Biễu diễn môdula của một lớp nhóm tuyến tính dẫn xuất từ bất biến của nhóm các m

MỤC LỤC Mở đầu Chương 0: Phần chuẩn bị 0.1 Lý thuyết biểu điễn tổng quát go i8 0.2 Biểu diễn modula bất khả qui của nhóm hữu hạn 0.3 Biểu diễn modnla bất khả qui của nửa nhóm hữu hạn 0.4 Các bất biến modula Chương 1: Biểu diễn modula bất khả qui của nhóm con parabolic của nhóm tuyến tính tổng quát 1.1 Xây dựng biểu diễn modula bất khả qui 1.2 Biểu diễn modula bất khả qui của nhóm con parabolic Chương 2: Phủ xạ ảnh của các mô-đun bất khả qui của nhóm GL(2, F„) 2.1 Phủ xạ ảnh của các mô-đun bất khả qui 2.2 Vành biểu diễn của nhóm ŒL(2, Fạ) Chương 3: Phủ xạ ảnh của các mô-đun bất khả qui của nhóm G13, F3) Chương 4: Biểu dién modula bất khả qui của nửa nhóm con parabolic của nửa nhóm các mm trận 4.1 Biểu diễn modula bất khả qui của nửa nhóm con parabolic 4.2 Quan hệ giữa các biểu diễn bất khả qui của Ä⁄(, F„) được xây dựng bằng các bất biến của nhóm 7„ và bằng mô-đun Weyl Kết luận "Tài liệu tham khảo an o Oo œ uw 11 11 13 8 MỞ ĐẦU Mục đích của luận án là nghiên cứu lý thuyết biểu điễn modula. của các nhóm con parabolic của nhóm tuyến tính tổng quát và các nửa nhóm con parabolic của nửa nhóm các ma trận. Lý thuyết biểu diễn modula tức là lý thuyết biểu diễn của một đại số trên trường có đặc số khác không, là một trong những thành tựu cổ điển, xuất phát từ việc nghiên cứu lý thuyết nhóm hữu hạn. Bắt đầu từ những năm 1930, lý thuyết này được xây dựng và phát triển mạnh mẽ bởi các công trình của R.

Brauer, và sau đó là C. Hiện nay nó là 'công cụ chính để nghiên cứu lý thuyết nhóm hữu hạn. Tuy nhiên, đối với các nhóm cụ thể, việc xác định cấu trúc các biểu diễn modula cho đến nay vẫn tồn tại như là bài toán khó và thường được giải quyết trong một thời gian dài bởi nhiều tác giả khác nhau. Đối với nhóm đối xứng đã có nhiều công trình nghiên cứu bắt dau tir T.

Trong những trường hợp cá biệt của nhóm tuyến tính bậc 2 nhy nhém GL(2, F,), S7(3, Fy), nửa nhóm các 2 x 2 ma trận A(2,F„) đã được tiến hành nghiên cứn bởi Brauer-Nesbitt [4], Janusz [15], Glover [12]. Đối với nhóm tuyến tính tổng quát nói chung, việc nghiên cứu cũng được thực hiện bởi nhiều tác giả từ những năm 1940 cho đến ngày nay, xuất phát từ những nghiên cứu về lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp tổ hợp. Tập đầy đủ các biểu diễn modula bất khả qui của nhóm tuyến tính tổng quát được James-Kerber [14] thể hiện bằng mô-đun gọi là "mô-đun Weyl”.

Sử dụng kết quả này, đồng thời khảo sát một số tính chất của lý thuyết biểu diễn nửa nhóm, HarrisKuhn [13] đã xác định tập đầy đủ các biểu diễn modula bất khả qui của nửa nhóm các ma trận. Trong hơn thập kỷ vừa qua, những vấn đề về tính phân rã ổn định của. không gian phân loại của nhóm aben sơ cấp nói riêng và không gian tô-pô nói chung đã thúc đẩy những người làm tô-pô đại số tiến sâu vào việc nghiên cứu lý thuyết biểu diễn modula của các nhóm tuyến tính. Thực tế, đây là một động cơ chính thúc đẩy tác giả thực hiện công trình này.

"Trong luận án này, khác với phương pháp tổ hợp truyền thống nêu trên, bằng cách ứng dụng lý thuyết bất biến modula của những nhóm tuyến tính, cụ thể ở đây là các bất biến Mùi của nhóm các ma trận tam giác trên và các bất biến Dicksen của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn, chứng tôi tiến hành nghiên cứu lý thuyết biểu diễn của các nhóm tuyến tính trên cùng trường đó. Việc đưa bất liều moddlscấn những nhóm tuyến tính vào việc nghiên cứu lý thuyết biểu diễn của các nhóm tuyến tính được tiến hành như sau. Cho p là một số nguyên tố, #„ trường hữu hạn có g = ?# phần tử và Tq[Za,-. ,za] là đại số đa thức của z¡,.

Goi M(n, F,) là nửa nhóm các %xx w ma trận, G7», F4) là nhóm tuyến tính tổng quát gồm các n x n na trận khả nghịch, 7x là p-nhóm con SyÌow của ŒL(n, F„) gồm các ma trận tam giác trên hệ số trên đường chéo bằng một, tất cả đều lấy hệ số trén Fy. Thông qua tác động tự nhiên của Ä(n, Fạ) lên Fq[Z\,. Tir day m6i khéng gian véc-tơ gồm các đa thức thuần nhất bậc k 5 trong F¿|Z:,. ; z„], ký hiệu P„„, là M(n, F,}mô-đun nên cũng là G-mô-đun.

Cho ƒ là đa thức thuần nhất bậc k trong Fq[z¡,. Ký hiệu V/(G) là G-mô-đun được sinh ra bởi ƒ trong Ƒ„,¿, tức là F„ không gian véc-tơ con của F,„ được sinh bởi tập {ø. Từ đây về sau chúng tôi giả thiết thêm G chứa 7„ và khảo sát các biểu diễn của Œ được sinh ra bởi các bất biến của T„. Đặc biệt, ta xét các bất biến của 7 sau.

; đ,), đặt n P= TL": sal trong đó 7¿ = Vị --- Vị, 1 << m, Vị là các T„ bất biến của H. Mùi [17] được định nghĩa bởi Y= V(t,. Khi 0< 6; <g—1, 1< i< », đối với mọi G 2 T„, Hz(G) là những biểu diễn bất khả qui của Œ. Từ kết quả đóng vai trò mấu chốt này chúng tôi xác định: (1) Tập đầy đủ các biểu diễn bất khả qui của các nhóm con parabolic của nhóm ŒI(», F„) trên, trường F1.

(1ï) Chiều của phủ xạ ảnh của các mô-đun bất khả qui của nhóm GL{(2, Fy) và vành biểu diễn của nó. (iv) Tập đầy đủ các biểu diễn bất khả qui của các nửa nhóm con parabolic của. Ä(n, F„) trên trường Ƒ¿. (v) Mối liên hệ giữa các biểu diễn bất khả qui của nửa nhóm các ma.

trận được xây dựng bằng các bất biến của 7„ và được xây dựng bằng mô-đun Weyl. Luận án ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có 5 chương, trong đó chương 0 để chuẩn bị, thống nhất ký hiệu và nhắc những kết quả đã biết sẽ dùng đến sau này. Điều (ï) được thực hiện trong chương 1. Bằng cách tương tự chúng tôi cũng xác định tập đầy đủ các biểu diễn modula bất khả qui của nhóm affin và chứng tỏ mỗi phủ xạ ảnh của mô-đun bất khả qui của nhóm affin đều được cảm sinh từ phủ xạ ảnh của mô-đun bất khả qui của nhóm tuyến tính tổng quát.

Chương 2 dành cho việc thực hiện điều (ii). Trong chương 3, cùng phương pháp và kỹ thuật như trong chương 2, điều (1i) được thực hiện. Trong chương 4, sử dụng kết quả của chương 1 và lý thuyết biểu diễn nửa nhóm, điều (iv) được thực hiện. Trong một số trường hợp đặc biệt số chiều của các biểu diễn modula bất khả qui của nửa nhóm con parabolic của nửa nhóm các ma.

trận cũng được chỉ ra. Đặc biệt chúng tôi thu được tập đầy đủ các biểu diễn modula bất khả qui của nửa nhóm các ma trận. Cuối chương là việc thực hiện điều (v). Luận án được viết dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy Huỳnh Mùi.

Tác giả xin bày tỏ nơi đây lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy hướng dẫn về sự tận tụy, sự hướng dẫn đầy nhiệt huyết và những giúp đỡ đối với tác giả trong thời gian làm luận án. “Tác giả chân thành cảm ơn PGS. Nguyễn Hữu Việt Hưng về những quan tâm đặc biệt trong thời gian nghiên cứu sinh của tác giả. Tic gid trân trọng cảm ơn trường Đại học Tổng Hợp Hà Nội và Đại học Tổng Hợp Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận án này.

Xin cảm ơn trung tâm CAMICE Hà Nội đã dành cho tác giả nhiều ưu ái trong thời gian chuẩn bị luận án này. Xin cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh của trường Đại học Tổng Hợp Huế và Đại học Sư Phạm Qui Nhơn đã động viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian làm luận én. Cuối cùng những lời thân thương nhất tác giả xin dành cho những người thân và Phương đã chịu nhiều vất vả, hy sinh trong suốt thời gian tác giả làm luận án. CHƯƠNGO0 PHẦN CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về lý thuyết biểu diễn của một đại số hữu hạn chiều sẽ được sử dụng trong luận án.

Hầu hết chúng được trích dẫn trực tiếp từ Curtis và Reiner [8]. Mô-đun ở đây được hiểu là mô-đun trái, không gian véc-tơ là không gian véc-tơ hữu hạn chiều. Cuối chương là các kết quả về bất biến modula của những nhóm tuyến tính.1 Lý thuyết biểu diễn tổng quát. Cho A la đại số có đơn vị, hữu hạn chiều trên trường Ƒ: Nếu chúng ta viét A = @f_,A;, A; là các idean trái không phân tích được, khi đó 4, được gọi là mô-đun chính không phân tích được của đại số A.

Các 4; này là không duy nhất, tuy nhiên, nếu 4 = @ƒ_;; là một phân tích khác thành các idean trái không phân tích được, thì z = s và (sau một cách sắp xếp thứ tự) A¿ % Đ; Chace 4. Định lý sau đây thiết lập quan hệ cơ bản giữa các mô-đun chính không phân tích được của đại số 4 và các 4 mô-đun bất khả qui.11] Cho A; là mô-đun chính không phân tích được của đại số A. ` Khi đó A; có duy nhất mô-đun con cực đại ký hiệu là @A;. Hai mô-đun chính không phân tích được A; và A; là ding cau nếu và chỉ nếu A;/@A; % A; lọA¿.13] Cho A mô đun bất khả qui U, tồn tại mô-đun chính không phân tích được .4, của đại số A sao cho U đằng cấu với A; J@A;.1, có tương ứng 1-1 giữa các lớp đẳng cấu các 4 mô-đun bất khả qui Ư và các lớp đẳng cấu các .4 mô-đun XU), ở đây ký hiệu P(U) là mé-dun chính không phân tích được của đại số A sao cho P(U)/pP(U) ding cấu với U.

P(U) còn được gọi là phủ xạ ảnh của Ữ. Néu A= @%,P la sy phan tich .4 thành tông trực tiếp các idean trái và 1= >, ei, ex € A, thi e; la don vị trái cua P; va BR = Ae;, cdc e; 1a try giao. F; là không phân tích được nếu và chỉ nếu e¿ là nguyên thủy. Cho M là A mô-đun, M có dãy hợp thành và Ae¡ là mô đun chính không phân tích được của A.

Điều kiện cần và đủ để M có nhân tử hợp thành đẳng cấu với Ae; /g@(Ae;) là e; M #0.