Bài toán nội suy tổng quát và các bài toán biên trong lớp các toán tử khả nghịch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NỘI or TT PHẠM QUANG HƯNG mbar ee ae tla Ee. s [run gece mar ag MMAR BAI TOAN NOI SUY TONG QUAT VA CAC BAI TOAN BIEN TRONG LOP CAC TOAN TU KHA NGHICH PHAI Chuyên ngành: — Giải tích Mã số : 01.01 Luận văn Phó tiến sỹ khoa học Toán Lý Người hướng dẫn khoa học PGS. Nguyễn Văn Mậu Hà nội - 1995 MỞ ĐẦU Các bài toán nội suy cổ điển của Giải tích đã xuất hiện cách day hon một thế kỷ, khởi đầu bằng các công trình khoa học của các nhà toán học lỗi lạc như Lagrange, Hermite, Newton,. và đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết.

các bài toán biên và trong các bài toán của Vật lý - Toán và của kỹ thuật. Trong khoảng hai mươi năm gần đây, các nhà Giải tích đã tìm thấy cách xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh, nhằm thống nhất các bài toán riêng rẽ thành một lý thuyết trừu tượng tổng quát, và xây dựng các thuật toán hữu hiệu để mô tả lớp nghiệm dưới dạng biểu thức đại số. Hướng này đã được phát triển mạnh mẽ ở Ba lan, Cộng hoà Liên bang Đức, Uc, Mỹ như D. Lý thuyết tổng quát được xây dựng dựa trên việc thay thế các toán tử vi phân, giả vi phân, tích phân và các phép biến đổi hàm bằng các toán tử trừu tượng khả nghịch phải D sao cho tồn tại R € Lạ(X) thoả mãn diéu kién DR = ï.

Khi đó các phương trình truyền thống sẽ có dạng 3`ALD*z=ụ, y€xX k=0 với các điều kiện ban đầu kiểu Cauchy F,D*z =zjk, 2jkCGkerD, 7€{1,.,r;} Chẳng hạn, bài toán nội suy Lagrange được phát biểu như sau Tìm nghiệm ư của phương trình Du = 0 thoả mãn các điều kiện TU C8: ƒ=li2yešh trong đó z; € ker D cho trước, F; là hệ thống các toán tử ban đầu cảm sinh bởi D. Tương tự ta cũng có các mô hình trừu tượng cho các bài toán nội suy kiểu Hermite, Newton. Hầu hết các bài toán tổng quát dạng cổ điển đã được nghiên cứu hoàn chỉnh và lý thuyết khái quát hoá chúng đã được xây dựng chặt chẽ như là một chuyên 1 ngành mới độc lập và có tính tổng hợp rất cao. Lý thuyết này đã được mang một cái tên mới là Giải tích - Đại số.

Tuy nhiên, còn rất nhiều bài toán của Vật lý - Toán và của Kỹ thuật chưa được bao quát trong lý thuyết nêu trên. Bài toán nội suy tổng quát và các bài toán biên đối với đa thức các toán tử khả nghịch phải đã được D.Przeworska - Rolewicz, Nguyễn Văn Mậu, W. Karwowski đưa ra và nghiên cứu từ năm 1988. Các kết quả của các tác giả nói trên đều dựa.

trên tính chất c(R) của lớp toán tử ban đầu đã cho: E,R*z=( 9z, với ReTfRp, z€kerD, cj €7 Bản luận văn này nhằm giải quyết các bài toán hỗn hợp không cổ điển trong lớp các bài toán nội suy và lớp các bài toán biên tương ứng. Đó là lớp các bài toán nội suy tổng quát và lớp các bài toán giá trị biên không đòi hỏi thoả mãn điều kiện c(R). Theo hướng này, các bài toán nội suy trừu tượng tổng quát trong lớp các toán tử ban đầu thoả mãn tính chất c(#) - suy rộng đã được giải quyết trọn vẹn , khong những thế còn mô tả được lớp nghiệm tổng quát dưới dạng hiển. Lớp các toán tử Green đối với bài toán giá trị biên tổng quát cho một toán tử trừu tượng khả nghịch phải đã được xây dựng trong các trường hợp khi các toán tử ban đầu chỉ thoả mãn tính chất c(R) - suy rộng, mà không đòi hỏi các tiêu chuẩn một chiều của hạch như đã được xét trước đây của hầu hết các tác giả.

Dựa trên công thức Green, đã biểu diễn được lớp nghiệm của bài toán nội suy dưới dạng hiển qua các kết thức của bài toán tổng quát đã nêu. Các toán tử giải của bài toán giá trị biên đối với đa thức các toán tử khả nghịch phải đã được xây dựng khi lớp các toán tử ban đầu chỉ đòi hỏi thoả mãn tính chất c(Ñ) - suy rộng. Dựa trên tính khả nghịch, khả nghịch một phía, khả nghịch suy rộng của kết thức đã khảo sát chỉ tiết tính thiết lập đúng đắn của bài toán giá trị biên hỗn hợp. Trong trường hợp tổng quát, khi các ràng buộc đối với lớp các toán tử ban đầu của bài toán nội suy Lagrange không đòi hỏi thoả mãn, các tiêu chuẩn độc lập tuyến tính mạnh của hệ các toán tử ban đầu đã được đưa ra nhằm chứng minh tính thiết lập đúng đắn của bài toán đã nêu và đồng thời chỉ ra rằng các tiêu chuẩn nhận được là các điều kiện cần và đủ.

Từ đó cho phép mô tả được các mối quan 2 hệ giữa tiêu chuẩn khả nghịch của các ma trận cơ bản cảm sinh từ bài toán đã nêu với các dữ kiện ban đầu của các điều kiện Cauchy tổng quát. Các tiêu chuẩn tổng quát nêu ở trên đã được áp dụng để biểu diễn nghiệm của bài toán nội suy cổ điển tổng quát, mà các trường hợp riêng là các bài toán nội suy Lagrange, Hermite, Newton,. Thuật toán đã được nghiên cứu hoàn chỉnh cả về mặt lý thuyết và trong lĩnh vực áp dụng. Ở đây cũng đưa ra được điều kiện cần và đủ để bài toán nội suy tổng quát có nghiệm duy nhất và phương pháp xây dựng nghiệm dưới dạng hiển.

Luận văn được chia thành ba chương. Trong chương Ï trình bay các tính chất của toán tử khả nghịch phải. Định nghĩa toán tử khả nghịch phải, khả nghịch trái và khả nghịch suy rộng được đưa ra trong §1. Trong §2 trình bày khái niệm toán tử ban đầu, các tính chất của toán tử ban đầu, công thức Taylor - Gontcharov và tính chất c(R) của toán tử ban đầu.

Để giải quyết các bài toán hỗn hợp không cổ điển trong lớp các bài toán nội suy và lớp các bài toán biên, trong §3 đã xây dựng tính chất c(†‡) - suy rộng của các toán tử ban đầu. Trong chương II xét các bài toán nội suy. Trong §4 đưa ra điều kiện cần và đủ để bài toán nội suy cổ điển tổng quát có nghiệm duy nhất và phương pháp xây dựng nghiệm dưới dạng hiển. Trong §5 sử dụng tính chất c(†) - suy rộng của hệ các toán tử ban đầu để giải quyết bài toán nội suy trừu tượng tổng quát và cho công thức nghiệm dưới dạng hiển.

Trong trường hợp tổng quát, khi lớp các toán tử ban đầu của bài toán nội suy Lagrange không đòi hỏi thoả mãn ràng buộc nào, trong §6 đưa ra tiêu chuẩn độc lập tuyến tính mạnh của hệ các toán tử ban đầu và chứng minh tiêu chuẩn đó là điều kiện cần và đủ để bài toán đã nêu là thiết lập đúng đẳn. Chương III của luận án nhằm nghiên cứu các bài toán biên cơ bản. Trong §7, xét tính thiết lập đúng đẳn của bài toán giá trị biên hỗn hợp dựa trên tính khả nghịch, khả nghịch một phía hoặc khả nghịch suy rộng của kết thức. Trong §8, xây dựng các toán tử giải của bài toán giá trị biên đối với đa thức các toán tử khả nghịch phải khi lớp các toán tử ban đầu chỉ đòi hỏi thoả man tinh chat c(R) - suy rộng.

Toán tử Green đối với bài toán giá trị biên với toán tử khả nghịch phải DW được xây dựng trong các trường hợp khi các toán tử ban đầu chỉ thoả mãn tính chất c() - suy rộng, đã được trình bày trong §9. Cũng trong §9, dựa trên công 3 thức Green, biểu diễn được lớp nghiệm của bài toán giá trị biên tổng quát đối với đa thức của các toán tử khả nghịch phải. Các kết quả của luận văn đã được báo cáo tại các Hội nghị và Xêmina sau đây: Hội nghị khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Tổng hợp Hà nội năm 1991, 1994, Xêmina Giải tích - Đại số trường Đại học Tổng hợp Hà nội, Xêmina Giải tích số trường Đại học Tổng hợp Hà nội, Xêmina Phương trình Vật lý - Toán liên trường Đại học Bách khoa và Đại học Tổng hợp Hà nội. Các kết quả của luận văn đã được công bố trong [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24].

: Chương I TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI §1. TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH MỘT PHÍA VÀ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường Z (ở đây F = R hoac Z=€), L(X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính tác động trong X. Ký hiệu: Lạ(X) = {A € L(X): dom A = X}. D € L(X) được gọi là toán tử khả nghịch phải nếu tồn tại R € L,(X) sao cho ImRcdomD và DR=I, (1.0) trong đóT là toán tử đồng nhất.

Khi đó toán tử được gọi là một nghịch đảo phải của D. Giả sử z là một phần tử cố dink tuy ¥ cla X vA D € R(X). Khi đó tập Rpz = {R,z},er duoc goi la tich phan khéng xdc dinh ctia z. M6i phan tt Ryz (ở đây y €T) được gọi là một nguyên hàm của z.

Tir định nghĩa ta thấy, nếu là một nguyên hàm của z thì Dụ = z. Thực vậy, ton tai y ET sao cho y = Ryz. Khi do Dy = DR,z =z (vi DR, = 1). Ky hiéu: ker D = {z € dom D: Dz = 0}, z gọi là hằng số.

Nếu D € R(X) va RE Rp, thi D*R* =T, Vkc NT. (quy nạp) Đối với k = 1 ta có DR = ÏT. Giả sử D*R* = ï với k nguyên dương bất kỳ, khi đó Dt†+!R*?! — D(D*R*)R = DR = I. Giả str D € R(X), Ri, Ro € Ro vay.

= Riz, y2 = Row voi xz eX. Khi dé y — yo € ker D. That vay, Dy — ye) = Dụi — Dựa = DRịz— DR¿ạz = z— z =0, từ đó 1 — 1⁄2 € ker D. Từ mệnh đề trên ta thấy: Hiệu của hai nguyên hàm đối với một phần tử z € X là một hằng số.

Điều này chứng tỏ rằng nếu biết ít nhất một nguyên hàm thì tất cả các nguyên hàm khác đều có thể nhận được bằng cách cộng thêm một hằng số. Từ đó ta có mệnh đề sau. Nếu D € R(X) va RE Rp thi tich phan khéng xdc dinh cua xz € X cé dang Rp« = {Rx +z:z€ kerD} = Re +kerD. Néu D € R(X) va RE Rp thi dom D = RX @ ker D.

Nếu z € dom D, thì có thể viết z = u+o với u = RDz, v = (I-RD)z. Tir dinh nghĩa của u, ta có u € RX và Du = D(I~ RD)+ = Dr—(DR)D+ = Dz— Da =0.