Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân luận án t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- ĐINH XUÂN KHÁNH ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- ĐINH XUÂN KHÁNH ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Ngành: Toán học Mã số: 9460101 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. NGUYỄN THIỆU HUY TS. PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2018 MỤC LỤC MỤC LỤC. i LỜI CAM ĐOAN.

2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN HÓA 11 1.1 Không gian hàm .1 Không gian hàm Banach chấp nhận được .2 Bất đẳng thức nón .2 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ .1 Nửa nhóm liên tục mạnh .2 Tính ổn định và nhị phân mũ .3 Họ tiến hoá, nhị phân mũ. TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV 24 2.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian E-lớp .2 Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định trong không gian E-lớp và tính hút .3 Ứng dụng trong mô hình Fisher-Kolmogorov. ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHÔNG ỔN ĐỊNH THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 45 i 3.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong không gian E-lớp .2 Đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định và tính hút .3 Ứng dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov.

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ỔN ĐỊNH ĐỊA PHƯƠNG THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 71 4.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa có trễ .2 Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ .3 Ứng dụng vào mô hình Hutchinson. 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 91 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN. 96 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.

Nguyễn Thiệu Huy, TS. Phan Xuân Thành. Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa được tác giả khác công bố. Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2018 T/M tập thể hướng dẫn Tác giả TS.

Phan Xuân Thành Đinh Xuân Khánh 1 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Nguyễn Thiệu Huy, TS. Phan Xuân Thành, người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô. Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn. Tác giả 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập các số tự nhiên. R : tập các số thực. R+ : tập các số thực không âm.

R− : tập các số thực không dương. C : tập các số phức. x∈R  L1,loc (R) := u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R , trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R. t∈[−r,0] L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

t≥0 t EI : không gian hàm Banach chấp nhận được trên I. X, Y : không gian Banach. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể,. Bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tác động trong không gian Banach.

Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó. Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biến thuộc lớp chấp nhận được, từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận (ổn định, không ổn định,.) nghiệm của các phương trình tiến hóa mô tả các hệ thống kể trên khi thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học hiện đại như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, vv. Bài toán về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được là vấn đề nhận được sự quan tâm lớn của nhiều tác giả. Để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ của phần tuyến tính trong các không gian hàm.

Tính nhị phân mũ của phần tuyến tính trong các phương trình tiến hóa được trình bày trong các tài liệu ([4, 20, 33, 34]). Và điều kiện quan trọng của phần phi tuyến cho sự tồn tại của đa tạp là tính liên tục Lipschitz đều với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Ta có thể tìm hiểu sâu vấn đề này trong các tài liệu tham khảo ([2, 6, 10, 18, 29]). Tuy nhiên, 5 trong các mô hình thực tế phần phi tuyến có hệ số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và không đủ nhỏ.

Gần đây, bằng cách sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm chấp nhận được người ta đã đưa ra được điều kiện tổng quát hơn cho phần phi tuyến đối với sự tồn tại đa tạp tích phân (xem [23, 22, 21]), đó là điều kiện liên tục Lipschitz không đều (tính ϕ-Lipschitz) với ϕ là hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được. Sự tồn tại của các đa tạp bất biến kiểu mới này đã được chứng minh trong các kết quả của PGS. Nguyễn Thiệu Huy. Luận án "Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân" nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tính hút của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định.

Từ đó, áp dụng các kết quả thu được cho một số mô hình thực tế. Cụ thể như sau: Chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng d u(t) = A(t)u(t) + f (t, u), t ∈ R, (1) dt và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ liên tục d u(t) = A(t)u(t) + f (t, ut ), t ∈ R hoặc t ∈ R+ , (2) dt trong đó A(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trong không gian Banach X và sinh ra họ tiến hóa U (t, s), phần phi tuyến f là toán tử ϕ-Lipschitz; ut là hàm lịch sử ut (s) = u(t + s). Một số kết quả ban đầu về không gian hàm chấp nhận được, nhị phân mũ và đa tạp bất biến chấp nhận được đã được Nguyễn Thiệu Huy và một số tác giả khác nghiên cứu. Luận án này nhằm phát triển và bổ sung các kết quả về sự tồn tại các đa tạp bất biến chấp nhận được đối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa và ứng dụng vào các mô hình hệ thống cụ thể.

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6 • Mục đích nghiên cứu của Luận án: Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình (1), (2) mang đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹ thuật và công nghệ. Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng về quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những dữ liệu ban đầu và phổ của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại và quá khứ. Nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp bất biến ổn định hoặc không ổn định đưa ra cấu trúc hình học của nghiệm đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính, mặt khác nó giúp làm đơn giản hóa khi nghiên cứu tính chất nghiệm trên các đa tạp thay cho việc nghiên cứu nghiệm bất kỳ của phương trình. • Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng; Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định của các phương trình (1), (2) và tính hút của các đa tạp không ổn định.

Phương pháp nghiên cứu Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: • Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic Semi- group) và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm các phương trình kể trên. • Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh của các bài toán không ô-tô-nôm tuyến tính. • Lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễu tuyến tính và phi tuyến của hệ động lực vô hạn chiều. Lý thuyết các đa tạp bất biến thông thường và đa tạp chấp nhận được.

Ý nghĩa các kết quả của luận án Luận án nhằm phát triển và bổ sung lý thuyết về sự ổn định, không ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính khác của nghiệm các phương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ.