Luận án tiến sĩ một số vấn đề trong lí thuyết mở rộng hệ động lực luận án pts to

Các quá trình tiển định hữu hạn chiểu trong một hệ thông cô lập thường được mô tỉ bởi các phưởng trình ôtônôm có dạng : x = f(x),x EM (1) trong đó M là một đa tạn khẩ vi n chiểu nào đó, f:M —» KP”. Phưởng trình (1) là cách viết địa phưổng của mệt đổi tượng toàn cục - trưởng vectở trên M, tức là nhát cắt X:iMH — TH của phan thé tiép xtc (TM,p,M). VGi mot s& gid thiét (bdo ddm si tén tai, duy nhất và kéo dài nghiệm của phưởng trình vi phan), trưởng vectỏ nầy sinh ra một dòng pha trên M, tức là nhóm một tham sẽ các phép biến đổi nism M, t e@f; của không qian pha. Dòng pha lại xác định một phân tờ, tức là sự phân hoạch f1 thánh các quỹ đạo của dòng (M,ïl) và cho ta bức tranh pha của hệ.

Môi liên hệ giữa một phưởng trình ôtônôm vi dòng pha và phân tỷ tưởng ng cho phép sử dụng nhiều phưởng pháp và kết quả của các ngãnh toán học khác như tôpô, hình học, v.trong việc nghiên ci các tính chất định tính của hệ. Dé lã nội dung của lý thuyết hệ động lực. Khởi đầu bởi các nhà toán học Poincaré, M. Lyapunov ti cudi thế kỷ trưổc, trong thế kỷ nãy, lý thuyết hệ động lực đã phát triển mạnh mẽ trong các công trình của nhiều nhà toán học, trong đó có D.

và thu được nhiều kết quả đẹp đế, trở thành một lý thuyết độc lập, tưởng đôi hoàn chỉnh trong việc mô tả các đặc trưng định tính của phưởng trình ôtônôm. Tuy nhiên, trong lý thuyết cũng nhứ các ứng dụng , ta thưởng gặn hồn các phưởng trình. không Ôtônôm dạng : RÑ =F(wyt), »„eœMH, tefF (2) Q đay, do vế phẩi không bất biến đôi vi các dịch chuyển của biến t nên nghiệm của phưởng trình (2) không xác định trên M cả phân tồ cũng như nhóm các phép biến đổi. Điểu nay gây khó khăn cho việc áp dụng các phưởng pháp nghiên cứu của hệ động lực cho trường hợp không Sténdm.

Để khắc phục điểu này, một trong các hưởng có hiệu quá là tiếp cận phưởng trình không ôtônôm theo quan điểm mỡ rộng hệ động lực - một phưởng hướng bất đẩu hình thành rõ nét từ những nam 60. Chang han, xét hệt X = g(x;y) (3) y = fly) trong đó y < B, (xay) eH vôi B và H là hai đa tạp khẩ vi nào. Có thể xem (3) như mô hình một hệ vật lý, trang đó x m6 tả trạng thái bên trong của một đôi tưởng nàầo đó đang được nghiên cứu, còn y hiểu thị trạng thái của môi trường xung quanh. Sẽ có hệ (3) nếu giả thiết môi trường chịu sự tác động của các định luật trong tự nhiên trường không thay đổi theo thi gian, còn ảnh hưởng trở lại của đôi tưởng nghiên cứu vổi môi trưởng xung quanh lã rất nhỏ, có thể bỏ qua được.

Ta cũng đi đến hệ (5) nếu xét hệ động lực trong một lân cận ông M của một đa tạp hất hiến B nào đó của hệ này. Theo ngôn ngữ toàn cục, ta có một phân thd trẻn (M,p,E) và hai trưởng vectở X: N —› TM và Y:B — TB thỏa man p„(X(m)) = Y(p(m)), VmeHM. Trong tọa độ địa phưởng, trưởng vectở X được biểu diến băng hệ (5), còn trưởng Y - bởi phương trình thứ hai của hệ. Biả sử (H,I) và (B,o) là các dòng pha tưởng ứng vỡi các trưởng X và Y.

Khi đó, ánh xạ p:M —» B 1a đồng cấu dòng (M,I) lên (E,o) tức 1a: p(TÏ(m)) = ø'(p(m) Vmen, tefŒ và ta nói dòng (M,I) lã mở rộng của dòng (B,ø)} Chú ý răng nếu y=ply, >t) 1A nghiệm của phưởng trình thứ hai của (5) thỏa mấn điểu kiện ban đẩu: ely, »O)=¥, thì phuéng trình thứ nhất có dạng: x= g(x⁄„ø@(y st)) = F(x,t) tức là ta nhận được phưởng trình vi phan dang (2). Các phưởng trình tuyến tính thuẩn nhất vỡi hệ sở hiến thiên thưởng xuất hiện như phưởng trình trong biến phân: Đôi vai phưởng trình (1), giả sử x là điểm tùy ý trên H, ký hiệu x(t) là nghiệm xuất phát từ Xe tức là x(O) = x. Phưởng trình trang biến phần của (1) dọc theo nghiệm x(t) có dạng: -—(t)£ , ger. ao see ð đây A, = (te) = $2 Grey) Tx Khi đó hệ cho ta một mỡ rộng dòng, một trường hộp riêng của (5).

te II D> I tt» £ (4) x eM, & e€ R" xa 1 ~ x Ngoài các phưởng trình vi phân, một sẽ 18p rất rộng các phưởng trình tích phân, phưởng trình đại sẽ và một sẽ phưởng trình loại khác cũng gắn bó chặt chế vi khái niệm mỡ rộng hệ động lực (xem chăng hạn, [16]). Vì vậy, lý thuyết này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong các năm gan day (xem nhẩn tài liệu tham khẩo của [171). Bản luận án này nhăm góp phẩn nghiên cứu một số khía cạnh của lý thuyết tổng quát về mở rộng hệ động lực. Nội dung luận án được chia thành 3 chưởng.

- Chuéng I trinh bay một sẽ khái niệm và kết quá đã biết sẽ được dùng trực tiếp trong các chưng sau. - Chưởng II để cập dến vectở đặc trưng của mở rộng tuyến tính. Như ta đã biết, đôi vi các hệ ví phân, lý thuyết sẽ mũ đặc trưng [211 đóng vai trò rất quan trọng trơng việc nghiên cứu các tính chất tiệm cận của nghiệm, đặc biệt trong các vân đề ổn định. Trong [21 đã trình bầy lý thuyết vectở đặc trưng - dạng tổng quát của sẽ mũ đặc trưng - cho phép giải quyết một sd trường hộp tổi hạn khi lý thuyết sẽ mũ đặc trưng tỏ ra còn chưa đủ tính tế.

Millionshikov đã định nghĩa và nghiên cứu các tính chất của số mũ đặc trưng của một ho các tự dăng câu của phân thổ vectở. Phát triển ý tưởng của các tác gid trên, trong chưởng II củỏa luận án này sẽ xây dựng vectở đặc trưng của mở rộng tuyến tính và nghiên cứu tính chất điển hình của nó. Băng cách khẩo sát thêm các tính chất của A-chuẩn (do Bogdanov đưa ra trong [151) và sử dụng kỹ thuật của lý thuyết phân thổ chính, kết quả chủ yếu đã thu được là định lý chứng tỏ răng : V m œ N, các thành phần của vectở đặc trưng cấp m của me rộng tuyến tính là các hầm Baire và do đó liên tục trên một tập trù mật kiểu G6, trong không gian tham biến. Ung dung điểu nay, é chăng hạn cho hệ (4), ta kết luận được răng các thành phan của vectở đặc trưng của hệ vi phân tuyến tính dạng (4) liên tục trên tập E trù mật, kiểu 6, trong M.

Khi m=O, ta nhận được các kết quả của V. - Chưởng 111 liên quan đến các phân thổ con bat biến. Bai toán về các đa tạp bat biến của hệ động lực đã có lịch sử khá dài: Xuất phát từ việc nghiên cứu dạng điệu của một ánh xạ f của đa tạp Hí'. vào chính nó; xung quanh một điểm bất động của Ff, van đề đa tạp bất biến đã được đề cập đến trong công trình của nhiều tác giả (xem phần tài liệu tham khẩo của [51).

Trong bội cảnh của lý thuyết mở rộng hệ động lực, I. Cherny ([171,[181) đã chứng minh sự tổn tại và đặc trưng hóa được các phân thổ con bất biến của mỏ rộng phi tuyến gần, theo nghĩa Lipschitz trên toàn cục, mở rộng tuyến tính thỏa mấn điều kiện tách được mũ. ó thể có hai nhận xét về kết quả này: Thứ nhất là, đêi vổi các hệ vi phân, sự tách được cấp m > 0 đã đước chỶ ra và nghiên cứu trong lý thuyết vectở đặc trưng (khi m=O là điểu kiện tách được mỡ). Điểu nầy cho phép đưa ra thái niệm tách đước cấp m > O đôi vổi mở rộng tuyến tính để có sự phân biệt “mịn" hởn các phân thỡ con bất biến của mờ rộng phi tuyến gần mở rộng tuyến tính đó.

Thứ hai 13, xuất phát từ ý tường xâp xí hệ vi phân phi tuyến băng hệ tuyến tính nhồ phép xâp xf thứ nhất, điểu kiện nhỏ của hệ số Lipschitz thường chỉ được thỏa mấn trong lân cận của nghiệm dừng. Vì vậy sẽ hồn ly hdn n&u thay đổi đòi hỏi về sự gẩn băng nhau theo nghĩa Lipschitz trên toàn cục bang đòi hỏi mở rộng phi tuyến gần theo nghĩa Lipschitz vi mở rộng tuyến tính chỉ trong một lân cận nào đó của nhát cắt không. Do a6 trong §1 của chưởng III sẽ đưa ra định nghĩa mở rộng tuyến tính thỏa mấn điểu kiện tách được (suy rộng) và khẩn sát các phân thổ con bất biến của mỡ rộng phi tuyến gần chúng. Trong §2 trình bầy các khái niệm r-phâần thổ và r-cấu xạ của một phân thd nhăm chứng minh sự tổn tại và đặc trưng hóa đưộc các r-phần thổ con bất biến của mổ rộng phi tuyến gần mở rộng tuyến tính thỏa mấn điểu kiện hynerbolic (suy rộng).

Các kết quá của I.F, Cherny cho trường hớp mờ rộng tuyến tinh hyperbolic (theo nghĩa mỡ) sẽ được suy ra từ kết quả trên khi lấy r = o. Nội dung của luận án đã được trình bầy tại xêmina "“Phudng trình ví phân" của liên trưởng đại học do giáo sư Vũ Tuân (Đại học Sư phạm I) chủ trì, tại hội nghị khoa học hàng năm của khoa Toán, Đại học Tổng hộp Hà nội, hội nghị quốc tế về lý thuyết định tính phưởng trình vi san Szeged (Hungary) thang 8/88 vA a& hoặc sẽ được công bo trong [3], [22], £14], [1]. Ban luận án được hoàn thành vỡi sự giúp đỡ hết sức tận tình của những giác viên hưởng dấn là cô Gido sử Tiến sỹ và Phó Tiến sỹ Trần Văn Nhung. Tác giả biết ởn sâu sắc về sự giún đỡ đó.

Nhân dịp này, tác giá cũng xin hãy tỏ lòng cẩm Gn chân thành tổi các thành viên trong xêmina “Phưởng trình: ví phân" và tổ giải tích, khoa Toán - Cở —- Tin học về những ý kiến đóng qóp quý báu đôi với nội dung luận án, cũng như những sự động viên, khích lệ đôi với tác giả trong quá trình lầm việc. Hà nội, ngày tháng 4 năm 1989, CHUONG I MOT SO CAU TRUC TOPO CAN THIET §1.Phan thé va phan thd vects.Phan thổ tổng quát - các định nghĩa [541 Phân thé 1a sột bộ ba (X,p,B) trong đó X và B là hai không Qian té6pd6, còn p :X2E là ánh xạ liên tục và lên, tức là p(X)=B. không gian toàn thể, còn E lã day của phan thé. Vi mổi b 6B, tập hộp p '(b) = (xeX =: plx)=b} xã đại.

thở tại điểm b của phân thổ. Giả sử (X,p,H) và (X'°,p ,B) là hai phân thể.