Đặc trưng toán tử khả nghịch suy rộng & ứng dụng giải bài toán biên - Luận án TS Toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ BẠCH NGỌC ĐẶC TRƯNG CUA TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH DẠNG SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN TƯƠNG ỨNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 1.01- —- : eh) MGC TAP THE HUGNG DAN KHOA HOC : GS. NGUYEN VAN MAU TS. NGUYEN MINH TUAN HÀ NỘI 2001 MỤC LỤC Lời cam đoan Mục lục Các ký hiệu dùng trong luận án Mở đầu se ee ÉP ww Be EF @ #£ R3 Chương I. Đặc trưng của toán tử khả nghịch phải suy rộng 1.

Toán tử khả nghịch phải suy rộng. Các công thức nội suy cơ bản 1. Công thức biểu diễn nghiệm của phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng Chương II. Một số bài toán biên đối với phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng 2.

Bài toán giá trị ban đầu. Bài toán giá trị biên cơ bản 2. Dài toán giá trị biên hỗn hợp thứ nhất 2. Dài Loán giá trị biên hỗn hợp thứ hai 2.

Nhận xét về bài toán giá trị biên tổng quát 2 oe 4 Chuong III. Mét sé két qua vé todn tit kha nghich phai suy véng bac cao 3.1 Toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao 3. Điều kiện khả nghịch phải suy rộng bậc cao của toán tử đại số 3. Đặc trưng Volterra của đa thức với toán bử khả nghịch phải suy rộng bậc cao 3.

Nghiệm của phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao ‘ Kết luận 3 Các công trình đã công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Lời cảm ơn awn noe 10 10 24 34 51 51 61 100 100 107 111 117 122 125 124 126 MỤC LỤC Lời cam đoan Mục lục Các ký hiệu dùng trong luận án Mở đầu se ee ÉP ww Be EF @ #£ R3 Chương I. Đặc trưng của toán tử khả nghịch phải suy rộng 1. Toán tử khả nghịch phải suy rộng. Các công thức nội suy cơ bản 1.

Công thức biểu diễn nghiệm của phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng Chương II. Một số bài toán biên đối với phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng 2. Bài toán giá trị ban đầu. Bài toán giá trị biên cơ bản 2.

Dài toán giá trị biên hỗn hợp thứ nhất 2. Dài Loán giá trị biên hỗn hợp thứ hai 2. Nhận xét về bài toán giá trị biên tổng quát 2 oe 4 Chuong III. Mét sé két qua vé todn tit kha nghich phai suy véng bac cao 3.1 Toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao 3.

Điều kiện khả nghịch phải suy rộng bậc cao của toán tử đại số 3. Đặc trưng Volterra của đa thức với toán bử khả nghịch phải suy rộng bậc cao 3. Nghiệm của phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao ‘ Kết luận 3 Các công trình đã công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Lời cảm ơn awn noe 10 10 24 34 51 51 61 100 100 107 111 117 122 125 124 126 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1N - Tập hợp các số tự nhiên 1N" - Tâp hợp các số nguyên dương C, Ở - Trường số phức, trường số phức mở rộng 1 - Trường số thực X - Không gian tuyến tính trên trường số ? hoặc Œ X/ - Không gian đối ngẫu với X.(X) - Tập hợp các toán tử khả nghịch phải suy rộng thuộc L(X) Ri, - Tập hợp các nghịch đảo phải suy rộng của V € Ry (X) RY ={WeRL:WVW=W, VW2=W} #v - Tập hợp các toán tử ban đầu phải cia V đy - Tập hợp các toán tử ban đầu trái của V Fv.w - Tập hợp các toán tử ban đầu phải của V có tính chất c(WW) 3 Zv,w¿„ - Tập hợp các toán tử ban đầu phải của V có tính chất cœ(W) ,(X) - Tập hợp các toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc k 7$ - Tập hợp các k- nghịch đảo phải suy rộng của V € R„(X) Zÿ) ={W €7}: WVW =W} V(X) - Tập hợp các toán tử Volterra thuộc L(X) 4?(X) - Tập hợp các toán tử đại số thuộc L(X) CN [a,b] - Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp X trên [a, | R - Đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức DT - Miền hữu hạn trong mặt phẳng giới hạn bởi I D- =@\(Dtuf) H"(L) - Khéng gian cdc ham giới nội và thỏa mãn điều kiện Holder trên L với số mũ # ( < ¿ < 1). ó;; - lý hiệu Kronecker MỞ ĐẦU Lý thuyết các toán tử khả nghịch một phía khởi đầu từ các ý tưởng của Micusinski và được Przeworska Rolewiez D.

xây dựng lần đầu tiên vào đầu những năm 70, là một trong các lĩnh vực nghiên cứu quan trọng đặt cơ sở khái quát đại số cho những bài toán của Giải tích như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, các bài toán nội suy,. Ngay sau khi ra đời, hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học. Những kết quả quan trọng về lý thuyết toán tử khả nghịch một phía của Przeworska Rolewicz D. cho thấy nhiều bài toán riêng rẽ của giải tích có thể biểu diễn được dưới dạng mô hình chung và có thể được nghiên cứu theo những thuật toán cơ bản tổng quát.

Chẳng hạn, các bài toán nội suy Lagrange, nội suy Newton, ndi suy Hermite va một số bài toán biên trong Giải tích có thể được xem như là các trường hợp đặc biệt của bài toán giá trị biên với những điều kiện ban đầu tương thích và các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng,. có thể được xem như là phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải. Hơn nữa, nhiều kết quả của lý thuyết các toán tử khả nghịch một phía đã đóng góp một phần quan trọng vào việc hoàn chỉnh lý thuyết Noether các toán tử tuyến tính. Ta biết rằng, mọi toán tử tuyến tính tác động trong một không gian hữu hạn chiều hoặc khả nghịch hoặc khả nghịch suy rộng nhưng không khả nghịch phải thực sự.

Từ đó lý thuyết các toán tử khả nghịch suy rộng ra đời (xem Định nghĩa 1.3) và được nhiều người quan tâm nghiên cứu như Anselone P. Tuy nhién cd rat nhiéu tinh chat quan trọng của những toán tử quen biết trong Giải tích như: toán tử đạo hàm, toán tử sai phân, toán tử vi phân,. không được thể hiện như là những đặc trưng 5 cơ bản nhất của toán tử khả nghịch suy rộng. Vào năm 1996, Nguyễn Văn Mậu và Nguyễn Minh Tuấn ({13]-[14]) đã đưa ra khái niệm về toán tử khả nghịch phải suy rộng (xem Định nghĩa 1.4) và nghiên cứu một số tính chất của nó.

Có thể nói rằng tập hợp toán tử khả nghịch phải suy rộng nằm giữa tập hợp toán tử khả nghịch phải và tập hợp toán tử khả nghịch suy rộng. Tập hợp toán tử khả nghịch phải suy rộng chứa tất cả các toán tử khả nghịch phải và nhiều toán tử quen biết như: toán tử chiếu, toán tử vi tích phân, một số toán tử đại số và toán tử trong không gian hữu hạn ^^ chiéu,. Mục tiêu của luận án này là tiếp tục nghiên cứu một số tính chất mới của toán tử khả nghịch phải suy rộng V như: nghiên cứu cấu trúc không gian hạch và không gian ảnh của VÀ. Tiếp theo nghiên cứu một số tính chất của toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao và đưa ra việc phân lớp các toán tử tuyến tính theo độ khả nghịch của nó.

Bước đầu nghiên cứu một số đặc trưng của toán tử khả nghịch phải suy rộng bậc cao. Việc nghiên cứu tính chất c(ï) và ứng dụng vào giải một số bài toán biên và bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải với hệ toán tử ban đầu có tính chất đó đã được Przeworska-Rolewicz D. Sau đó Nguyễn Văn Mậu và Phạm Quang Hưng đã mở rộng tính chất c(R) thành tính chất cœ() và đưa ra công thức nghiệm của bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải với hệ toán tử ban dau cé tinh chat cg(R) (xem [15]). Luận án này tiếp tục xây dựng tính chất c(M) và ca(W) của toán tử ban đầu phải của V, từ đó đưa ra một số đặc trưng mới của hệ toán tử ban đầu phải của V có tính chất c(W) và cg(W).

Sau đó đưa ra cách giải bài toán nội suy tổng quát sinh bởi V với hệ toán tử ban đầu phải có tính chất c(W) và cœ(W7) mà một số bài toán nội suy cổ điển như: nội suy Lagrange, nội suy Newton, nội suy Hermite được xem như là các trường hợp riêng đặc biệt. Phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải D và các bài toán biên 6 tương ứng dạng N Q(D)z:= À3 ` A„D"z = ụ, € X (0.2) n=0 da duoc Przeworska Rolewicz D. Sau dé, trong [11] Nguyễn Văn Mậu đã nghiên cứu lớp phương trình dạng M WN Q[D]z := 5° > D™ AmnD"t = y, yEX (0.3) m=0 n=0 Luận án nay đưa ra cách giải phương trình sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng V dạng M N Q[V]z:= 3` 3 `V”AmnV"z =, € X (0.4) m=0n=0 & day Ayn =I, Amn € Lo(X), AmnXn-n C Xm; Xm := dom V™. Sau dd nghiên cứu tính giải được của một số bài toán biên đối với phương trình (0.4) thông qua độ khả nghịch (khả nghịch, khả nghịch phải, khả nghịch trái, khả nghịch suy rộng) của toán tử giải tương ứng và áp dụng vào giải một số lớp phương trình như phương trình vi tích phân hàm, phương trình tích phân kỳ di,.

Luận án gồm ba chương Chương I nghiên cứu đặc trưng của toán tử khả nghịch phải suy rộng. Chương này gồm 3 mục.1 gồm 2 tiết : Trong tiết 1.1 đưa ra định nghia và một số tính chất của toán tử khả nghịch phải suy rộng W, toán tử ban đầu phải và trái của V, xây dựng cấu trúc không gian kerV và domVÄ; tiết 1.2 xây dựng tính chất c(M) và caœ(W) của toán tử ban đầu phải của V sau đó xây dựng một số đặc trưng mới của hệ toán tử ban đầu phải của W có tính chat c(W) va cg(W) lam co sé dé gidi mét sé bai todn biên và bài toán nội suy 4 ở các mục sau.2 đưa ra cách giải bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải suy rộng V với hệ toán tử ban đầu phải có tính chất c(W) và cœ(W) và áp dụng bài toán này đưa ra được một số công thức nội suy cơ bản như: nội suy Lagrange, nội suy Newbon, nội suy Hermite.