Nghiên cứu về phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên - Luận án tiến sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC KỸ THUẬT LÊ QUÝ ĐÔN PHAN THỊ HƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ CAPUTO NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC KỸ THUẬT LÊ QUÝ ĐÔN PHAN THỊ HƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ CAPUTO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. Tạ Ngọc Ánh HÀ NỘI - 2020 i Mục lục 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các cán bộ trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong công trình của các tác giả khác.

Các tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Phan Thị Hương 2 Lời cảm ơn Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn dưới sự hướng dẫn của PGS. Đoàn Thái Sơn và TS. Tạ Ngọc Ánh.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự động viên, khuyến khích và chỉ bảo rất tận tình của tập thể giáo viên hướng dẫn. Các thầy đã không quản công sức, dành rất nhiều thời gian thảo luận, rèn giũa và định hướng cho trò. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai Thầy. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán, Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn và các thầy cô ở Viện Toán học-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã quan tâm giúp đỡ, động viên và đã cho nghiên cứu sinh những ý kiến đóng góp quý báu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. Ngô Hoàng Long, TS. Phạm Thế Anh, TS. Bùi Văn Định, TS.

Nguyễn Như Thắng, các anh chị và bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, chỉ dạy và giúp đỡ nghiên cứu sinh trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nghiên cứu sinh trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Hệ quản lý Học viên Sau đại học, Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn đã luôn giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này đến gia đình thân yêu của mình với lòng biết ơn sâu sắc. Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự cảm thông và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả.

Tác giả 3 Mở đầu 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Phép tính vi phân, tích phân là một công cụ phổ biến để mô tả các quá trình tiến hóa (xem [?, ?, ?]). Thông thường, mỗi quá trình tiến hóa được biểu diễn bởi các phương trình vi phân thường. Bằng việc nghiên cứu (định tính hoặc định lượng) nghiệm của phương trình, người ta có thể biết trạng thái hiện thời cũng như dự đoán được dáng điệu ở quá khứ hay tương lai của quá trình đó.

Tuy nhiên, các hiện tượng hay gặp trong cuộc sống có tính chất phụ thuộc vào quá khứ (xem [?, ?, ?]). Đối với các hiện tượng này, việc ngoại suy dáng điệu của hệ tại một thời điểm tương lai từ quá khứ phụ thuộc cả vào quan sát địa phương lẫn toàn bộ quá khứ. Hơn nữa, sự phụ thuộc nói chung cũng không giống nhau ở tất cả các thời điểm. Một trong các lý thuyết được xây dựng để giải quyết những bài toán thực tế vừa nêu là giải tích phân thứ (xem [?, ?, ?, ?, ?, ?, ?]).

Mặc dù đã được nghiên cứu từ lâu nhưng lý thuyết giải tích phân thứ phát triển tương đối chậm. Một trong những nguyên nhân là do người ta chưa tìm thấy ý nghĩa hình học hay vật lý của toán tử đạo hàm phân thứ. Thật ra, hạn chế vừa nêu chỉ mang tính lý thuyết. Vai trò quan trọng của lý thuyết giải tích phân thứ là ứng dụng giải các bài toán thực tế (xem [?, ?, ?, ?]).

Lý thuyết này có ưu thế hơn so với phép tính vi phân, tích phân cổ điển trong mô phỏng các quá trình có trí nhớ. Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử và các phương pháp tính, trong bốn thập kỷ gần đây, người ta phát hiện ra ngày càng nhiều ứng dụng của giải tích phân thứ trong các ngành khoa học khác nhau từ Vật lý, Hóa học, Sinh học đến Tài chính, Khoa học xã hội,. Một trong các cuốn sách đầu tiên viết về ứng dụng của giải tích phân thứ là [?]. Trong cuốn sách này, K.

Spenier trình bày rất nhiều ý tưởng, phương pháp và ứng dụng của giải tích phân thứ. Sau [?], nhiều công trình về các phương diện khác nhau của lý thuyết này được công bố. Nổi bật trong số đó là các cuốn sách của S. Rất gần đây có thêm các chuyên khảo đáng chú ý của K.

Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc vào cách người ta tổng quát hóa đạo hàm n d dxn f (x) cho trường hợp n không nguyên. Tuy nhiên, hai khái niệm được dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm Riemann-Liouville và đạo hàm Caputo. Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville được phát triển bởi Abel, Riemann và Liouville trong nửa đầu thế kỷ 19 (xem [?, ?]). Tuy nhiên, khi áp dụng khái niệm 4 này để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị ban đầu không có ý nghĩa vật lý.

Đạo hàm phân thứ Caputo được M. Caputo xây dựng năm 1969 (xem [?]). Định nghĩa đạo hàm này được xây dựng dựa trên sự cải biên khái niệm đạo hàm Riemann-Liouville với mục đích ban đầu là giải bài toán nhớt. So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lý (xem [?]).

Lý thuyết giải tích phân thứ ngày càng trở nên phổ biến và phát triển nhanh (xem thêm [?, ?, ?, ?, ?, ?]). Nhiều kết quả trong lý thuyết cũng như ứng dụng thực tế được tìm ra ngày càng nhiều (xem [?, ?]) và ngoài ra người đọc có thể tham khảo trong [?]. Đây là bộ sách gồm tám cuốn được các tác giả viết năm 2019, trong đó trình bày một cách hệ thống về lý thuyết giải tích phân thứ, giải số phương trình vi phân phân thứ và các ứng dụng trong Vật lý, Điều khiển, Kỹ thuật, cuộc sống và Khoa học xã hội. Lý thuyết phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu tương đối mới được sinh ra từ lý thuyết phương trình vi phân phân thứ Caputo và lý thuyết xác suất.

Nó nhấn mạnh tới khía cạnh của thế giới ta đang sống bao gồm nhiều yếu tố ngẫu nhiên. Bằng cách kết hợp các kết quả của hai ngành cơ sở trên, lý thuyết phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên nhận được những lợi thế của cả hai ngành và có thể đưa ra được mô hình toán học thích hợp hơn cho các hiện tượng tự nhiên và xã hội. Phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên là sự mở rộng tự nhiên của phương trình vi phân phân thứ, do đó nó đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới vì thực tế rằng hệ phân thứ xuất hiện trong nhiều mô hình trong Cơ học, Vật lý, Kỹ thuật điện tử, Lý thuyết điều khiển,., chi tiết hơn chúng ta có thể tham khảo trong [?, ?] và nhiều tài liệu chuyên khảo khác. Tuy nhiên, trong sự tương phản một số lớn các công bố về phương trình vi phân phân thứ tất định, chỉ có một số ít bài báo liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên với đạo hàm phân thứ Caputo và hầu hết các bài báo này mới dừng lại ở việc thiết lập kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm (xem [?, ?, ?]).

Ở đây chúng tôi phân biệt hai loại nghiệm, loại nghiệm đầu tiên là nghiệm cổ điển (classical solutions) và theo sự hiểu biết của tác giả, câu hỏi về sự tồn tại và duy nhất nghiệm loại này mới được đề cập trong [?, ?]. Luận án này sẽ khắc phục các hạn chế trên. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra được công thức biến thiên hằng số và một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên. Loại nghiệm thứ hai là nghiệm nhẹ (mild solutions), sự tồn tại và duy nhất của loại nghiệm này đã được nghiên cứu trong [?] cho lớp các phương trình khá rộng.

Tuy nhiên, các điều kiện đưa ra trong bài báo này khá chặt (xem [?, Định lý 4. Với các điều kiện yếu hơn (xem Định lý 2.3 Chương 2), chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên. Việc giải số phương trình vi phân và phương trình vi phân ngẫu nhiên là bài toán có nhiều ý nghĩa 5 trong ứng dụng. Thực tế rất ít phương trình vi phân ngẫu nhiên giải được nghiệm hiển hoặc nếu tìm được nghiệm hiển thì biểu thức quá phức tạp.

Vì vậy, trong nhiều thập kỷ qua, bài toán này đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới (xem [?, ?, ?]). Tương tự như thế, việc giải số phương trình vi phân phân thứ và phương trình vi phân phân thứ ngẫu nhiên cũng rất thú vị. Đối với phương trình vi phân phân thứ tất định, các phương pháp giải số đã được xây dựng một cách có hệ thống và khá đầy đủ (xem [?, ?]). Tuy nhiên, theo sự hiểu biết của nghiên cứu sinh việc giải số phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên mới chỉ được đề cập trong [?].

Tác giả của bài báo này đã đưa ra được lược đồ Euler cho phương trình Volterra ngẫu nhiên với nhân kỳ dị nhưng chưa đưa ra được tốc độ hội tụ hiển của lược đồ. Tiếp nối hướng nghiên cứu này và dựa theo ý tưởng của bài báo [?], chúng tôi thiết lập được lược đồ số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên và đánh giá được tốc độ hội tụ hiển của lược đồ số này.