Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ luận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. Trần Đình Kế TS. Nguyễn Thành Anh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Trần Đình Kế và TS.

Nguyễn Thành Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Như Quân LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo, đầy trách nhiệm của PGS. Trần Đình Kế và TS.

Nguyễn Thành Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Đình Kế và cảm thấy rất may mắn và vinh dự khi nhận được sự dìu dắt, hướng dẫn của thầy trên con đường nghiên cứu khoa học. Tác giả cũng xin được gửi lời cám ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Anh, thầy là người đã giới thiệu, động viên tác giả những ngày đầu và trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Điện lực đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả Mục lục Lời cam đoan.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. GIẢI TÍCH PHÂN THỨ. Đạo hàm và tích phân phân thứ. Đạo hàm và tích phân phân thứ có trọng.

LÍ THUYẾT GIẢI THỨC. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG. ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG. Một số vấn đề về giải tích đa trị.

Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN. Ổn định Lyapunov. Ổn định thời gian hữu hạn và tính hút trong thời gian hữu hạn.

MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ. Các không gian hàm. Một số bất đẳng thức thường dùng. TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN XẠ-SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH CHỨA XUNG VÀ TRỄ HỮU 3 HẠN.

ĐẶT BÀI TOÁN. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN. TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CỦA NGHIỆM BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG TÁN XẠ-SÓNG VỚI TRỄ VÔ HẠN.

ĐẶT BÀI TOÁN. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM BỊ CHẶN MŨ. KẾT QUẢ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU. TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHÂN THỨ CÓ TRỌNG.

ĐẶT BÀI TOÁN. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM. TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN. 80 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN.

84 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 85 4 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R tập hợp các số thực R+ tập hợp các số thực dương (E, k·kE ) không gian Banach với chuẩn trong E 2E họ các tập con của E P(E) = {A ∈ 2E : A 6= ∅}, Pb (E) = {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn} Pc (E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng} Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact} L(E) không gian các toán tử tuyến tính, bị chặn trên không gian Banach E Ch = C([−h, 0]; E) χh độ đo không compact trong không gian Ch BE [a, r] = {x ∈ E : kx − ak ≤ r} I0α f (t) tích phân phân thứ Riemann-Liouville bậc α > 0 của hàm f D0α f (t) đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville bậc α > 0 của hàm f C α D0 f (t) đạo hàm phân thứ Caputo bậc α > 0 của hàm f I0α,σ f (t) tích phân phân thứ Riemann-Liouville có trọng với bậc α > 0 của hàm f C α,σ D0 f (t) đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa Ca- puto với bậc α > 0 của hàm f I ánh xạ đồng nhất → hội tụ mạnh * hội tụ yếu 5 MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích phân thứ bắt nguồn từ câu hỏi đưa ra vào năm 1695 bởi L´Hospital và Leibniz. Đó là làm thế nào để khái quát hóa các khái niệm của giải tích bậc nguyên cho trường hợp có bậc bất kỳ? Như thường gọi, giải tích phân thứ là thuật ngữ dùng để chỉ đạo hàm và tích phân phân thứ.

Qua lịch sử hơn ba thế kỷ hình thành và phát triển, trong một thời gian dài giải tích phân thứ chủ yếu thu hút sự quan tâm của các nhà toán học, do chưa biết nhiều đến các ứng dụng của nó trong các mô hình thực tiễn và các lĩnh vực khoa học khác. Trong những thập kỷ gần đây, nhiều nhà nghiên cứu đã dành sự quan tâm cho giải tích phân thứ khi thấy rằng đạo hàm và tích phân phân thứ là công cụ có thể mô tả tốt hơn nhiều hiện tượng trong thế giới tự nhiên và trong kỹ thuật như: hệ nhớt đàn hồi, sự phân cực chất điện môi, sóng điện từ, sự truyền nhiệt, kỹ thuật chế tạo người máy, hệ sinh học, tài chính và một số lĩnh vực khác [4, 10, 37, 43]. Trong lịch sử, giải tích phân thứ đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học tiên phong như Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, và Riesz. Các ứng dụng của giải tích phân thứ trong vật lí đầu tiên được thực hiện bởi Abel và Heaviside [44, 68].

Ngày nay, phương trình vi phân phân thứ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học. Đối với một số ứng dụng thực tế việc sử dụng phương trình vi phân phân thứ mang lại hiệu quả tốt hơn so với phương trình vi phân cổ điển. Lí thuyết định tính và ứng dụng của phương trình vi phân phân thứ trong vật lí, kỹ thuật, kinh tế, sinh học và sinh thái học được nghiên cứu rộng rãi, có thể tìm thấy trong các công trình [44, 51, 52, 57, 68] và các trích dẫn trong đó. Khi xem xét các mô hình thực tiễn, đặc biệt trong các bài toán điều khiển thì trễ là một nhân tố không thể tách rời.

Do đó, các hệ có trễ thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, ở đó việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm là một trong những bài toán quan trọng và hấp dẫn nhất. Trong nhiều mô hình ứng dụng [51], người ta sử dụng phương trình vi 6 phân đạo hàm riêng phân thứ dạng ∂tα u(t, x) = ∆u(t, x), t > 0, x ∈ Ω ⊂ RN , (1) với bậc đạo hàm α ∈ (0, 2], ∆ là toán tử Laplace. Trường hợp α ∈ (0, 1), nó là phương trình dưới khuếch tán, được ứng dụng trong vật lí bởi Nigmatullin [58] để mô tả quá trình khuếch tán trong môi trường vật liệu fractal (một dạng đặc biệt của vật liệu xốp). Trường hợp α ∈ (1, 2), nó là phương trình sóng phân thứ, mô tả sự lan truyền của sóng cơ trong vật liệu nhớt đàn hồi.

Lí thuyết cơ sở về phương trình vi phân phân thứ đã được phát triển và trình bày trong nhiều tài liệu, có thể kể đến các cuốn sách tiêu biểu [43, 57, 65]. Những kết quả gần đây về phương trình vi phân phân thứ chủ yếu dành cho tính giải được trong khoảng thời gian hữu hạn [63, 72, 74] và tính điều khiển được (chính xác hoặc xấp xỉ) [42, 45, 66, 73, 74]. Trong khi lí thuyết ổn định cho phương trình vi phân bậc nguyên có lịch sử phát triển lâu dài và đạt được nhiều kết quả quan trọng [22, 23, 32] thì các kết quả về tính ổn định đối với các phương trình vi phân phân thứ còn ít được biết đến. Trên thực tế, việc sử dụng các công cụ cổ điển như phương pháp hàm Lyapunov cho các phương trình vi phân phân thứ gặp nhiều khó khăn do việc tính đạo hàm phân thứ của các phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện.

Quay lại phương trình (1) trong trường hợp α ∈ (1, 2), một dạng tương tự của nó được xem xét là Z t (t − s)α−2 ∂t u(t, x) = ∆u(s, x)ds, t > 0, x ∈ Ω. Phương trình với nhiễu phi tuyến tương ứng dạng Z t α−2 (t − s) ∂t u(t, x) = ∆u(s, x)ds + f (t, x, u(t, x)), t > 0, x ∈ Ω, 0 Γ(α − 1) (3) mô tả quá trình khuếch tán kỳ dị và sự truyền sóng trong vật liệu nhớt đàn hồi, được nghiên cứu trong [37, 50, 53, 54]. Để nghiên cứu lớp phương trình này, ta thường chuyển nó về phương trình vi phân trong không gian Banach. Cụ thể, ta có thể coi u : [0, T ] → L2 (Ω) là hàm theo biến t nhận giá trị trong L2 (Ω) xác định bởi u(t) = u(t, ·).

Khi đó, phương trình (3) 7 có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng Z t α−2 (t − s) u0 (t) = Au(s)ds + f (t, u(t)), (4) 0 Γ(α − 1) trong đó A = ∆ với miền xác định phù hợp theo điều kiện biên và f (t, u(t)) = f (t, ·, u(t, ·)). Gần đây, vấn đề nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với lớp phương trình này nhận được sự quan tâm của một số nhà nghiên cứu [1, 15, 16, 17], tuy nhiên kết quả đạt được còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về tính ổn định nghiệm của phương trình dạng (4) được công bố.