Chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh luận án tiến sĩ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS. Phan Văn Thiện HUẾ - NĂM 2019 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó.

Tác giả Trần Nam Sinh ii LỜI CÁM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm của PGS. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đã đưa ra hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin gửi lời cám tới GS. Ngô Việt Trung với những góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học cơ bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Trần Nam Sinh. iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 2 1 Kiến thức cơ sở 11 1.1 Chỉ số chính quy của một tập điểm béo .2 Một số kết quả cần dùng .3 Kết luận chương 1.

18 2 Chỉ số chính quy của tập s điểm béo không nằm trên một (r − 1)- phẳng với s ≤ r + 3 19 2.1 Chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng với s ≤ r + 3 .2 Chỉ số chính quy của s điểm béo đồng bội không nằm trên một (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 3 .3 Kết luận chương 2. 38 3 Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập s điểm kép trong Pn với 2n + 1 ≤ s ≤ 2n + 2 39 3.1 Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 1 điểm kép sao cho không có n+1 điểm nằm trên một (n−2)-phẳng trong Pn .2 Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 2 điểm kép không suy biến và không có n + 1 điểm nằm trên một (n − 2)-phẳng trong Pn .3 Kết luận chương 3. 65 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CÔNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương [a] Phần nguyên của số hữu tỷ a k Trường đóng đại số k Pn := Pnk Không gian xạ ảnh n-chiều trên trường k R := k[x0 , ., xn ] Vành đa thức theo các biến x0 , ., xn trên trường k Z(T ) Tập không điểm của tập T ⊂ R các phần tử thuần nhất của R I(Y ) Iđêan thuần nhất của tập điểm Y ⊂ Pn ℘ Iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi điểm P ∈ Pn dim B Chiều (Krull) của vành B Ann(M ) Annihitor của môđun M L Md Tổng trực tiếp của các nhóm con Md d HM (t) Hàm Hilbert của môđun phân bậc M PM (t) Đa thức Hilbert của môđun phân bậc M Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Tập điểm béo Z reg(Z) Chỉ số chính quy của Z reg(A) Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ A 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Cho X = {P1 , ., Ps } là tập các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k là một trường đóng đại số., ℘s là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R := k[x0 , ., xn ] tương ứng với các điểm P1 , ., ms là các số nguyên dương. Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps là lược đồ chiều không xác định bởi iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms và gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps là một tập điểm béo trong Pn.

Chú ý rằng iđêan I của tập điểm béo là tập gồm các hàm đại số nội suy trên tập điểm P1 , ., Ps triệt tiêu với số bội m1 ,. Đề tài về tập điểm béo được nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau. Ví dụ như giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc của các hàm nội suy đến nay vẫn chưa được giải quyết (xem [13]). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/I.

Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định bởi iđêan I, vành tọa độ thuần nhất của Z là A := R/I. Vành A = ⊕t≥0 At là một vành phân bậc s mi +n−1 P
Cohen-Macaulay 1-chiều có bội của nó là e(A) := n. i=1 Hàm Hilbert của Z được xác định bởi HA (t) := dimk At , tăng chặt cho đến khi đạt được số bội e(A), tại đó nó dừng. Chỉ số chính quy của Z được định nghĩa là số nguyên bé nhất t sao cho HA (t) = e(A) và nó được ký hiệu là reg(Z).

Chỉ số chính quy reg(Z) bằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(A) của vành tọa độ A. Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính quy reg(Z) đã được nhiều người quan tâm và có nhiều kết quả. Năm 1961, Segre (xem [19]) đã chỉ ra được chặn trên cho chỉ số chính quy của một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps sao cho không có ba điểm nào của chúng nằm trên một đường thẳng trong P2 :    m1 + · · · + ms reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, , 2 với m1 ≥ · · · ≥ ms. 3 Cho một tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong P2.

Chặn này được mở rộng cho một tập điểm béo tùy ý trong Pn bởi Davis và Geramita (xem [9]). Họ đã chứng minh được rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tập điểm P1 , ., Ps nằm trên một đường thẳng trong Pn. Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm của P1 , ., Ps nằm trên một j -phẳng với j < n. Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) đã mở rộng kết quả của Segre cho tập một điểm béo ở vị trí tổng quát trong P2.

Vào năm 1993, Catalisano, Trung và Valla (xem [8]) mở rộng kết quả này cho tập một điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn , họ đã chứng minh được: ( " #) m1 + · · · + ms + n − 2 reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, , n với m1 ≥ · · · ≥ ms. Trung đã đưa ra một giả thuyết như sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps là một tập điểm béo tùy ý trong Pn. Khi đó n o reg(Z) ≤ max Tj j = 1, ., n , trong đó (" P # ) q l=1 mil + j − 2 Tj = max Pi1 , ., Piq nằm trên một j -phẳng. j Hiện nay chặn này được gọi là chặn trên của Segre.

Giả thuyết này có một số người làm toán quan tâm. Chúng tôi xin đề cập một vài kết quả gần đây liên quan đến giả thuyết này. Chặn trên Segre đã được chứng minh đúng trong không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = 3 (xem [22], [23]) và cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps trong P4 (xem [24]) bởi Thiện; cũng trong trường hợp n = 2, n = 3 Fatabbi và Lorenzini đưa ra một chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]). 4 Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi và Lorenzini đã chứng minh được chặn trên Segre cho một tập gồm n + 2 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 trong Pn (xem [2]).

Năm 2013, Tú và Hùng đã chứng minh được chặn trên Segre cho một tập gồm n + 3 điểm hầu đồng bội không suy biến trong Pn (xem [28]). Năm 2016, Ballico, Dumitrescu và Postinghel đã chứng minh được chặn trên của Segre cho trường hợp n+3 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 +· · ·+mn+3 Pn+3 trong Pn (xem [4]). Năm 2017, Calussi, Fatabbi và Lorenzini cũng đã chứng minh được chặn trên Segre cho trường hợp s điểm béo không suy biến Z = mP1 + · · · + mPs trong Pn với s ≤ 2n − 1 (xem [5]). Cho tập điểm béo tùy ý trong Pn.

Năm 2018, Nagel và Trok đã chứng minh giả thuyết của N. Trung về chặn trên Segre là đúng (xem [18, Theorem 5. Một vấn đề khác cũng được nhiều người quan tâm là tính đúng giá trị reg(Z). Tuy nhiên đây là một bài toán khó hơn, cho đến nay việc tính đúng giá trị reg(Z) chỉ đạt được cho một số tập điểm béo với những điều kiện nhất định.

Nhắc lại rằng với các điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps nằm trên một đường thẳng trong Pn. Davis và Geramita (xem [9]) đã chứng minh được reg(Z) = m1 + · · · + ms − 1. Một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn là đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, ., xn−1 = tun−1 , xn = un. Cho một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong Pn , với m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms.

Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla đã chỉ ra công thức tính reg(Z) trong hai trường hợp sau (xem [8]): Nếu s ≥ 2 và P1 , .