Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn lu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HàNội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mãsố: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Vũ Vinh Quang HàNội – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn khoa học của GS. Đặng Quang Á và TS. Những kết quả trình bày trong Luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác.

Các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và thử nghiệm trên môi trường MATLAB, số liệu là hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sử dụng trong Luận án. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Hường i LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các Thầy hướng dẫn, GS. Đặng Quang Á và TS.

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận án, các Thầy luôn kiên nhẫn, tận tình chỉ bảo, dìu dắt và giúp đỡ em. Chính niềm say mê khoa học, sự nghiêm khắc trong khoa học cùng với đó là sự quan tâm, động viên và khích lệ của các Thầy là động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua mọi khó khăn, vất vả để hoàn thành Luận án. Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô và các thành viên trong nhóm Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện Công nghệ Thông tin cùng các cán bộ nghiên cứu. Những ý kiến nhận xét và đóng góp vô cùng quý báu trong các buổi báo cáo và thảo luận đã giúp em hoàn thành tốt nhất Luận án của mình.

Em xin chân thành cảm ơn cơ sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin và Học viện Khoa học và Công nghệ. Quý Viện và Học viện đã luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình tại đây. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án. Xin chân thành cảm ơn! ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm C Tập các số phức RK Không gian Euclide K chiều C k [a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục trên [a, b] C([0, ∞)) Không gian các hàm liên tục trên [0, ∞) C(R) Không gian các hàm liên tục trên R C([0, 1] × R) Không gian các hàm liên tục trên [0, 1] × R C([a, b], K) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] → K C([a, b] × R4 , R) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] × R4 → R Ω Miền giới nội Γ Biên của miền Ω Ω Bao đóng của miền Ω C(Ω) Không gian các hàm liên tục trên Ω C(Ω × R) Không gian các hàm liên tục trên Ω × R 1 C (Ω × R, R) Không gian các hàm f : Ω × R → R có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên Ω × R 2 C (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trên Ω ∞ C (Γ) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Γ ∞ C (Ω × R × R) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω × R × R ∆, ∆2 , ∇ Toán tử Laplace, toán tử song điều hòa, toán tử Gradient q L (Ω) Không gian các hàm khả tích bậc q trên Ω ∞ L (Ω) Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω kxk Chuẩn của phần tử x kxk2 Chuẩn trong không gian L2 của phần tử x H 2 (Ω) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng cho đến cấp hai thuộc L2 (Ω) H01 (Ω) Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên Ω, có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2 (Ω) O(h) Vô cùng bé bậc cao hơn h iii Danh sách hình vẽ 2.1 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.2 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.3 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.4 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.7 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.9 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.10 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.12 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.14 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.16 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.17 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.18 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.19 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.20 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.21 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.22 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.3 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.4 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.5 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.7 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.9 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.10 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.12 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.14 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.15 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.

126 v Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.2 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 .4 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 .5 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 0 .6 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 0 .7 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 0 .8 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.9 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 .10 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 .11 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 .12 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 .13 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 .1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.1 trên lưới đều 65 × 65 nút110 3.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 3. 125 vi Mục lục Lời cam đoan. ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu. iii Mở đầu.

Kiến thức bổ trợ. Một số định lý điểm bất động. Giới thiệu chung. Định lý điểm bất động Schauder.

Định lý điểm bất động Banach. Hàm Green đối với một số bài toán. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao. Đạo hàm số.

Tích phân số. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson. Phương pháp giải hệ phương trình lưới. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm.

Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp.

Trường hợp điều kiện biên Dirichlet. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa phương. Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản.

Trường hợp điều kiện biên phi tuyến. 88 vii Chương 3. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100 3. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Phương pháp giải và ví dụ số. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115 3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

Phương pháp giải và ví dụ số. 120 Kết luận chung. 128 Danh mục các công trình đã công bố của Luận án. 129 Tài liệu tham khảo.

130 viii MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của Luận án Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.