Luận án tiến sĩ: Phương pháp FECC giải bài toán đạo hàm riêng

DẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ ĐỨC CẦM HẢI LUẬN AN TIÊN SĨ TOÁN HỌC TP. Hồ Chí Minh - Năm 2024 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ ĐỨC CAM HAI PHƯƠNG PHAP PHAN TỬ HỮU HAN TRUNG TAM TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN ĐẠO HÀM RIÊNG Ngành: Toán Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.

Nguyễn Thành Nhân Phản biện 2: TS. Nguyễn Minh Quân Phản biện 3: PGS. Nguyễn Tuấn Duy Phản biện độc lập 1: PGS. Nguyễn Thành Nhân Phản biện độc lập 2: PGS.

Lê Phương NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Ông Thanh Hải 2. Hoàng Thị Thảo Phương TP. Hồ Chí Minh - Năm 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Giải tích, với đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đạo hàm riêng" là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Ông Thanh Hải và Tiến sĩ Hoàng Thị Thảo Phương.

Các kết quả mà tôi viết chung với các tác giả đều được sự đồng thuận để đưa vào luận án này. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Võ Đức Cẩm Hải 11 LỜI CÁM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Ông Thanh Hải, Tiến sĩ Hoàng Thị Thảo Phương, đã giới thiệu đề tài, gợi ý cho tôi nhiều vấn đề và ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án cũng như tận tình giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn và cấp Cơ sở đào tạo, là các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh giá và bình luận quý báu cùng với những đề nghị quan trọng nhằm tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận án.

Tôi trân trọng cẩm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích, Bộ môn Ứng dụng Tin học và Phòng Sau Dai học của Trường Dai học Khoa học tự nhiên, Dai học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận án. Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn đối với các đồng nghiệp thân thiết ở Khoa Toán — Tin học đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận án. Cuối cùng, tôi xin dành tất cả tình yêu thương cho gia đình, bạn bè và người thân của tôi, sự quan tâm của họ góp phần không nhỏ vào việc hoàn thành luận án này. IV Ce iii Ce, iv Ce .ằšĂẰ 1 PONG QUAN) Phương pháp phan tử hữu han trung tam phi 1.2 Phuong pháp FECC] .1 Xây dung ludi}.3 Hệ tuyến tính của phương pháp FECC| .3 Phương pháp MNEECC|L.4 Tính chất toán hoc của MNFECC 15 Kết quảsố|.1 Bài toán có nghiệm giải tích 1.2 Bài toán không có nghiệm giải tích 16 Kétluan).

eee 33 CHƯƠNG 2. [Phương pháp phan tử trung tâm lưới lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không nén được trên lưới tổng quát trong hai chiều 2. ko 34 221 Mô hình bài toán|.2 Bài toán rời rạc|.3 Bai toán đàn hồi tuyến tính tai trang thái gần như không nén|.1 Mô hình bài toán.2 Bài toán rời rạc|.3 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bài toán (2.41 Bài toán mang Cook}. c Q Q Q Q Q Q Q n2 xxx 2x v2 62 CHƯƠNG 3.

[Phương pháp phan tử trung tâm lưới lệch cho bài 3.3 Xây dựng lưới .1 Lưới banđầu.3 Lưới kép phụ tứ diện|.4 Phương pháp 3D S5C-EFBEBM|I.1 Trường hợp đàn hồi tuyến tinh tai trạng thái nén 3.2 Trường hợp đàn hồi tuyến tính tại trạng thái gần như ne 79 3.1 Kiểm tra kết quả số “3D Patch|.2 Dài toán với nghiệm chính xác: chuẩn L? và H! CHƯƠNG 4. , Danh mục công trình của tac giải. 99 Tai liệu tham khao|).084 100 Danh sach ky hiéu NLCDRR Nguyên lý cực đại rời rac FECC Cell-centered finite element method Phương pháp phan tử hữu han trung tâm MNFECC Monotone nonlinear cell centered finite element method Phương pháp phan tử hữu han trung tam phi tuyến đơn điệu MFD Mimetic finite difference method Phương pháp giả sai phân hữu han MFV Mixed finite volume method Phương pháp hỗn hợp thể tích hữu han FVM Finite volume method Phương pháp thé tích hữu han DDFV Discrete duality finite volume method Phương pháp rời rạc đối ngẫu thể tích hữu hạn SC-FEM Staggered cell-centered finite element method Phương pháp phan tử hữu han trung tâm lưới lệch Tổng quan Cấu trúc của luận án bao gồm phần tổng quan, ba chương chính, kết luận, danh mục công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chính của chúng ta sẽ được trình bày lần lượt trong các Chương 1, 2 và 3 với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1, chúng ta trình bày một phương pháp phần tử hữu hạn trung tam đơn điệu phi tuyến (MNFECC), cho các bài toán khuếch tán trong môi trường vật chất không đẳng hướng và không đồng nhất, trên lưới ban đầu tổng quát.

Phương pháp này thỏa nguyên lý cực đại rời rac (NLCDRR), xem Định nghĩa [1.3| Thêm nữa, phương phap MNFECC được chứng minh thỏa tính cưỡng bức và liên tục. Từ các kết quả số khi so sánh với các phương pháp số khác, phương pháp MNFECC là hiệu quả hơn về độ chính xác, chi phí tính toán va đáp ứng NLCDRR. Chương 2, chúng ta trình bày một phương pháp số mới, gọi là phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm lưới lệch (SC-FEM) cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén và trạng thái gần như không nén trong hai chiều. Phương pháp SC-FEM trình bay quá trình xây dựng lưới kép và lưới kép phụ tam giác từ lưới tổng quát ban đầu.

Tiếp đến, chuyển vị được xấp xỉ bởi các hàm Lagrange từng phần bậc 1 trên lưới kép phụ này, và trong trường hợp bài toán tuyến tính tại trạng thái gần như không nén, áp suất được xấp xỉ bởi hàm hằng số từng phần trên lưới kép. Phương pháp SC-FEM là dạng phần tử trung tâm (cell-centered), nghĩa là nghiệm xấp xỉ được tính toán tương ứng tại từng phần tử của lưới ban đầu (đối với chuyển vị) và của lưới kép (đối với áp suất). Bên cạnh đó, phương pháp này được chứng minh tính ổn định và hội tụ. Thêm nữa, tại trạng thái đàn hồi tuyến tính gần như không nén, tính ổn định của phương pháp được chứng minh bằng cách sử dụng kỹ thuật 2 marco-element (xem Định lý b.

Từ kết quả số so sánh với các phương pháp khác, phương pháp SC-FEM có độ chính xác, ổn định hơn. Trong Chương 3, chúng ta trình bày một phương pháp số được mở rộng từ phương pháp phần SCFEM đã được đề xuất và đánh giá ở [I], để áp dụng cho bài toán đàn hồi tuyến tính trong ba chiều, được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm lưới lệch trong ba chiều (3D SC-FEM). Từ một lưới tổng quát ban đầu trong ba chiều, phương pháp 3D SC-FEM trình bày quá trình xây dựng một lưới kép đa diện và lưới kép phụ tứ diện, trong đó mỗi phần tử lưới kép (phần tử macro-element) chứa một tập hợp các phần tử tứ diện liền kề của lưới kép phụ. Dựa trên cấu trúc lưới kép và lưới kép phụ, chuyển vị được xấp xỉ bởi hàm Lagrange bậc 1 trên lưới kép phụ tứ diện, và áp suất được xấp xỉ bởi hàm đặc trưng trên lưới kép.

Tương tự, như trong hai chiều, cấu trúc lưới kép, lưới kép phụ giúp không gian xấp xỉ chuyển vị và áp suất thỏa mãn điều kiện macro-element (điều kiện (M1)-(M4) trong Dinh lý 2. Do đó phương pháp 3D SC-FEM cũng được chứng minh có tính ổn định và sự hội tụ. Bên cạnh đó, kết quả số được thực hiện trên các loại lưới trong ba chiều, đã chỉ ra rằng phương pháp 3D SC-FEM có độ chính xác, ổn định hơn so với các phương pháp số khác được so sánh. CHUONG 1 Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm phi tuyến đơn điệu cho bài toán khuếch tán không đẳng hướng và không đồng nhất 1.1 Giới thiệu Các bài toán khuếch tán không đẳng hướng và không đồng nhất đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật dầu khí [2] 3|, xử lý anh [4], vật lý plasma [5} (6) [7].

Nghiệm bài toán đã được nghiên cứu trong [8} [9]. Trong chương này, chúng ta quan tâm đến bài toán khuếch tán trên một miền mở bị chặn 2 trong R? với biên Lipschitz Ø9 như sau: —div (A(z)Vu(z)) = f(x) trong 2, (1.1) u =0 trên Ø9, trong đó A: Q — R?*? là một tensor đối xứng, xác định dương và tồn tại A, >0 thỏa mãn AEP < A(z)£ -£ < ANE), (1.2) với hầu khắp nơi trên © và với mọi £ € R?. Hàm nguồn ƒ thuộc L?(Q). Dé đơn giản, chúng ta sử dụng điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.

Chúng ta có thể mở rộng cho các loại điều kiện biên khác như trong [I0 Chương 1, Mục 1. Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyén ly cực đại Định lý 1] và như sau: Định lý 1. Nghiệm u € C?(Q) A Co(Q) của bài toán (1.1) đạt cực dai trên biên OQ nếu f không dương trên © va ƒ € C*(Q) tới a € (0,1). Và theo [[Tl Hệ quả 2], chúng ta có nguyên ly bảo toàn đương sau Hệ quả 1.

Nếu ƒ không âm trên © va f € C%(Q) vdi a € (0,1), khi đó nghiệm u € C?(Q)N Co(Q) của bài toán (1.1) cũng không âm.2] va [12], nguyên ly bảo toàn dương và nguyên lý cực đại là tương đương. Nghiệm yếu của bài toán (1.1) được trình bày dưới dạng: Tìm u € HẠ(©) sao cho Q Q Theo các gia sử cho tensor A và ham f được đưa ra ở trên, bài toán có nghiệm duy nhất uv € /2(9) (xem [14| Chương 1]). Có ba khó khăn chính trong việc giải các nghiệm xấp xỉ cho bài toán này: thứ nhất, với một tensor tính thấm không đồng nhất và không đẳng hướng đầy đủ, rất khó cho các phương pháp số để có được một nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm yêu của bài toán; thứ hai, rất khó để thiết kế các phương pháp số trên các lưới tổng quát; và phần lớn các phương pháp số không thỏa Nguyên lý cực đại rời rac. Vi phạm của NLCDRR có thé dẫn đến sự không ổn định nghiệm xấp xỉ.