Luận án tiến sĩ tác động của toán tử steenrod trên các biến hoá modula và ứng dụ

MỤC LỤC Mở đầu §1. CHUONG 0 PHAN CHUAN BI Ly thuyét bat bién modula Đồng cấu đ} Pạ và cơ sở Milnor của đại số Steenrod Địa phương hoá đại số H*(B(Z/p)") va tich tenxơ suy rộng CHƯƠNG 1 ĐỊNH LÝ DOI NGAU VA TAC DONG CUA TOAN TU STEENROD TREN CAC BAT BIEN MODULA Định lý đối ngẫu Khai triển các định thức theo các bất biến Dickson và Mùi Tính PTUy¿¡ và PMa„. Tính PrV:¿¡ và PQn„¿ Tính 6£FV¿¿¡ với £(R) = 9 và p= 2 Tính S:Q„„„ với £(R) = 2 và p= 2 CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ LŨY THỪA TOÀN THỂ §10. Toán tử lũy thừa toàn thể 6Š §11.

Toán tử lũy thừa toàn thể lặp %„ Ls 14 20 24 29 33 36 38 45 49 CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ LAMBDA VÀ LÝ THUYẾT BẤT BIẾN §12. Đại số lambda §13.Á-môđun vi phân §14. Đối ngẫu của đại số lambda §15. A-médun vi phanI+M.

Định lý giá trị thặng dư KẾT LUẬN TAI LIEU THAM KHAO. 58 59 69 75 79 82 83 MỞ ĐẦU Từ khi xuất hiện công cụ dãy phổ Adams vào những năm 1950, việc nghiên cứu các nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu dẫn đến một bài toán đại số là tính toán tường minh Ext(2/ p,2/p), trong đó p là một số nguyên tố và .4(p) là đại số Steenrod mod p. Để nghiên cứu bài toán này, nhiều tác giả đã xây dựng các phức dây chuyền trong phạm trù các. Một trong những phức dây chuyền như thế là đại số A(p) (gọi là đại số lambda mod p) được xây dựng bởi sáu tác giả Bous8eld, Curtis, Kan, Quillen, Rector và Schlesinger [2] vào năm 1966.

Trong những năm gần đây, lý thuyết bất biến modula đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán nói trên. Ta có thể thấy điều đó qua các công trình của Singer [34], [35], [36], Li-Singer [12], Adams-Gunawardena-MIller [1], Lannes-Zarati [11]. Đặc biệt khi p = 2, dùng các bất biến modula, Singer [35] xây dựng đối đại số vi phân '+ ma H,(I'+) & Tor? (Z/2,Z/2). Tuy nhiên, do một số hạn chế về công cụ nên các kết quả tương tự cho trường hợp p > 2 vẫn chưa được giải quyết.

Lý thuyết bất biến modula của nhóm tuyến tính tổng quát GL„ = GI(n,Z/p), do Dickson đề xướng, là một ngành đại số thuần túy và đã phát triển mạnh mẽ vào những năm đầu thế kỷ này. Tuy nhiên phải chờ đến những năm bảy mươi sau khi Mùi [7] phát triển thêm và áp dụng nó để nghiên cứu các đại số đối đồng điều của các nhóm đối xứng thì lý thuyết này mới trở thành công cụ của Tôpô - Đại số. Trong vòng 1ð năm lại đây, lý thuyết bất biến modula được ứng dụng một cách hữu hiệu trong việc nghiên cứu đối đồng điều của nhóm, các toán tử đồng điều và đối đồng điều, phân tích ổn định các không gian phân loại ., qua các công 3 trình của Madsen-Milgram [15], Hung [22], Mui [8], [9], [10], Mitchell-Priddy [20], Mitchell [19], Minh [32], Lomonaco [13], Hwng-Peterson [25]. Trong các ứng dụng của lý thuyết bất biến modula mà đặc biệt là ứng dụng của nó trong lý thuyết đồng luân, một vấn đề mà hầu hết các tác giả đều quan tâm là tính toán tường mỉnh tác động của các toán tử Steenrod-MIilnor StS? (5 = (s1,.

,rm) là các dấy số nguyên không âm) trên các bất biến Dickson Qn,,, 0 < s < n va cdc bất biến Mùi Moye, Ui+1, Vira (xem §1). Đây là một bài toán có mức độ phức tạp cao nhưng công cụ được sử dụng thiếu hữu hiệu, thông thường chỉ có công thức Cartan và một số công thức quen biết khác, do đó việc tính toán mắc phải nhiều khó khăn và các kết quả đạt được còn ít ỏi. Chẳng hạn, khi Š = Ú, ï = (z), việc tính toán S)Q„,„; và S‡)W,+; đã được thực hiện trong một thời gian dài và bởi nhiều tác giả như Smith-Switzer [36], Wilkerson [40], Campbell [3], Hải-Hưng [21], Singer [36], Hung [23], Hung-Minh [26]. Trong luận án này, chúng tôi đề nghị một phương pháp mới, được gọ: '+ phương pháp đối ngẫu, để xác định tác động của các toán tử Steenrod-Milnor trên các bất biến Dickson và Mùi.

Áp dụng phương pháp đó, chúng tôi tính toán tường minh tac d6ng cua cdc todn tit Steenrod P™ = St”) trén Qn,s, Mas, Un41, Vers với p > 2 và tac déng cua St) trén Qn, va Vig với p = 2. Các kết qua nay được ứng dụng để xây dựng đại số lambda theo ngôn ngữ lý thuyết bất biến với plẻ. Đóng góp của chúng tôi trong luận án bao gồm những kết quả được trình bày dưới đây. Chứng minh một định lý về tính đối ngẫu giữa S‡5(ă$ ,Q1-®) và St" (U8, Vic) véi các độ dai 0(6) < #(R) = k và (8!) < Ẩ(EU) =n, 0= 0,1.

Theo định lý này, việc xác định S:5#(I#° ,Q1~%), với /(S) < &(R) = k tương duong véi xdc dinh StS? (UL, Viz") voi É(8!) < UR’) =n. Để tính toán StSF(M ,Q1-2) khi độ dài của S9, R nhỏ, œ tùy ý, chúng tôi áp dụng định lý đối ngẫu chuyển về bài toán dễ hơn là tính SŠ›# (UP.V} 7) với k nhỏ, $’, R' tùy ý và ngược lại. Tính toán tường minh tác động của các toán tử Steenrod P” trén Mas, Qns, Ur+i, Vexi VOi p > 2. Tác động của PT trên Qn, va Ve41 da được xác định hoàn toàn bởi Hưng-Minh [26] nhưng bằng phương pháp khác.

Tính toán tường minh tác động của S2) trên Qa„s và Vi+¡ với p = 2. Các kết quả này bao hàm các kết quả của Hải-Hưng [21], Hưng [23] như là các trường hợp riêng. Ta biết rằng, khi p = 2, Singer khảo sát đại số I„ gồm tất cả các bất biến của GL„ trên địa phương hoá của H*(B(Z/2)";Z/2) băng cách khả nghịch các phần tử có số chiều bằng 1 và với mỗi ,4(2)-môđun M, (khái niệm môđun được hiểu là môẩun trái) , Singer xA4y dung A(2)-médun vi phan T+ M = @n>0 SOM, trong đó I‡ là một đại số con của I„. Theo quan điểm của chúng tôi, phương pháp xây dựng này có một số hạn chế mà đã dẫn đến nhiều khó khăn trong tính toán.

Cụ thể là: ~ Cấu trúc .4(2)-môđun trên [TA không tường minh. Tác động của A(2) trên Iÿ‡ @ M không phải là tác động đường chéo. - Để xây dựng vi phân trên TM, Singer đã sử dụng quan hệ Adem mà vốn là quan hệ khó tính toán trong đại số Steenrod. Về ý tưởng, các kết quả trong trường hợp p > 2 là tương tự như trường hợp p=2.

Chúng tôi cũng khảo sát đại số I„ gồm các bất biến của nhóm ŒGE„ trên địa phương hoá của H*(B(Z/p)";Z/p) bang cach kha nghich cdc phan tir có số chiều bằng 2 và Iÿ là một đại số con của F„. Tuy nhiên, để khắc phục các khó khăn đã nêu trên, chúng tôi xây dựng toán tử lũy thừa toàn thể %„ : M — T„êM, trong đó Ô là tích tenxơ suy rộng của Li-Singer [12], AM là .Á(p)-môđun tùy ý. Vận dụng các kết quả đã nói ở 1) - 3), chúng tôi thu được các kết quả sau. Với n,a,t,ơ,e là các số nguyên, n > 0, < ¿ < a, ø,e = 0,1 tồn tại Jn/4rtiớie' C Tỷ sao cho BoP Sez = a; đang aalSn(B 4 S), e=0,1 0<t<a với mọi z € M.

Ở đây Ø là toán tử Bockstein, P“ là toán tử Steenrod va tác động của .(p) trên Pạ@M là tác động đường chéo. Kết quả này đóng vai trò quyết định trong việc khắc phục các hạn chế trong trường hợp p = 2 mà Singer đã mắc phải.1 và quan hệ giữa các bất biến của Dickson và Mùi thay cho quan hệ Adem của .Á(p), chúng tôi chứng tỏ rằng 4. Có một cấu trúc đối đại số vi phân trên I = @n>oφ sao cho [Ƒ' % A(p)*.(p)-môđun vi phân. Như là hệ quả của 4.2 chúng tôi có 4.

Ký hiệu Tỷ 9„(M) là Z/p-môđun con của Pa©Ä sinh bởi tất các phần tử +ySa(z) với mọi y € I và z € M. Như vậy, vấn đề mô tả đại số lambda theo ngôn ngữ lý thuyết bất biến với p là số nguyên tố lẻ đã được giải quyết triệt để. Vấn đề mở còn lại là xác định tác déng cha StS” trén Myjs, Quis, User va Vegi khi 0(R) > 3 và 0(R) =2, p > 2. Chúng tôi hy vọng rằng các kết quả và các kỹ thuật đã được sử dụng trong luận án còn có thể phát triển thêm nhằm góp phần vào việc giải quyết vấn đề này.

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-PTS Nguyễn Hữu Việt Hưng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Giáo Sư về sự hướng 6 dẫn tận tình, nghiêm khắc trong khoa học và những mối quan tâm đặc biệt trong cuộc sống. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Huỳnh Mùi, người đã thường xuyên dộng viên, giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu cho công việc của tác giả từ những ngày tác giả còn học tập tại Trường ĐHSP Hà nội 1, trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh và đặc biệt là cho bản luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Tổng hợp Hà nội và trường Đại học Sư phạm Quy nhơn đã tạo điều kiện tốt cho tác giả làm nghiên cứu sinh trong thời gian qua.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp gần xa đã giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh. Xin cảm tạ trung tâm CAMICE Hà nội và phòng máy tính Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Quy nhơn đã giành cho tác giả nhiều ưu ái trong thời gian chuẩn bị bản luận án này. Xin cảm ơn Kim Phụng cùng với những người thân thương trong gia đình tôi đã gánh vác mọi khó khăn trong cuộc sống, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, nghiên cứu và yên tâm hoàn thành luận án. Hà nội, tháng 12 năm 1993 Nguyễn Sum CHƯƠNG 0 PHẦN CHUẨN BỊ Để thuận tiện cho việc theo dõi, trong chương này chúng tôi xác định một số ký hiệu dùng trong luận án và nhắc lại một số kết quả đã biết về lý thuyết bất biến modula cổ điển và các kết quả của Madsen-Milgram [15], Mui [7], [8], [10] về việc dẫn xuất cơ sở Milnor của đại số Steenrod từ các bất biến này.

Chúng “tôi cũng nhắc lại các kết quả về các bất biến của các nhóm tuyến tính trên địa phương hoá đại số đối đồng điều của của các pnhóm aben sơ cấp. Lý thuyết bất biến modula. Cho p là một số nguyên tố. Ký hiệu GL„ = GL(n, Z/p) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường Z/p.

Với mỗi số nguyên đ, 1 < d< p— 1, ta đặt SL? = {w €GLp; (detw)* = 1}.