Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Đăng Quang 2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ.

12 Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi .1 Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tôpô theo nón .2 Tính bậc tôpô của một số ánh xạ .3 Tính bậc trên các miền đặc biệt.4 Bậc tôpô của ánh xạ khả vi .5 Ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị .6 Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị .2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi. ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ LỚP BAO HÀM THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI .1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương .2 Các kết quả chính .2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi .2 Các kết quả chính .3 Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi .2 Chuyển về bài toán điểm bất động .3 Các kết quả chính. 96 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ. 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

99 4 MỞ ĐẦU Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bất động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm. Định lý điểm bất động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả cầu tâm  (phần tử zero của không gian định chuẩn) thì không khẳng định được điểm bất động tìm được là khác  , trong khi các phương trình mô tả các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm  và ta cần tìm nghiệm khác .

Hạn chế này được khắc phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Schauder xây dựng và được phát triển trong các công trình của M. Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact). Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm.

Ví dụ, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,. Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff về tích các không gian compact, Định lý Hahn – Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm. Tuy nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong công trình của M. Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950 – 1970 trong các công trình của M.

Krasnoselskii và các học trò, của N. Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay. Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y – Sinh học, Kinh tế học,. vì những ưu điểm sau: 5 - Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi,.

là những tính chất cần có của nghiệm của các bài toán xuất phát từ các mô hình thực tế. - Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tục,. là những tình huống thường gặp trong thực tế. - Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính,. mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xạ đa trị (hay cũng gọi là các bao hàm thức). Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Định lý Banach-Caccioppoli, Định lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz, bất đẳng thức Ky Fan,.

Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị lồi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Fitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bất động của M. Krasnoselskii, Leggett – Williams đã được chứng minh cho các ánh xạ đa trị và được ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tài liệu tham khảo trong đó).

Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp. Gần đây, với việc sử dụng các dạng thứ tự thích hợp giữa các tập hợp mà quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7, 38, 51, 54, 57, 65, 67, 68]. Để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến 6 tính (ví dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không lồi cũng được xây dựng. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi, cho lớp ánh xạ dạng P T với T là ánh xạ đa trị lồi, P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vì phân.

Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể. Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng. Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự 1.

Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi Ở mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết quả dễ áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phần này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó. Sau đó chúng tôi áp dụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô để chứng minh các kết quả sau:  Sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii, Định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đơn trị.

 Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về . Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [TG1], [TG2]. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi Trong bài báo [2], R. Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng P T , trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuẩn và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thể không tuyến tính), liên tục đối với tôpô yếu và tôpô-chuẩn.

Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô () -yếu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô này mới được sử dụng để chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder về tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm . Kết quả này không đủ để thu được điểm bất động không tầm thường của các bao hàm thức.

Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tôpô của R. Các kết quả này được được công bố trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 để chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển 2. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương Trong mục này chúng tôi xét bài toán  x ''(t )  f  t , x(t )  , 0  t  1 , (1)   m2   x (0)  u ( x ), x (1)   i 1  i x( i ) (m  3), (2) trong đó, 1 + u:K   là phiếm hàm xác định bởi u ( x)   x ( s) ds (0    1) , 0 K   x  C [0,1] : x(t )  0, t  [0,1] , u ( x) là số hạng phi địa phương trong điều kiện biên.