Luận án: Bài toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình có trễ - Lê Anh Tuấn, ĐH Sư phạm Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÊ ANH TUẤN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÊ ANH TUẤN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. Vũ Ngọc Phát Hà Nội - 2018 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Lê Anh Tuấn 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của GS. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dìu dắt tôi bước vào nghiên cứu khoa học trong gần mười năm qua. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng mà Thầy dành cho tôi luôn là nguồn động lực lớn thúc đẩy tôi trong tiến trình nghiên cứu. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tôi trong suốt quãng thời gian làm nghiên cứu sinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học Huế, các thầy cô và các anh chị em đồng nghiệp công tác tại Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Huế đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin được dành lời cảm ơn sau cùng cho đại gia đình của tôi, mọi người đã luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua mọi khó khăn, thử thách trong khoa học cũng như trong cuộc sống để hoàn thành luận án. 3 Mục lục Lời cam đoan. 3 Danh mục các ký hiệu.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN. BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ.

Bài toán ổn định. Bài toán ổn định hóa. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞. Bài toán điều khiển H∞.

BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN TUYẾN TÍNH. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ NƠ-RON CÓ TRỄ BIẾN THIÊN HỖN HỢP. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN. KẾT QUẢ CHÍNH.

VÍ DỤ MINH HỌA. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN DẠNG KHOẢNG. KHÁI NIỆM ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN.

CÁC KẾT QUẢ CHÍNH. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ NƠ-RON RỜI RẠC SUY BIẾN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN DẠNG KHOẢNG. SƠ LƯỢC VỀ HỆ RỜI RẠC SUY BIẾN TUYẾN TÍNH.

PHÁT BIỂU BÀI TOÁN. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA. 97 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

101 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 104 5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R, R+ tập các số thực và tập các số thực không âm tương ứng Z+ tập các số nguyên không âm N tập các số tự nhiên C tập các số phức Re(s) phần thực của số phức s Rn không gian Euclide thực n chiều Rn×r không gian các ma trận thực có kích thước (n × r) P n hx, yi = xT y tích vô hướng của hai véc tơ x, y trên Rn : xT y = xi yi i=1 P n 1/2 kxk chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ R , kxk = n 2 xi i=1 I ma trận vuông đơn vị với số chiều phù hợp ∗ các phần tử dưới đường chéo chính của một ma trận đối xứng AT ma trận chuyển vị của ma trận A A−1 ma trận nghịch đảo của ma trận A A−T viết tắt của (A−1 )T λ(A) tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)} σmax (A) giá trị suy biến (singular value) lớn nhất của ma trận A A>0 A là ma trận nửa xác định dương, tức xT Ax > 0 ∀x ∈ Rn A>0 A là ma trận xác định dương, tức xT Ax > 0 ∀x ∈ Rn \ {0} 6 diag{A1 ,. , An } ma trận đường chéo với Ai là phần tử thứ i trên đường chéo K tập các hàm liên tục không giảm u : R+ −→ R+ , u(0) = 0, u(s) > 0 ∀s > 0 C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn với chuẩn kxkC = max kx(t)k a6t6b C 1 ([a, b], Rn ) không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn với chuẩn kxkC 1 = max {kx(t)k, kẋ(t)k} a6t6b L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω : [0, ∞) −→ Rn bình phương khả R∞ tích trên [0, ∞), nghĩa là kω(t)k2 dt < ∞ 0 LMI bất đẳng thức ma trận tuyến tính (viết tắt của cụm từ tiếng Anh “linear matrix inequality”) FTS tính ổn định trong thời gian hữu hạn (viết tắt của cụm từ tiếng Anh “finite-time stability”) LS tính ổn định Lyapunov (viết tắt của cụm từ tiếng Anh “Lyapunov stability”) RFDE phương trình vi phân hàm có trễ (viết tắt của cụm từ tiếng Anh “retarded functional differential equation”) 7 MỞ ĐẦU 1.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết ổn định là một nhánh quan trọng của lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân mà được nhà toán học người Nga A. Lyapunov khởi xướng từ những năm cuối thế kỷ XIX. Với bề dày lịch sử hơn một thế kỷ nhưng đến thời điểm này lý thuyết ổn định Lyapunov vẫn còn là một lĩnh vực nghiên cứu có sức lôi cuốn rất lớn của toán học với ngày càng nhiều ứng dụng quan trọng được tìm thấy trong cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin, sinh thái, môi trường, v. và nó cũng trở thành một nhánh nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng [18, 20, 24, 29, 30].

Cùng với tính ổn định nghiệm, người ta còn quan tâm tới việc thiết kế một bộ điều khiển sao cho khi nó tác động vào một hệ điều khiển, hệ trở nên ổn định. Bài toán này được gọi là bài toán ổn định hóa hệ điều khiển và người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hóa được của hệ điều khiển từ những năm 1960. Mặt khác, trong các mô hình toán học (được xây dựng từ các bài toán kỹ thuật trong thực tiễn) thường xuất hiện độ trễ thời gian. Các đại lượng trễ đó hình thành một cách tự nhiên, không thể tránh khỏi trong quá trình truyền tải, xử lý dữ liệu và người ta chỉ ra được rằng sự hiện diện của nó sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến dáng điệu và tính chất của hệ, trong đó có tính ổn định, một tính chất thiết yếu trong các hệ kỹ thuật [18, 28, 43].

Chính vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và điều khiển cho các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tế, đã và đang được nhiều học giả quan tâm trong những năm gần đây [2, 8, 12, 14, 41, 57]. Các hướng nghiên cứu quan trọng bao gồm việc đánh giá 8 định tính sự phụ thuộc độ trễ của tính ổn định cũng như xây dựng các tiêu chuẩn mới, tân tiến hơn để có thể áp dụng cho nhiều mô hình tổng quát và phức tạp hơn, phù hợp với các mô hình kỹ thuật hiện đại. Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách không chắc chắn (nghĩa là, có sự xuất hiện của các đại lượng “nhiễu” hệ thống). Các nhiễu này có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tố trong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau.

Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởng hoặc rất khó vận dụng trong thực tế. Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán H∞ ) là bài toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu. Các cách tiếp cận khác nhau đã được phát triển và một số lượng lớn các kết quả quan trọng về điều khiển H∞ cho nhiều lớp hệ có trễ đã được công bố trong thời gian qua [4, 8, 13, 44, 51, 53, 57, 59, 64]. Tuy vậy còn nhiều vấn đề mở thú vị và quan trọng trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng vẫn chưa được giải quyết, đặc biệt là các kết quả hiện có về bài toán H∞ cho các lớp hệ điều khiển có trễ tổng quát còn khá khiêm tốn và cần được tiếp tục nghiên cứu sâu hơn.

Đó chính là động lực để chúng tôi thực hiện đề tài này. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU Trong cách tiếp cận theo miền thời gian (time-domain approach), phương pháp Lyapunov trực tiếp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu bài toán ổn định và điều khiển H∞ cho các hệ có trễ như: hệ tuyến tính, hệ phi tuyến, hệ nơ-ron, hệ suy biến, v. Qua đó, các điều kiện giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ ô-tô-nôm sẽ được thiết lập dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính hoặc phương trình Riccati đại số; còn với hệ không ô-tô-nôm thì các điều kiện giải bài toán này sẽ được thiết lập thông qua các phương trình Riccati vi phân.