K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5 phân lá luận án tiến sĩa

1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Dương Quang Hòa 2 Mục lục Trang Lời cam đoan.

2 Danh mục các ký hiệu. 5 Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 1. Các MD-nhóm và MD-đại số. Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo.

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm. 22 Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 2. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm. 31 Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.

C*-đại số Connes liên kết với phân lá. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử. K-lý thuyết đối với phân lá. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá.

59 KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN. 78 Danh mục các công trình của tác giả. 80 Tài liệu tham khảo. 85 3 Danh mục các ký hiệu : Tổng trực tiếp , : Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài ■ : Kết thúc một phép chứng minh Ad : Biểu diễn phụ hợp ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp AutG : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G A Aã G : Tích xiên của A và G bởi tác động ,  : Trường số phức, trường số thực C X : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X C0 X : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng  C0  2 : Đơn vị hoá của C*-đại số C0  2 Cc H : Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức Cc H , 1/ 2 : Không gian các nửa mật độ trên H C (V , F ) : C*-đại số Connes liên kết với phân lá (V , F ) Cc (G , A) : Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A End(G) : Không gian các đồng cấu trên G exp : Ánh xạ mũ exp Ext ( B, J ) : KK nhóm của Kasparov G Lie G : Đại số Lie của nhóm Lie G 4 G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G GL1 C S 1 : Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc C S 1 GL02 C S 1 : exp Mat2 C S 1 – thành phần liên thông đường của ma trận đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc C S 1 Index A : (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số A Ki ( A) : K i nhóm của C*-đại số A K : C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được L2 H x , 12 : Không gian các nửa mật độ trên H x bình phương khả tích Matn A : Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A P2 C S 2 : P M2 C S2 – tập các phần tử chiếu (projection) của C*- đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc C S 2 Sn : Mặt cầu đơn vị n-chiều TV : Phân thớ tiếp xúc của V V,F : Không gian phân lá.

V /F : Không gian các lá của phân lá V , F F : Quỹ đạo Kirillov qua F 1/ 2 x : Phân thớ các nửa mật độ trên V x V F G : FX | X G : Độ đo hoành (đối với phân lá) 0 , 1 : Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số. Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý.

Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Năm 1975, theo một gợi ý của A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực .

Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau: 6 Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số. Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều.

Như một áp dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*- đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3. Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm). Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó.

Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử. Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử.

7 Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi k n thì G còn được gọi là một MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số).

Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn -đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán  n , đại số Lie affine thực Lie(Aff  ) và đại số Lie affine phức Lie(Aff  ).

Việt đã dùng phương pháp  K-hàm tử để đặc trưng C* Aff  của phủ phổ dụng Aff đối với nhóm affine phức Aff . Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở.

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD- nhóm đã xét. Đối với một phân lá V , F tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V thường có tôpô F 8 không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường).

Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay C0 V bởi C * V , F , mà từ đó Connes định nghĩa: F Ki V Ki C * V , F , i 0,1. F Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*- đại số Connes C * V , F liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá).

Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước. Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?”.

Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3. Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”.