính ban ñaàu vôùi ñieàu kieän bieân theo thôøi gian ñaõ ñöôïc thay theá ñeå coù ñöôïc baøi toaùn chænh hoùa vaø thu ñöôïc nghieäm chænh hoùa oån ñònh cho baøi toaùn ban ñaàu. Töø naêm 1998 ñeán nay, nhieàu taùc giaû ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn parabolic ngöôïc phi tuyeán (3)-(4) baèng caùc phöông phaùp khaùc nhau nhö Alekseeva vôùi phöông phaùp QR trong baøi baùo [6], Ñaëng Ñöùc Troïng vaø Nguyeãn Huy Tuaán vôùi phöông phaùp SQR trong baøi baùo [48] vaø phöông phaùp chaët cuït chuoãi trong [51], Nguyeãn Huy Tuaán vaø ñoàng taùc giaû vôùi phöông phaùp chænh hoùa tröïc tieáp treân daïng nghieäm trong [52], Phan Thaønh Nam vôùi phöông phaùp chaët cuït chuoãi trong [31] vaø Nguyeãn Huy Tuaán vôùi phöông phaùp QR coù ñieàu chænh trong [56].
Vôùi toaùn töû A(t) = −∆, baøi toaùn (1)-(2) trôû thaønh baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình nhieät vôùi heä soá haèng nhö sau ut (x, t) − uxx (x, t) = f (x, t, u), t ∈ [0, T ), (13) u(x, T ) = g(x), (14) laø moät baøi toaùn ñaõ ñöôïc khaûo saùt nhieàu gaàn ñaây. 9 Trong mieàn khoâng bò chaën R, baøi toaùn (13)-(14) trong tröôøng hôïp nguoàn nhieät thuaàn nhaát f = 0 ñaõ ñöôïc nghieân cöùu baèng nhieàu phöông phaùp khaùc nhau bôûi caùc taùc giaû nhö Fu vaø caùc ñoàng taùc giaû [15] vôùi phöông phaùp chaët cuït tích phaân, Qian vaø caùc ñoàng taùc giaû [37] vôùi phöông phaùp chænh hoùa tröïc tieáp treân daïng nghieäm, Ñinh Nho Haøo vaø ñoàng taùc giaû [19] vôùi phöông phaùp mollification, Rashidinia vaø ñoàng taùc giaû [40] vôùi phöông phaùp chaët cuït tích phaân, Wang vaø caùc ñoàng taùc giaû [59] vôùi phöông phaùp chænh hoùa Shannon Wavelet,. Toång quaùt hôn, baøi toaùn (13)-(14) trong tröôøng hôïp nguoàn nhieät phi tuyeán ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi caùc taùc giaû nhö Nguyeãn Huy Tuaán vaø ñoàng taùc giaû ñaõ vôùi phöông phaùp chaët cuït tích phaân trong baøi baùo [53] vaø phöông phaùp QBV coù ñieàu chænh trong baøi baùo [54], Phaïm Hoaøng Quaân vaø ñoàng taùc giaû trong baøi baùo [36].
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Lê Minh Triết (2014). Luận án bài toán parabolic ngược [Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh]. LuanAn.net. https://luanan.net/tai-lieu-khac/luan-an-bai-toan-parabolic-nguoc
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án nghiên cứu chuyên sâu về bài toán parabolic ngược. Phân tích giải pháp, ổn định, duy nhất & xây dựng thuật toán. Ứng dụng trong khoa học kỹ thuật.
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Năm bảo vệ: 2014.
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Danh mục: Tài liệu khác.
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" có bao nhiêu trang?
Luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" có 141 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Luận án bài toán parabolic ngược" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.