Luận án tiến sĩ: Tính chất định tính nghiệm phương trình có trễ và trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Vũ Thị Ngọc Hà 2. Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020 luan an LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) và PGS.

Đặng Đình Châu (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội). Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai người hướng dẫn của mình, những người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS. Nguyễn Thiệu Huy, một nhà khoa học, người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Trong thời gian làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ của các thầy cô trong bộ môn Toán Cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán Ứng dụng và Tin học. Đặc biệt là nhứng đóng góp, chia sẻ, động viên của các thành viên trong nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, do PGS. Nguyễn Thiệu Huy điều hành, tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô và những thành viên trong nhóm seminar.

Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôi vững tâm học tập và nghiên cứu. Nghiên cứu sinh i luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính là công trình nghiên cứu của riêng tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Thị Ngọc Hà và PGS.

Đặng Đình Châu. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Hà Nội, ngày. năm Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS.

Vũ Thị Ngọc Hà PGS. Đặng Đình Châu Trịnh Xuân Yến ii luan an MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 2 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu. Kết quả của luận án. Cấu trúc của luận án. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.1 Không gian hàm .1 Không gian hàm Banach chấp nhận được .2 Bất đẳng thức nón .1 Nửa nhóm, toán tử sinh và giải thức .2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm .3 Nhị phân mũ, tam phân mũ của họ tiến hóa.

ĐA TẠP TÍCH PHÂN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH 20 2.1 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trên nửa trục .2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính .3 Đa tạp không ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. 42 iii luan an Chương 3. ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH TRÊN NỬA TRỤC 70 3.1 Sự tồn tại nghiệm và đa tạp ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính .2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN 95 4.1 Không gian giảm nhớ .2 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn .3 Đa tạp tâm ổn định bất biến của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn.

115 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 119 1 Những kết quả đã đạt được. 119 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo. 119 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 CHỈ MỤC 128 iv luan an MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập các số tự nhiên R : tập các số thực R+ : tập các số thực không âm  Z  p 1/p Lp (R) := u : R → R : kukp = ( |u(x)| dx) < +∞ , 1 ≤ p < ∞ R L∞ (R) := {u : R → R : kuk∞ = ess sup |u(x)| < +∞} x∈R L1,loc (R) := {u : R → R | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R} trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R  Z t+1  M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞ , t≥0 t Z t+1 với chuẩn kf kM := sup |f (τ )|dτ t≥0 t EI : không gian hàm Banach chấp nhận được trên I X : không gian Banach C := C([−r, 0], X) không gian các hàm u(·) liên tục trên [−r, 0], r > 0, nhận giá trị trong X được trang bị chuẩn kukC = sup ku(t)k t∈[−r,0] Cγ : không gian các hàm φ(·) liên tục trên (−∞, 0], nhận giá trị trong X kφ(θ)k và lim = 0, được trang bị chuẩn θ→−∞ e−γθ kφ(θ)k kφkγ = sup −γθ , γ > 0 θ≤0 e Cb (R+ , X) : không gian các hàm u(·) liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định trên R+ được trang bị chuẩn kuk∞ = sup ku(t)k. t∈R+ 1 luan an MỞ ĐẦU 1.

Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm là một trong các vấn đề cốt yếu trong việc nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính. Việc nghiên sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì mặt khác nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định. Mặt khác, nhờ tính hút của đa tạp bất biến, ta có thể sử dụng được nguyên lý thu gọn để đưa việc nghiên cứu phương trình vi phân (đạo hàm riêng) ban đầu về các phương trình đơn giản hơn trên đa tạp này từ đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm khi thời gian đủ lớn. Các kết quả ban đầu thu được bởi Hadamard [1], Perron [2, 3], Bigoliubov và Mitropolsky [4, 5] về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phân trong Rn.

Sau đó, Daleckii và Krein [6] đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với nghiệm của phương trình nửa tuyến tính trong không gian Banach với toán tử tuyến tính bị chặn. Tiếp theo, Henry [7] đã phát triển các kết quả này về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem [8, 9, 10, 11, 12]). Huy [13] đã chỉ ra sự tồn tại của của đa tạp bất biến đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm nửa tuyến tính trong không gian Banach với số hạng phi tuyến là ϕ-Lipschitz, nó là cả quá trình khó khăn và phức tạp.

Hơn nữa, Huy [14] đã chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới, cụ thể là đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được. Những đa tạp như vậy bao gồm quỹ đạo của nghiệm thuộc vào lớp không gian hàm Banach 2 luan an chấp nhận được, đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Nhìn vào lịch sử quá trình nghiên cứu về đa tạp tích phân đối với nghiệm của phương trình vi phân ta nhận thấy có một số hướng xử lý và điều kiện chính ở đây: ˆ Thứ nhất là về phương pháp nghiên cứu, có hai phương pháp chính là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hóa thành phương pháp biến đổi đồ thị và đã được sử dụng trong một số công trình [15, 16] để chứng minh sự tồn tại của đa tạp tích phân.

Phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov- Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hóa, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tích phân (xem các công trình [17, 18, 6, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 11] cùng các tài liệu tham khảo trong đó về vấn đề này). ˆ Thứ hai là về điều kiện của số hạng phi tuyến.

Số hạng phi tuyến thời gian đầu hầu hết đều được lựa chọn thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ (xem [8, 17, 23, 6, 16, 11, 24]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình phản ứng-khuếch tán, trong đó số hạng phi tuyến đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển [25, 26, 27].