Luận án: Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và hữu tỷ với thớ một chiều - Nguyễn Tất Thắng

Việc khám phá các tính chất tô pô của đa tạp đại số phức là trọng tâm của hình học đại số và giải tích phức. Các đa tạp xạ ảnh đã được hiểu rõ. Lý thuyết Lefschetz, với trọng tâm là các Lefschetz pencil, đã cung cấp những mô tả chi tiết về tô pô của thớ tổng quát. Nó cũng mô tả các toán tử đơn đạo quanh các thớ đặc biệt có kỳ dị. Điều này giúp hình dung rõ ràng cấu trúc của chúng. Tuy nhiên, tình hình đối với đa tạp affine thì khác biệt. Nhiều câu hỏi cơ bản về đa tạp affine và các ánh xạ đa thức vẫn chưa có lời giải. Ngay cả trong các trường hợp tưởng chừng đơn giản, như ánh xạ đa thức hai biến. Sự khác biệt cốt lõi nằm ở tính compact. Không gian xạ ảnh là compact, còn không gian affine thì không. Tính không compact của không gian phức Cn sinh ra hiện tượng đặc trưng: kỳ dị ở vô hạn. Đây là một thách thức lớn. Nó làm cho việc phân tích các ánh xạ đa thức phức tạp hơn. Các giá trị tới hạn tại vô hạn không chỉ là khái niệm trừu tượng. Chúng ảnh hưởng trực tiếp đến cấu trúc tô pô của thớ Milnor toàn cục. Hiểu rõ các điểm tới hạn này là chìa khóa. Nó mở ra cánh cửa giải quyết các bài toán chưa có lời giải trong hệ động lực phức và tô pô đại số.

Phân thớ Milnor toàn cục là một khái niệm trung tâm trong nghiên cứu các ánh xạ đa thức trên không gian affine. Đây là công cụ tương tự của Lefschetz pencil trong ngữ cảnh affine. Nó cho phép mô tả tính chất tô pô của các tập đại số. Theo một kết quả tổng quát của R. Thom, một ánh xạ đa thức f từ một tập đại số không kỳ dị V vào không gian Ck xác định một phân thớ tầm thường địa phương. Điều này đúng cho lớp C∞ bên ngoài một tập đại số B trong không gian đích Ck. Tập B này chứa các giá trị mà tại đó tính chất tô pô của thớ thay đổi đột ngột. Do tính chất không compact của không gian phức Cn, một hiện tượng đặc biệt xuất hiện. Đó là hiện tượng kỳ dị ở vô hạn. Điều này không xảy ra khi nghiên cứu Lefschetz pencil. Vì vậy, ngoài các giá trị tới hạn thông thường, tập B còn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn. Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục một cách hiệu quả, cần phải hiểu rõ các giá trị này. Bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn trở nên tối quan trọng. Đây là một trong những bài toán đầu tiên cần giải quyết. Nó có ý nghĩa sâu sắc trong cả giải tích phức và hình học tô pô. Việc giải quyết bài toán này sẽ mở ra nhiều hướng mới cho nghiên cứu các ánh xạ đa thức và hàm đa thức.

Bài toán trung tâm của nghiên cứu này là đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn. Đây là một vấn đề mở trong giải tích phức và hình học tô pô. Mặc dù nhiều nhà toán học đã nỗ lực trong gần ba mươi năm qua, một lời giải tổng quát vẫn chưa được tìm thấy. Ngay cả khi xem xét V là toàn bộ không gian Cn và f là một ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta vẫn chưa biết cách trả lời. Chỉ một số trường hợp đặc biệt đã được giải quyết. Đây là một thách thức lớn. Các giá trị tới hạn tại vô hạn đóng vai trò quyết định. Chúng ảnh hưởng đến cấu trúc toàn cục của ánh xạ đa thức. Việc xác định chính xác các điểm tới hạn này là cần thiết. Nó giúp phân tích hành vi của hàm đa thức khi biến tiến ra vô hạn. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong hệ động lực phức. Hiểu được khi nào một giá trị là giá trị tới hạn tại vô hạn giúp dự đoán sự thay đổi trong cấu trúc thớ. Nó cũng giúp nhận diện các điểm mà tại đó ánh xạ đa thức có hành vi không đều. Mục tiêu của nghiên cứu là đóng góp vào việc giải quyết bài toán này. Nó tìm kiếm các đặc trưng mới cho các ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ.

Các giá trị tới hạn tại vô hạn của hàm đa thức hai biến phức f: C2 → C có thể được đặc trưng qua đặc trưng Euler. Đây là một kết quả nền tảng của Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng và M. Suzuki. Một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác với đặc trưng Euler của thớ tổng quát. Điều này cung cấp một tiêu chí dễ kiểm tra. Nó giúp phân biệt các giá trị đặc biệt ở vô hạn. Tiếp theo, Hà Huy Vui đã giới thiệu khái niệm số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ. Ông chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương. (i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f; (ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn 0; (iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn −1. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chất tô pô và các đại lượng giải tích. Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu điều kiện Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn. Các đặc trưng này là công cụ mạnh mẽ trong giải tích phức. Chúng giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các điểm tới hạn tại vô hạn.

Một yếu tố quan trọng giúp cho trường hợp hàm đa thức hai biến phức f: C2 → C có thể giải quyết được là tính chất của kỳ dị tại vô hạn. Đối với tất cả các đa thức hai biến, kỳ dị tại vô hạn luôn là kỳ dị cô lập. Tính chất này đơn giản hóa đáng kể việc phân tích. Khi kỳ dị cô lập, hành vi của hàm số tại vô hạn có thể được kiểm soát tốt hơn. Các kỹ thuật và định lý trong giải tích phức có thể áp dụng trực tiếp hơn. Sự vắng mặt của các kỳ dị không cô lập tại vô hạn tránh được nhiều phức tạp. Đây là những phức tạp thường gặp ở các không gian có chiều cao hơn. Bởi vậy, các kết quả mạnh mẽ và tương đương như tiêu chuẩn Euler hay số mũ Lojasiewicz mới có hiệu lực. Tính chất kỳ dị cô lập là một ưu điểm cơ bản. Nó cho phép xây dựng một lý thuyết tương đối hoàn chỉnh cho các giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức hai biến. Tuy nhiên, như sẽ được thảo luận, lợi thế này không còn tồn tại khi xét các không gian có số chiều lớn hơn. Điều này tạo ra một rào cản đáng kể trong việc tổng quát hóa kết quả.

Đối với các ánh xạ đa thức từ C2 vào C, các đặc trưng cho giá trị tới hạn tại vô hạn đã được thiết lập rất vững chắc. Các nhà nghiên cứu đã chứng minh sự tương đương của nhiều điều kiện khác nhau. Điều này tạo nên một lý thuyết mạch lạc và chặt chẽ. Cụ thể, một giá trị phức t được coi là giá trị tới hạn tại vô hạn của hàm đa thức f nếu đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác với đặc trưng Euler của thớ tổng quát. Đây là một tiêu chí hình học tô pô. Đồng thời, t cũng là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn 0. Hoặc một điều kiện mạnh hơn, số mũ Lojasiewicz này nhỏ hơn −1. Các điều kiện này tương đương với nhau. Chúng cung cấp một bức tranh toàn diện về các giá trị tới hạn tại vô hạn trong trường hợp hai biến. Sự tương đương của các điều kiện này rất quan trọng. Nó cho phép sử dụng nhiều công cụ khác nhau để kiểm tra và xác định các điểm tới hạn này. Việc hiểu rõ các đặc trưng này là nền tảng. Nó giúp cho việc phân tích các hệ động lực phức. Đồng thời nó cũng là một bước tiến đáng kể trong giải tích phức của các hàm đa thức.

Trong khi tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler là một công cụ mạnh mẽ cho ánh xạ đa thức từ C2 vào C, nó không còn đúng khi mở rộng ra các không gian có số chiều lớn hơn. Cụ thể, đối với trường hợp V = Cn với n > 2 và k = 1 (tức là ánh xạ đa thức từ Cn vào C), M. Tibar trong [30] đã chỉ ra rằng tiêu chuẩn này nói chung không còn hiệu lực. Ông đã đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa điều này. Sự thất bại của tiêu chuẩn Euler cho thấy rằng các đặc điểm tô pô của thớ ở vô hạn trở nên phức tạp hơn khi số chiều tăng lên. Điều này đòi hỏi những phương pháp tiếp cận mới. Các đặc trưng dựa trên đặc trưng Euler, vốn rất hiệu quả cho C2, không thể trực tiếp áp dụng. Đây là một rào cản đáng kể. Nó đòi hỏi các nhà toán học phải tìm kiếm các tiêu chí khác. Các tiêu chí này có thể nắm bắt được sự phức tạp của các kỳ dị ở vô hạn trong không gian đa chiều. Việc nhận diện những giới hạn này là bước đầu tiên quan trọng. Nó giúp phát triển một lý thuyết tổng quát hơn cho giá trị tới hạn tại vô hạn của hàm đa thức và ánh xạ đa thức.

Tương tự như tiêu chuẩn Euler, các đặc trưng thông qua số mũ Lojasiewicz cũng gặp phải giới hạn khi mở rộng sang không gian đa chiều. L. Zaharia ([32]) đã chứng tỏ bằng các ví dụ cụ thể rằng các đặc trưng dựa trên số mũ Lojasiewicz, vốn rất thành công trong trường hợp hai biến, không còn đúng cho ánh xạ đa thức từ Cn vào C khi n > 2. Điều này cho thấy rằng các điều kiện như Malgrange và Fedoryuk, khi được sử dụng cùng với số mũ Lojasiewicz, cần phải được xem xét lại hoặc sửa đổi cho không gian đa chiều. Sự thất bại của những phương pháp này nhấn mạnh sự khác biệt cơ bản giữa tô pô của các đa tạp affine trong không gian C2 và Cn (n>2). Các kỳ dị tại vô hạn trong không gian có số chiều cao hơn có thể không còn cô lập. Điều này tạo ra một cấu trúc phức tạp hơn. Do đó, việc tìm kiếm các điều kiện mới. Hoặc việc điều chỉnh các điều kiện hiện có, trở thành một nhiệm vụ cấp thiết. Nó giúp đặc trưng một cách chính xác các giá trị tới hạn tại vô hạn của hàm đa thức tổng quát. Đây là một thách thức quan trọng trong giải tích phức.

Nghiên cứu về giá trị tới hạn tại vô hạn cũng mở rộng sang các ánh xạ đa thức từ Cn vào không gian có số chiều nhỏ hơn, cụ thể là Cn−1. Phần này của luận án khám phá tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một mặt đại số. Nó cũng khảo sát các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1. Một bước đột phá quan trọng được thực hiện bởi A. Parusinski ([24]). Ông đã tìm cách khai thác ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C, đó là tất cả các đa thức hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Parusinski chứng minh rằng, với giả thiết đa thức f: Cn → C chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, ba điều kiện nhất định là tương đương. Điều này là một kết quả đáng kể. Nó cho thấy rằng nếu điều kiện về kỳ dị cô lập được thỏa mãn, các đặc trưng mạnh mẽ vẫn có thể được áp dụng. Điều này cung cấp một hướng đi mới cho việc giải quyết bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn. Đặc biệt trong các trường hợp mà tính chất kỳ dị cô lập có thể được kiểm soát. Đây là một đóng góp quan trọng cho giải tích phức và hình học tô pô.

Trong nghiên cứu các ánh xạ hữu tỷ, đặc biệt là hàm hữu tỷ hai biến phức, khái niệm giá trị rẽ nhánh là trung tâm. Các giá trị rẽ nhánh là những điểm mà tại đó ánh xạ hữu tỷ không còn là một phủ địa phương. Nói cách khác, đây là các điểm mà tại đó ánh xạ có hành vi 'rẽ nhánh' hoặc 'kỳ dị'. Chúng thường liên quan mật thiết đến các điểm tới hạn của ánh xạ. Đối với hàm hữu tỷ, các giá trị rẽ nhánh không chỉ xuất hiện tại các điểm tới hạn hữu hạn mà còn có thể liên quan đến hành vi của hàm số tại vô hạn. Việc xác định và phân loại các giá trị rẽ nhánh là cần thiết. Nó giúp hiểu rõ cấu trúc của thớ của ánh xạ hữu tỷ. Đặc biệt là khi các biến phức tiến ra vô hạn. Hiểu biết về giá trị rẽ nhánh là nền tảng cho việc đặc trưng giá trị tới hạn. Điều này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các hệ động lực phức. Đặc biệt là trên Mặt cầu Riemann, nơi các ánh xạ hữu tỷ thường được nghiên cứu. Mối liên hệ giữa giá trị rẽ nhánh và giá trị tới hạn cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc toàn cục của ánh xạ.

Việc đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn cho hàm hữu tỷ hai biến phức là một phần quan trọng của nghiên cứu này. Tương tự như ánh xạ đa thức, các giá trị này là những điểm mà tại đó hành vi tô pô của thớ của hàm hữu tỷ thay đổi khi tiến ra vô hạn. Tuy nhiên, sự phức tạp của hàm hữu tỷ nằm ở sự hiện diện của các điểm cực. Các điểm cực này có thể tạo ra các kỳ dị mới. Chúng ảnh hưởng đến cấu trúc của thớ ở vô hạn. Để đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn, cần sử dụng các phương pháp kết hợp từ giải tích phức và tô pô. Điều này có thể bao gồm việc mở rộng các khái niệm như đặc trưng Euler hoặc số mũ Lojasiewicz để áp dụng cho hàm hữu tỷ. Việc phân tích hành vi tiệm cận của hàm số và các biến đổi tô pô tại vô hạn là cần thiết. Điều này giúp xác định các giá trị đặc biệt này. Việc hiểu rõ các đặc trưng này là quan trọng. Nó giúp nghiên cứu các hệ động lực phức. Đặc biệt là các ánh xạ trên Mặt cầu Riemann, nơi hàm hữu tỷ đóng vai trò trung tâm. Các đặc trưng này cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi toàn cục của ánh xạ hữu tỷ.

Nghiên cứu tô pô của thớ hàm hữu tỷ hai biến phức là một khía cạnh cốt lõi. Thớ của một hàm hữu tỷ f tại một giá trị t là tập hợp các điểm z sao cho f(z) = t. Việc phân tích cấu trúc tô pô của những thớ này là quan trọng. Nó giúp hiểu được hành vi tổng thể của ánh xạ hữu tỷ. Tại các giá trị không tới hạn, thớ thường có cấu trúc tô pô đồng nhất. Tuy nhiên, tại các giá trị tới hạn, đặc biệt là các giá trị tới hạn tại vô hạn, cấu trúc này có thể thay đổi đột ngột. Những thay đổi này có thể bao gồm sự xuất hiện hoặc biến mất của các thành phần liên thông, hoặc sự thay đổi về đặc trưng Euler. Nghiên cứu này tập trung vào việc mô tả sự thay đổi này. Nó tìm cách liên kết các biến đổi tô pô với các giá trị tới hạn cụ thể. Đây là một yếu tố thiết yếu. Nó giúp xây dựng phân thớ Milnor toàn cục cho hàm hữu tỷ. Hiểu rõ tô pô của thớ cung cấp cái nhìn sâu sắc về hình học đại số. Nó cũng cho phép các nhà toán học phân tích các hệ động lực phức trên Mặt cầu Riemann. Nó cung cấp một cái nhìn toàn diện về các ánh xạ hữu tỷ.

Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler là một trong những phương pháp đầu tiên và được sử dụng rộng rãi để đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn. Cụ thể, trong trường hợp ánh xạ đa thức từ C2 vào C, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát. Đặc trưng Euler là một số nguyên tô pô. Nó đo lường một cách định lượng 'số lỗ' của một không gian. Sự thay đổi trong đặc trưng Euler của thớ chỉ ra sự thay đổi trong cấu trúc tô pô của thớ. Điều này cho thấy sự hiện diện của một giá trị tới hạn. Tuy nhiên, tiêu chuẩn này có giới hạn. Như M. Tibar đã chỉ ra, nó không còn đúng cho ánh xạ đa thức từ Cn vào C khi n > 2. Điều này có nghĩa là, trong không gian đa chiều hơn, sự thay đổi tô pô ở vô hạn không thể chỉ được phát hiện bằng cách so sánh đặc trưng Euler. Việc này đòi hỏi các phương pháp phân tích tinh vi hơn. Sự hiểu biết về cả ưu điểm và hạn chế của tiêu chuẩn Euler là cần thiết. Nó giúp lựa chọn phương pháp phù hợp để phân tích các giá trị tới hạn tại vô hạn cho các hàm đa thức và ánh xạ hữu tỷ.

Điều kiện Malgrange là một trong những tiêu chí giải tích phức quan trọng. Nó được sử dụng để đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các ánh xạ đa thức. Điều kiện này liên quan đến các tính chất của hàm số tại vô hạn. Nó thường được biểu diễn thông qua các ước lượng Lojasiewicz. Khi điều kiện Malgrange không được thỏa mãn tại một giá trị t, giá trị đó được xem là giá trị tới hạn tại vô hạn. Cùng với điều kiện Malgrange, khái niệm M-tame cũng được giới thiệu. Một ánh xạ đa thức được gọi là M-tame nếu nó thỏa mãn một điều kiện nhất định về hành vi tiệm cận tại vô hạn. Các ánh xạ M-tame có những tính chất tô pô tốt. Việc nghiên cứu điều kiện Malgrange và M-tame giúp xác định các lớp ánh xạ đa thức có hành vi 'thuần hóa' ở vô hạn. Điều này đơn giản hóa việc phân tích các giá trị tới hạn. Đối với trường hợp đa thức hai biến, việc không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t là tương đương với t là giá trị tới hạn tại vô hạn. Tuy nhiên, như L. Zaharia đã chứng tỏ, điều này không còn đúng cho các đa thức có nhiều hơn hai biến. Việc này đòi hỏi sự điều chỉnh và mở rộng các khái niệm này cho không gian đa chiều hơn. Đây là một thách thức quan trọng trong giải tích phức.

Điều kiện Fedoryuk là một tiêu chí khác. Nó được sử dụng để đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức. Tương tự như điều kiện Malgrange, điều kiện Fedoryuk cũng liên quan đến hành vi tiệm cận của hàm số ở vô hạn. Nó cung cấp một cách kiểm tra xem một giá trị có phải là giá trị tới hạn tại vô hạn hay không. Khi điều kiện Fedoryuk không được thỏa mãn tại một giá trị t, giá trị đó được xác định là một giá trị tới hạn tại vô hạn. Điều kiện này thường được liên kết với số mũ Lojasiewicz tại vô hạn. Nó là một chỉ số định lượng về tốc độ tăng trưởng của hàm số. Trong trường hợp đa thức hai biến, việc không thỏa mãn điều kiện Fedoryuk tại t là một đặc trưng cho t là giá trị tới hạn tại vô hạn. Đây là một kết quả quan trọng trong giải tích phức. Tuy nhiên, việc áp dụng điều kiện Fedoryuk cho các ánh xạ đa thức tổng quát từ Cn vào C (với n > 2) cũng gặp phải những hạn chế. Các ví dụ đã chứng minh rằng điều kiện này không phải lúc nào cũng đủ hoặc cần thiết trong không gian đa chiều. Điều này nhấn mạnh sự cần thiết của việc phát triển các tiêu chuẩn mới hoặc điều chỉnh các tiêu chuẩn hiện có. Nó giúp giải quyết bài toán phức tạp của giá trị tới hạn tại vô hạn trong bối cảnh tổng quát hơn. Đây là mục tiêu quan trọng của các nghiên cứu về hệ động lực phức và hình học tô pô.