Luận án tiến sĩ một số quá trình ngẫu nhiên phân thứ và ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- NGUYỄN TIẾN DŨNG mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- NGUYỄN TIẾN DŨNG mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TRẦN HÙNG THAO Hµ Néi - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Dũng i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.

Trần Hùng Thao, người Thày đã và đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên cứu khoa học rất nhiệt tình, giúp tôi ngày càng có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành bản luận án này. Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên trong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học. Đặc biệt tôi muốn cảm ơn GS. Nguyễn Văn Hữu, người đã cho tôi tham gia xê mi na Toán tài chính của ông và luôn cho tôi những lời nhận xét quý báu.

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học đã tạo những điều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành thủ tục bảo vệ luận án. Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc của mình đến gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã rất hiểu và luôn đứng bên cổ vũ tôi. Hà nội, 03/2011 NCS: Nguyễn Tiến Dũng. ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Chuyển động Brown phân thứ 5 1.1 Định nghĩa và các tính chất .2 Tính chất nhớ lâu của fBm .3 Biểu diễn Volterra của fBm .4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo .1 Tích phân phân thứ tất định .2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ.

15 2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale 17 2.1 Các kết quả xấp xỉ .2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ .1 Định nghĩa tích phân .2 Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích .3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ .1 Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ 27 iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ với hệ số dịch chuyển đa thức .3 Các quá trình hồi phục trung bình hình học phân thứ .4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ. 46 3 Các ứng dụng trong Tài chính 49 3.1 Mô hình quản lý tài sản và nợ trong bảo hiểm .2 Mô hình Black-Scholes phân thứ .1 Mở rộng kết quả xấp xỉ .2 Mô hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ. 59 Kết luận 68 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Phụ lục 77 A Tính toán Malliavin 77 A.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô .1 Tích phân Itô lặp .2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô .2 Tích phân Skorohod .1 Tích phân Skorohod .2 Các tính chất cơ bản của tích phân Skorohod .3 Tích phân Skorohod là một mở rộng của tích phân Itô .3 Đạo hàm Malliavin .1 Tính toán đạo hàm Malliavin. 84 iv TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod.

85 B Bổ đề Gronwall 87 v TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bảng ký hiệu h.c sự hội hầu chắc chắn L2 (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích ∥.∥ Chuẩn trong không gian L2 (Ω) Γ(α) Hàm Gamma N (0, 1) Biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn P − → sự hội tụ theo xác suất 2 L (Ω) −−−→ sự hội tụ trong L2 (Ω) ucp hội tụ đều theo xác suất C λ [a, b] Không gian các quá trình ngẫu nhiên λ-Hölder liên tục h.c trên đoạn [a, b] − ∩ C λ [a, b] C µ [a, b] 0<µ<λ vi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Wiener đã có những phát triển rực rỡ trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Gần đây, người ta bắt đầu khám phá ra rằng lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên với nhiễu Wiener (hay tổng quát hơn là nhiễu martingale hoặc nhiễu có tính chất Markov) là không đủ để mô tả nhiều bài toán thực tiễn trong viễn thông, định giá tài sản hay bất kỳ chủ thể nào có tính chất "nhớ lâu". Và nhu cầu tự nhiên nảy sinh là cần tìm các quá trình ngẫu nhiên thay thế cho nhiễu Wiener để khắc phục điều đó. Chuyển động Brown phân thứ (fBm) là một trong các quá trình ngẫu nhiên như vậy.

Mặc dù fBm được đề cập đến bởi A. Kolmogorv [33] từ những năm 1940 nhưng phải đến năm 1968, sau bài báo của Madelbrot về biểu diễn hiển của fBm và các áp dụng của nó [38], fBm mới dần bắt đầu thu hút được các tác giả khác quan tâm nghiên cứu. Khó khăn chính trong việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên đối với fBm là bởi vì fBm không phải là một semimartingale hay là một quá trình Markov. Do đó các tính toán ngẫu nhiên Itô cổ điển không thể áp dụng được và ta cần xây dựng hẳn một lý thuyết mới cho hệ động lực ngẫu nhiên điều khiển bởi fBm.

Trong khoảng 16 năm trở lại đây, tức là bắt đầu từ những năm 1995, tính toán ngẫu nhiên đối với fBm mới đạt được các phát triển rực rỡ. Một loạt các bài báo được xuất bản nhằm giải quyết các bài toán cơ bản của tính toán ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com nhiên phân thứ, công thức Itô phân thứ, sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, bài toán lọc tối ưu, các kết luận thống kê về các quá trình phân thứ,. Các hướng nghiên cứu chính có thể tóm tắt như sau: (i) Phương pháp tính toán Malliavin: Decreusefond & Üstünel (1995, 1999), Coutin & Decreusefond (1999), Alos, Mazet & Nualart (1999, 2000). Bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ vẫn mở, ngay cả đối với dạng tuyến tính đơn giản nhất.

(ii) Phương pháp tính toán Wick: Duncan, Hu & Pasik-Duncan (2000) đã sử dụng tích Wick thay cho tích thông thường trong tổng Rie- mann khi định nghĩa tích phân và khi H = 12 họ nhận được tích phân Itô cổ điển. Có thể nói đây là định nghĩa thành công nhất theo nghĩa mở rộng tích phân Itô cổ điển, tuy nhiên hướng nghiên cứu này ít được sử dụng trong các bài toán ứng dụng bởi công thức định nghĩa tích phân không phù hợp với ý nghĩa ứng dụng trong tài chính (Bjork & Hult (2005)). (iii) Phương pháp tính toán theo quỹ đạo: Lyons (1994) sử dụng phương pháp "phân tích quỹ đạo thô" để xây dựng tích phân và chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng sơ đồ lặp Picard. Zähle (1998, 1999) sử dụng các tính toán phân thứ tất định để mở rộng tích phân Lebesgue-Stieltjes cổ điển và áp dụng tới fBm, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên được chứng minh bởi Nualart & Răşcanu (2002) cho H > 12.

Về phương diện ứng dụng mà nổi bật là ứng dụng trong Tài chính, fBm là một công cụ rất phù hợp để mô tả diễn biến của các quá trình giá phái sinh có tính chất "nhớ lâu". Giữa một số lượng lớn các bài báo đã xuất bản, có thể kể đến các bài báo nổi bật của Rogers (1997), 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Comte & Renault (1998), Cheridito (2001, 2003), Hu, Øksendal & Sulem (2003), Biagini et al. Đặc biệt là quyển sách của Doukhan, Oppenheim & Taqqu (2003) cho một tổng hợp đầy đủ về lý thuyết và ứng dụng của các quá trình nhớ lâu. Vào năm 2003, một phương pháp xấp xỉ fBm bởi các semimartin- gale trong không gian L2 (Ω) được đề xuất bởi T.

Thao đã được vận dụng bước đầu vào tính toán ngẫu nhiên phân thứ. Mục đích của Luận án này là nhằm phát triển phương pháp xấp xỉ ấy. Ưu điểm của phương pháp này là thay vì phải xây dựng một lý thuyết mới cho tính toán ngẫu nhiên đối với fBm, chúng ta vẫn sử dụng được các tính toán ngẫu nhiên cổ điển đã biết (Itô, Skorohod). Từ đó mở ra khả năng nghiên cứu được các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, đặc biệt chúng tôi tìm được công thức định giá quyền chọn mua phân thứ kiểu châu Âu trong khi nhiều phương pháp khác là chưa làm được.

Luận án gồm ba chương và được cấu trúc như sau: Trong Chương 1, sau khi giới thiệu về fBm: định nghĩa và các tính chất của nó, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn tích phân ngẫu nhiên phân thứ giới thiệu bởi Zähle, kiểu định nghĩa tích phân được sử dụng trong Chương 3 của Luận án này. Đóng góp chính của Luận án được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Trong Chương 2, đầu tiên chúng tôi nhắc lại kết quả đã biết về xấp xỉ semimartingale của fBm và một định nghĩa cho tích phân ngẫu nhiên phân thứ như là giới hạn trong L2 (Ω) của tích phân đối với semimartin- gale. Sau đó, một vài lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích được đưa ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng hai kiểu định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ là trùng nhau đối với một lớp các quá trình ngẫu nhiên phù hợp.

Trên cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm cho một vài lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có ứng dụng quan trọng trong thực hành. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng quát vẫn là một bài toán mở. Trong chương này, 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com chúng tôi cũng nghiên cứu bài toán lọc cho một hệ động lực ngẫu nhiên phân thứ tuyến tính.