Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ KIM OANH SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ KIM OANH SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thiệu Huy. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào.

Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định. Hà Nội, ngày 24 tháng 7 năm 2023 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS. Nguyễn Thiệu Huy Trần Thị Kim Oanh i LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Đại học Bách khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thiệu Huy.

Thầy là một nhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã luôn động viên, chỉ phương hướng mỗi khi tôi gặp khó khăn trong con đường nghiên cứu. Được sự chỉ dẫn nhiệt tình, những đóng góp quý báu của thầy đã giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phương trình vi phân và ứng dụng” tại Đại học Bách khoa Hà Nội do PGS.

Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Và ở đó cũng là nơi để giao lưu, trao đổi và tạo động lực trong con đường học tập và nghiên cứu của tôi. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các Phòng, Ban liên quan, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học và bộ môn Toán cơ bản và các đồng nghiệp thân yêu tại Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới chồng, con, bố mẹ tôi, đến toàn thể gia đình và bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôi vững tâm học tập và nghiên cứu.

Nghiên cứu sinh ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 3 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu.

Kết quả của luận án. Cấu trúc của luận án. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 Nửa nhóm và họ tiến hóa các toán tử tuyến tính .1 Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh .2 Nửa nhóm liên hợp .3 Nửa nhóm giải tích .4 Nửa nhóm hyperbolic .2 Không gian hàm, không gian nội suy .1 Không gian nội suy thực .2 Không gian Lorentz .3 Phép chiếu Helmholtz. PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH 19 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính .1 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất .2 Nghiệm tuần hoàn .1 Phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn .2 Nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss.

NỬA NHÓM (X, Y, ϕ) ỔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 28 3.1 Tính ổn định và tính tuần hoàn .1 Phương trình tiến hóa tuyến tính: Ổn định kéo theo tuần hoàn .2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính .1 Phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn .2 Phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi .3 Phương trình sóng. PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHÔNG Ô- TÔ-NÔM 51 4.1 Phương trình tuyến tính không ô-tô-nôm .2 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất .3 Nghiệm tuần hoàn .2 Phương trình phi tuyến .1 Nghiệm tuần hoàn .2 Tính ổn định của nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn. 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 69 1 Những kết quả đã đạt được. 69 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo.

70 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 v MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp các số tự nhiên. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm. X : Không gian Banach.

P : Phép chiếu Helmholtz. L(X) : Không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X. x∈R  Z 1/p Lploc (Ω) := u : Ω → X : ku(x)kp dx < ∞} Ω0 với Ω0 ⊂ Ω là tập compact và 1 ≤ p < ∞. W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k và 1 ≤ p < ∞}   p1 X với chuẩn kukk,p :=  kDα ukpp .

|α|≤k W k,∞ (Ω) := {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k} với chuẩn kukk,∞ := max kDα uk∞. x,y∈R+ ,x6=y |x − y|θ K(t, x) := inf {kx0 kX0 + tkx1 kX1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }. t→0 t→∞ C k (Ω, X) : Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục trên Ω, nhận giá trị trong X. C ∞ (Ω) : Không gian các hàm khả vi mọi cấp trên Ω.

C0∞ (Ω) : Không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,. dưới những điều kiện tổng quát, chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khoa học vũ trụ, khí tượng học, công nghiệp, dầu mỏ,. Một số phương trình thủy khí cơ bản, quan trọng mà hiện nay đang quan tâm như phương trình Navier-Stokes, Oldroyd-B,.

Một trong những hướng nghiên cứu đang rất thời sự nhắm đến việc tìm hiểu tính chất định tính của nghiệm khi thời gian đủ lớn đó là hướng nghiên cứu về tính ổn định, không ổn định, tính tuần hoàn của nghiệm để từ đó đánh giá được quy mô và tính chất của dòng chất lỏng trong tương lai. Để có thể sử dụng những công cụ hiện đại của toán học, ta cần xét phương trình cơ học chất lỏng dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp ưu việt của toán để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó. Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định, bị chặn của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiến hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian. Đã có nhiều phương pháp nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa như sử dụng phương pháp nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động của Tikhonov [3], hay hàm Lyapunov [4] được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể.

Phương pháp phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là ngyên lý Masera, đó là sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúng compact [3, 4, 5, 6] để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng cụ thể ví dụ như với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn thì sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạt được 3 (bởi vì không dễ dàng tìm được điểm ban đầu phù hợp để có tính bị chặn của nghiệm) cũng như các trường hợp các phép nhúng compact này không còn đúng nữa thì theo phương pháp của Masera sẽ gặp khó khăn. Năm 1959, Serrin [7] đã đưa ra phương pháp khác để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes (NSE) đó là chứng minh tính ổn định của nghiệm trong không gian L2 trong miền bị chặn từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Kết quả của Serrin mở đầu cho hướng nghiên cứu nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes.

Hướng nghiên cứu này được mở rộng sâu hơn bởi Miyakawa và Teramoto [8], Kaniel và Shinbrot [9], Maremonti, Kozono và Nakao [10]. Kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình (NSE) trên miền ngoại vi được nghiên cứu bởi Maremonti và Padula [11]. Sau đó, mở rộng phương pháp của Serrin, Galdi và Sohr [12] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (NSE) trong miền ngoại vi. Năm 2000, Yamazaki [13] sử dụng không gian nội suy của các không gian Lp yếu và phương pháp lặp [14], [15] chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn trong miền ngoại vi.

Một số kết quả mở rộng trong miền ngoại vi, chúng ta có thể nhắc tới Taniuchi [16], van Baalen và Wittwer [17], Galdi và Silvestre [18]. Gần đây, phương pháp của Yamazaki tiếp tục được mở rộng bởi Nguyễn Thiệu Huy cùng cộng sự [19, 20, 21, 22] đưa ra một số kết quả về sự tồn tại nghiệm bị chặn, sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định của chúng trong lớp phương trình tiến hóa và phi tuyến, sau đó áp dụng vào một số phương trình động lực học thủy khí cụ thể như phương trình Oseen- Navier-Stokes trong miền ngoại vi, phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn, phương trình Oldroyd-B,. Chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện và mở rộng các kết quả tính bị chặn, tính ổn định, sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa và áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí cụ thể. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí.

Đề tài nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa, áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu 3 dạng phương trình sau: 4 • Dạng 1.