Bất đẳng thức tích chập suy rộng kontorovich lebedev fourier và ứng dụng luận án

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. NGUYỄN XUÂN THẢO PGS. TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC. 1 LỜI CAM ĐOAN.

3 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) và Lp (Ω; ρ) .2 Biến đổi tích phân Fourier .1 Định nghĩa và tính chất .2 Bất đẳng thức tích chập Fourier .3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev .1 Tích chập Kontorovich-Lebedev .2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev .4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn 27 1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm .2 Biểu diễn thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ 32 Chương 2. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 34 2.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine .2 Tính chất toán tử .3 Tính không có ước của không .2 Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier .3 Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH- LEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier .1 Bất đẳng thức kiểu Young .2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh .2 Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev .1 Bất đẳng thức kiểu Young .2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh .3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược .3 Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG 82 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón .1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng .2 Tính bị chặn của trường nhiễu xạ sóng âm trên các không gian Lp (R+ ), p > 1 .3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón .2 Thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ .1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ .2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier .3 Ước lượng địa phương .3 Phương trình dạng parabolic .1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev .2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev. 106 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN. 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 108 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy PGS.

Nguyễn Xuân Thảo và PGS. Tất cả các kết quả được trình bày trong Luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào. Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017 Thay mặt tập thể hướng dẫn Tác giả PGS. Nguyễn Xuân Thảo Phạm Văn Hoằng 3 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy PGS.

Nguyễn Xuân Thảo và PGS. Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, những người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành viên trong Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS.

Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến TS.

Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP Hà Nội), TS. Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội), TS. Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) về những giúp đỡ trong quá trình làm NCS. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp thuộc Tổ Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả được học tập, công tác và hoàn thành Luận án.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố mẹ, vợ con, các anh chị em. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án. Tác giả 4 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • R là tập tất cả các số thực. • Rα = {x ∈ R, 0 < x < α}, với α là số thực dương.

• C là tập tất cả các số phức. • <(z) là phần thực của số phức z. • =(z) là phần ảo của số phức z. • C0 (R+ ) là không gian các hàm liên tục trên R+ và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup.

• C 2,1 (R2+ ) là không gian các hàm hai biến u(x, t) khả vi liên tục cấp 2 theo biến x trên R+ và khả vi liên tục theo biến t trên R+. • Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17). • Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18). • ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu S 2 (xem trang 29).

• E là trường sóng điện (xem trang 32). • H là trường sóng từ (xem trang 32). • D1∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xem trang 44)   d2  d N  x x− −x 2  Y dx dx  D1∞ = lim 1 + .  N →∞  (2k − 1)2  k=1 • D∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xem trang 44)   d2  d N  x x− −x 2  Y dx dx  D∞ = lim 1 + .

 N →∞  k2  k=1 5 • B là toán tử vi phân Bessel (xem trang 75). 0 • KL là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23). • L là toán tử vi phân bậc hai được xác định bởi công thức 2   2 ∂ ∂ 2 L= x + 3x +1−x. 0 • Lp (R+ , ρ), 1 6 p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên trên R+ , thoả mãn  Z∞  p1 p kf kLp (R+ ,ρ) = |f (x)| ρ(x)dx < ∞, 0 ở đây ρ(x) là một hàm trọng dương.

• T1,h là biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 6 25) • Th là biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev- Fourier (xem trang 45). f (z) • f (z) = O(g(z)), z → a, có nghĩa là ≤ M < ∞ với mọi z thuộc g(z) vào một lân cận của a. f (z) • f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa là lim = 0. z→a g(z) f (z) • f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa là lim = 1.

Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Bên cạnh những biến đổi tích phân nổi tiếng có vai trò quan trọng trong giải tích toán học nói riêng và các ngành khoa học nói chung như các biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel., những năm 38-39 của thế kỷ trước, hai nhà toán học Nga là Kontorovich M. trong khi nghiên cứu bài toán về nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm đã xây dựng biến đổi tích phân mà sau này được gọi là biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev (xem [29, 30, 67]). Các tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev trong không gian L1 , L2 , công thức biến đổi ngược và các ứng dụng được nghiên cứu sau đó bởi Lebedev N. Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu là KL[f ], được xác định bởi công thức Z∞ KL[f ](y) = Kiy (x)f (x)dx, y ∈ R+ , (0.

Điều đáng chú ý, khác với các biến đổi tích phân kể trên, trong nhân của phép biến đổi tích phân này là hàm đặc biệt Macdonald, một trong những hàm có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên các không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phong phú và sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]). Biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev trên không gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc, biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82]). Cùng với các biến đổi tích phân kể trên, tích chập đối với các biến đổi tích phân này đã được xây dựng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

đã đưa ra định nghĩa tích chập suy γ
rộng f ∗ h với hàm trọng γ của hai hàm f và h đối với ba phép biến đổi 8 Luận án đầy đủ ở file: Luận án full